精品解析：广东省汕头市潮阳区铜盂贵屿谷饶三镇九年级联考2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

2025~2026学年度第一学期九年级期末质量监测 数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（ ）图标． A. （放大） B. （缩小） C. （逆时针旋转） D. （顺时针旋转） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 4. 下列各点中与点关于原点对称是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质：关于原点对称的点的坐标为得出答案． 【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数顶点解析式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：A． 6. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和； 连接，根据圆周角定理可得，，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 7. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 6或10 【答案】A 【解析】 【分析】解方程求得的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可． 【详解】解：， 解得， 当腰是时，三边分别，，，不能组成三角形； 当腰是时，三边分为，，，能组成等腰三角形； 所以此等腰三角形的周长是． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解一元二次方程及三角形三边关系，分类讨论是解题的关键． 8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，则，过圆心点， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键． 9. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”直接计算新表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线为， 向左平移2个单位：， 再向上平移3个单位: ， ∴ 新抛物线表达式为 ， 故选：A． 10. 已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y 随x的增大而减小； ③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点； ④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于x 的方程的正数根只有一个． 其中正确的个数是（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，分情况讨论求解判断⑤即可． 【详解】∵ ， ① 当时，， ∴ 图象经过点，故①正确； ② 当 时，， 对称轴 ， ∵ 开口向下， ∴ 当 时，随增大而减小， 又 ∵ ， ∴ 当 时，随增大而减小，故②正确； ③ ， 当 时，，有两个不同公共点； 当 时，，有一个公共点， ∴ 不一定有两个不同公共点，故③错误； ④ 当 时，由①知 是根，设另一根为， 则 ，解得， ∵ ， ∴ ，即有一个根在0和1之间，故④正确。 ⑤ 当 时，方程 即或， 时，， ，解得或，无正根； 时，， ∵ 开口向上，且当时，， ∴ 方程有一个正根和一个负根， ∴ 只有一个正根，故⑤正确； 综上，正确结论有①②④⑤，共4个． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把所有可能出现的结果用表格表示出来，即可求解． 【详解】解：所有可能出现的结果用表格表示为： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有3种， ∴两人恰好选中同一根绳子的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出所有可能出现的结果． 12. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先由将绕直角顶点顺时针旋转，得，得，，则，因为，所以，故，即可作答． 【详解】解：∵将绕直角顶点顺时针旋转，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可知汽车刹车后行驶的距离s关于时间t的函数是二次函数，二次函数的最大值对应汽车停下来时的前进距离，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为， ∴汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ∵， ∴， ， 则， 以点C为圆心，的长为半径作弧， ，又， 是等边三角形， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】（1） （2）点不在这个函数图象上 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出函数值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，， ∴点不在这个函数图象上． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标． （2）画出将绕点按顺时针旋转90°所得的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； 【小问1详解】 如图，即为所求．． 【小问2详解】 如图，即为所求． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式，正确画出表格，是解题的关键． （1）利用概率公式进行计算即可； （2）B，D为物理变化，列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有，或，共2种情况， ∴． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得出，进而得出，则，推出，即可求证是的切线； （2）连接，即可得出，结合等腰三角形的性质得出，进而推出是等边三角形，则，，得出，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线定理，直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉掌握圆的基本性质，并能与结合等腰三角形的性质． 21. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 【答案】（1） （2）200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种运动器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款40万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市参加体育运动的人数的年平均增长率为； 小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种运动器材的套数大于120套， 设购买的这种运动器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元，不符合题意，故舍去， 当时，售价元，符合题意， 答：购买的这种运动器材的套数为200套． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 类比探究】 （3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）或． 【解析】 【分析】（）由和都是等边三角形得，，，．进而得．最后证明，即可得证； （）由和都是等边三角形，得，，，，从而得．进而证明得，即可得证； （）如图，当在线段上时，如图，当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论． 【详解】证明：（）和都是等边三角形， ，，，． ．． ． 在和中， ， ； （）和都是等边三角形， ，，，， ，， ． 在和中， ， ． ． ， ； （）或．理由如下： 如图，当在线段上时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 23. 如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C． （1）求b，c的值． （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由． （3）如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标． 【答案】（1） （2）存在，点P坐标为，的面积最大值是 （3） 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可求出； （2）由（1）得到抛物线解析式为，求出点，设点，，连接，作轴交于M，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，得到，得到，从而可求出的面积最大值及点P的坐标； （3）连接，证明，则，是等腰直角三角形，当最小时，面积取得最小值.由点E在线段上，则当时，最小. 此时点E是中点，由中点坐标公式即可得到点E坐标． 【小问1详解】 将，两点坐标代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 存在．理由如下： 由（1）得到抛物线的解析式为， 当时， ∴点， 设点，， 连接，作轴交于M， 设直线的解析式为， 由，可得 , 解得， ∴直线的解析式为，则， ， ∵， 当时， ∴的面积最大值为； 当时，， ∴点P坐标为； 【小问3详解】 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴当最小时，面积取得最小值. ∵点E在线段上， ∴当时，最小. ∵是等腰直角三角形， ∴此时点E是中点， ∵，， ∴. 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、圆周角定理、待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期九年级期末质量监测 数学试题 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（ ）图标． A. （放大） B. （缩小） C. （逆时针旋转） D. （顺时针旋转） 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3. 下列方程中，是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点中与点关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 6或10 8. 一条排水管截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y 随x的增大而减小； ③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点； ④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于x 方程的正数根只有一个． 其中正确的个数是（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是__________． 12. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为________． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 14. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 15. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标． （2）画出将绕点按顺时针旋转90°所得的． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 23. 如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C． （1）求b，c的值． （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由． （3）如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $