精品解析：江西省余干中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025级高一年级第二次月考数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章~第五章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集、交集、补集、子集的定义逐一判断即可. 【详解】，， ，不是的子集， ACD错误，B正确． 故选：B 2. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数运算可求，故可求的值. 【详解】由，得，即， 由，得，所以. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式和对数的意义列方程求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对函数的单调性可得与的大小关系即可判断. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以． 故选：B． 5. 已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象不经过第二象限得，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于函数的图象不经过第二象限， 所以，， 反之，在且时，或， 所以“”是“的图象不经过第二象限”的必要不充分条件． 故选：B． 6. 小张、小胡两人解关于x不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为小张写错了常数，得到的解集为，所以， 小胡写错了常数，得到的解集为，所以，解得， 所以原不等式为，解得， 即原不等式的解集为. 故选：B. 7. 已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义与奇偶性分析得的性质，从而得到的正负情况，再将题设不等式转化为，进而得到相关不等式，解之即可得解. 【详解】对任意的，都有， 不妨设，则，则， 所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，则该函数在上单调递减， 又，则 所以当时，，当或时，， 由，得， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知，函数的零点为的零点为，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质，结合对数函数的单调性、零点存在原理、基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为， 所以函数在上单调递增， 又因为函数也在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以在上存在唯一的零点， 所以， 所以， 又，所以， 显然， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、幂函数的单调性、指数函数的单调性以及对数函数的定义域和单调性等概念.我们将分别根据这些性质来判断每个选项是否成立. 【详解】对于选项A，对于幂函数，它在R上是增函数.因为，所以，选项A成立. 对于选项B，已知且.根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变，所以，选项B不成立. 对于选项C，指数函数在R上是增函数.因为，所以，选项C成立. 对于选项D，因为，所以.对数函数在上是增函数.所以，选项D不成立. 故选：AC. 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】对于A,因为，，，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数满足以下条件：①；②③，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法、函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】令，则， 令，则， 由条件①可知的值不恒等于0，所以，A错误； 令，则，所以B正确； 令，则， 即，所以是偶函数． 令，则， 即，所以是奇函数． 令，则C正确； 令，则， 即， 所以， 所以，所以，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】用换元法，设，解出，再将换成即可. 【详解】令，则，∴，即. 故答案为：. 13. 已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列式求解，注意端点值的大小. 【详解】因为函数在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 记已知函数，若，使得，则的最大值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求得的解析式，求得在区间上的值域，根据任意性、存在性列不等式，从而求得的最大值. 【详解】由图可知， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 即在区间上的值域为． ，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 令，解得， 所以，所以的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2） 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质即可求得答案； （2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义以及性质求解； （2）问题为对任意恒成立，即，求出的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 则问题为对任意恒成立， 即，， 由于的最小值为， 所以，即实数取值范围为. 17. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求分段函数的解析式； （2）由解不等式，根据不等式的解即可得出药物有效时长. 【小问1详解】 因为当时，血液中的药物浓度与时间成正比，且过点，所以， 当时，与的函数关系式为且是常数）， 且过点和， 所以，所以，所以， 所以 【小问2详解】 当时，令，得； 当时，令，得． 因此当时，药物有效，有效时长为． 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数和即可求得和的值； （2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性； （3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． 【小问2详解】 在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，，所以，即，所以在上单调递增． 【小问3详解】 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新函数定义可得，然后利用指数运算求解即可. （2）①根据新函数定义可得，，即可求出时函数解析式，然后利用求解的函数解析式，即可得解； ②满足；当时，运用换元法，分离参数利用函数单调性求得；当时，根据新定义得，运用换元法，令，，分离参数利用基本不等式求得，最后求交集即可. 【小问1详解】 因为函数（且）是型函数， 所以对定义域中每一个实数x都成立，即， 又且，所以． 【小问2详解】 ①因为是型函数，所以， 当时，，又，所以； 令，得， 所以， 又当时，， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，， 所以． 综上， ②因为是型函数，所以， 当时，，又，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以； 当时，， 则， 由，得， 令，则当时，， 又，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以， 综上，m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级第二次月考数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章~第五章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 小张、小胡两人解关于x不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 8. 已知，函数的零点为的零点为，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 11. 已知函数满足以下条件：①；②③，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 13. 已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____. 14. 记已知函数，若，使得，则最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1） （2） 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 17. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $