安徽省皖南八校2026届高三上学期12月第二次大联考数学试题（ C卷）

2026届“皖南八校”高三第二次大联考 数 学 心 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量， 复数，数列。 露 圜 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知复数之1=a-i,x2=1十2i(i为虚数单位，a∈R),且是纯虚数，则a的值为 A号 R一号 C.2 D.-2 长 识 2.已知集合A={x1og2x<1},B={x|x<2},则A∩(CRB)= A.{x|0<x<2 B.{x|0≤x≤2) C.{x-2<x<2 D.0 都 3.已知函数f(x)=1n(x2一2x十2)，下列函数中为偶函数的是 A.f(x)+1 B.f(x)-1 C.f(x+1) D.f(x-1) 4.在等比数列a中a=立a=4,则十十…十1 al a2 A.i c 5.已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=x十sinx十1，则曲线y=f(x)在x=号处的切线方 程是 A.x十y-π-2=0 B.x+y-2=0 C.x-y+2=0 D.x-y=0 6.已知函数f(x)=sin2x十acos2x的一个零点是否，为了得到y=2cos2x的图象，需要将函数 部 y=f(x)的图象 A.向左平移受个单位长度 B.向左平移”个单位长度 6 C.向右平移器个单位长度 D.向右平移否个单位长度 【“皖八”高三二联·数学第1页（共4页）W一C】 7.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当AE·AF取得最大 值时，tan∠EAF= A.1 R号 c号 8.设函数f(x)=(x一a)(x一b)(x一c),其中0<a<b<c,若对任意x∈R,f(x一1)·f(4一x)≤ 0恒成立，则 A.a+c=2,b= 2 B.a+c=3,b=号 C.a+c=2,b=1 D.a+c=3,b=1 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正实数a,b满足等式loga=logb,则下列结论可能成立的是 A.1<b<a B.a<b<1 C.1<a<b D.b<a<l 10.已知函数f(x)=tan2x+ 罗)的最小正周期为T,点(a,0)是曲线y=f(x)的一个对称中 心，则 A.T=号 B.f(T)=√3 C.a的最小值为 D.当tan xo=-√3时，f(xo)=-√3 11.已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2sinC-sinA=√2sinB,2cosC+ cosA=√6cosB,且△ABC的面积为3+√5，则 A.B=8 B.sin C-cos C=sin A C.b2=a2+4 D.△ABC的周长为3√2+2√3+√6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(3,一1)，b=(2,1),则a在b方向上的投影向量的模为 13.已知aB为锐角，eos(a十)=多，cos(e-g)-专，则1 an atan 14.已知等差数列{a,的公差为红，若集合A=(xx=c0sa,n∈N}=(xx,则xx, 【“皖八”高三二联·数学第2页（共4页）W一C】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=2 sin xcos x十2√3cos2x-√3， (1)求函数f(x)的对称轴方程； (2)若f(受)=9∈(，0)，求f(+)的值。 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=bcos A+√3 asin B,且a=2. (1)求A; (2)若点D在线段BC上，且满足AD=A百 AC ,求△ABC的面积. ABI ACI 17.(15分) 已知函数f(x)=,x2-2alnx一1，a∈R (1)若a=1,求f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值集合. 【“皖八”高三二联·数学第3页（共4页）W一C】 18.(17分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=4S1,对任意正整数n,均有a2m=2an十1. (1)求am和Sn; (2)若数列{bn}满足b1=1,且bn·a=am-1·bn-1·amt1(≥2，n∈N*),求数列{bn}的通项 公式； (3)记数列 的前n项和为Tm,证明：Tm>ln(n十1). 如 19.(17分) 已知函数f(x)=efr cos x一m.x+1,g(x)=f(x)十mx(m∈R),其中函数f(x)的导函数为 f(x). (1)当m=1时，求函数f(x)在[0，π]上的单调性； (2)证明：当m>0时，g(x)在0，罗上存在极大值点，且tan=m: (3)证明：1m>0,x∈[0，]，使得g()>e+1恒成立. 【“皖八”高三二联·数学第4页（共4页）W一C】2026届“皖南八校”高三第二次大联考·数学 参考答案、解析及评分细则 1.C4=4克=a-D-2=a-2-2+1)i,因为兰为纯虚数，所以a-2=0且2a十1≠0，所以a=2. x21+2i(1+2i)(1-2i) 故选C. 2.DA={xlog2x<1}={x0<x<2},B={x|x<2}={x|-2<x<2},则CB={x|x≤-2或x≥2}， A∩(CRB)=⑦.故选D. 3.C因为x2-2x十2=(x-1)2+1≥1，故f(x)的定义域为R,f(x)+1=ln(.x2-2x+2)+1,不是偶函数，故 A错误；f(x)-1=ln(x2-2x十2)一1，不是偶函数，故B错误；f(x+1)=ln(x十1)2-2(x十1)十2)= ln(x2+1),为偶函数，故C正确；f(x-1)=ln((x-1)2-2(x-1)十2)=ln(x2-4x+5),不是偶函数，故 D错误.故选C. 4.A因为a1= 合a:=4,所以2=g=8,所以g=2,a=2,所以+十…+-2+1+2十+ a 2x[1-(2门 故选A. 1-2 5.D因为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=x十sinx十1，则当x>0时，f(x)=-f(-x)=x十sinx1, f()=1十osx从而f(受)=1，又f(受)=，则曲线y=f(x)在x=艺处的切线方程是y-否=1× (x-),即x一y=0.故选D. 6A张题意：得f(管)-血答+aas音-0+号-0，得a-,所以f()一血2红一50s2红= 2sin(2x-音)y=2cos2x=2sin(2x+）=2sim[2(x+罗)）-号]，需要将函数y=f(x)的图象向左平移 登个单位长度，故选A. 7.C以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标y 系如图所示，则A(0,0),E(2,1).设DF=x,则F(x,2),0≤x≤2，故AF=(x,2), A它=(2,1).所以AE·AF=(2,1)·(x,2)=2x十2，当x=2时，AE·AF取得最大 值，北时an∠EF=a(停-∠AE)1 1 1+ 合故选C B 8.B令g(x)=-f(4-x)=-(4-x-a)(4-x-b)(4-x-c)=(x+a-4)(x+b-4)(x+c-4),因为 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的零点为a,b,c,可知y=f(x-1)的零点为a十1，b+1,c十1，y=g(x)的零点 为4-a,4-b,4-c,又因为0<a<b<c,则1<a+1<b+1<c+1,4>4-a>4-b>4-c,若f(x-1)·f(4 -x)≤0，即f(x-1)·[-g(x)]≤0，则f(x-1)·g(x)≥0，可知y=f(x一1)的零点与y=g(x)的零点 a+1=4-c 相同，则b十1=4-b,可得2b=a+c=3,b=多.故选B. (c+1=4-a 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第1页（共6页）W一C】 9.CD由题意，设loga=logb=m,则a=(号）广，b=(}）”,当m>0时，0<b<a<1,当m=0时a=b=1, 当m<0时，1<a<b.故选CD. 10.ABD对于A选项，由f(x)=an(2x+号)得T=受，故A选项正确：对于B选项，已知函数最小正周期 T=受，则/(I)=/(受）=an2X受+晋)=万，故B选项正确：对于C选项，令2x十吾-经(k∈Z),得x =一吾+∈Z刀，即a=一吾+(k∈Z.当=1时，la取得最小值，的最小值为一吾-放C 4 选项错误：对于D法项，已知m一后，则m2=告（}=，f) 2tan xo an(2aw+号) tan2xo十tan号 =十5=一，故D选项正确.故选ABD. 1-tan2w·ian号1-5Xv5 (2sin C-sin A=v2 sin B,(4 sin2C-4sin Csin A+sin2A=2 sin2B, 11.BCD由 得 两式相加得4十4cos(C+ 2cos C+cos A=6cos B,4 cos'C+4cos Ccos A+cos2A=6 cos2B, A)+1=2+4cosB,得4cosB+4c0sB-3=0,得(2c0sB-1)(2CosB+3)=0,得cosB=号，或cosB= 2sinC-sinA=6」 2sin C=6 2+sin A, 一2（舍去），因为0<B<受，所以B=否，故A错误：则 得 得 2cos C+cosA=6 , -cosA. 2cos C=6 4sifC+4cosC=(+sinA)广+(-cosA,得4=至+5simA+sinA+氵-6cosA+cos2A,得 simA=60sA,即1anA=1,因为0<A<受，所以A=子，得C=x-吾-子-径则sinC-c0sC Esm(C-）=反sin(臣子)）=Esm吾-号-simA-号，故B项正确：由领角△ABC的面积为3十 V3,得2 acsin B=3+5,得ac=4(W5+1),设△ABC的外接圆半径为R,则2 Rsin A·2 Rsin C= 45+10.前mA-誓nC=m登=m径=m(管+）2，则R,竖×6牛E- 4 2 .4 45+1),得R=2,得a=2RinA=2X2×=22,b=2 Rsin B=-2X2×5=25,c=2 Rsin C=2X2X 5+区=6+2，得-a'=(2V5)2-(2)=4,放C项正确：△ABC的周长为a十b+c=22+2,5+ 4 √6+√2=3√2+2√3+√6，故D正确.故选BCD. 12.5因为a=(3,-1).b=(2,1):a在b方向上的投影向量的模为alcos(a,.b1=|=5, 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第2页（共6页）W一C】 cos ()-cos acos B-sin asin 1 18.7 则月=ini=月anatan,9= sin asin B10 cos acos B 7 aB)-cos acos Bsin asin B- 10 1.-之a,=a十m-1d=a+受(m-1).则cosa,=cos[a+要a-1]=cos(经+a-）,其周期为 红=3，而nCN,即cos a最多3个不同取值，由题可知集合A={xx=eos.∈N}有且仅有两个元 2x 素，A={x1,x2},则在cos an,cos am+1,cos an+2中，c0sam=cos an+1≠c0sa+2或c0sam≠c0sam+1 c0sa+2,或c0sam=c0sam+2≠cos a+1,又cosa,=c0san+3,即c0sam+3=cos a+2≠cos a+1,一定会有相邻 的两项相等，设这两项分别为cos0,0s(+),于是有c0s0=cos(0+),即有0叶(0+)=2x,k∈Z, 解得0=r一吾，k∈乙，不相等的两项为0s0,os(0+经），故=0s(x一音)o[(x一晋）十] -cos()cos kr--cos'krcos32. 15.解：1)f(x)=sin2x+5cos2x=2sin(2x+5 3分 4分 令2.江十交=7十k元，k€Z,…4分 解得x=登+经，cz, 故函数f)的对称轴为直线1=臣十经，k∈乙. 6分 2)因为/（号）-2sin(+号）=号即sino+5）号 8分 且∈(-x,0.则+吾∈(-要，晋)》 可得+苔∈(o,号)，则o(+等)√1一sin(+)-告， 10分 则f(z+晋)=2sin[2(x+若)十号]=2sin2(+号） =4n(+号)o(十）=4x号×号器 所以(+晋）一器 13分 16.解：(1)根据题意2b=bcosA+√5 asin B, 则由正弦定理得，2sinB=cos Asin B十√sin Asin B,… 2分 因为sinB≠0，所以2=c0sA十√3sinA,………………… 3分 所以sin(A+）=1， 5分 由A∈(0，π)，所以A= 3 …7分 (2)令AE= 斋斋 ,则A1=|A=1. 又A方=AE十A户，则四边形AEDF为菱形，AD为∠BAC的角平分线.…8分 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第3页（共6页）W一C】 1A=(A它+A)2=A它+A产+2A定.A庐=1十1十2X1X1×cos号=3， AD=√5，…10分 5aw=besin晋-合(b叶c0)AD·in晋，即c=b+c,… 12分 由余弦定理可得：a2=+C-2hc0s号=4， 即(b十C)2-3bc=(bc)2-3bc=4,解得bc=4,…14分 所以S%r=csin吾=万.15分 17.解：(1)因为a=1,所以f(x)=x2-2lnx-1,x>0, 所以f(x)=2x-2=2(x+1)(x-1) ……………2分 令(x)>0,得x>1:令f'(x)<0,得0<x<1. 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，……3分 所以f(x)的极小值为∫(1)=0，无极大值.……………………4分 (2)因为f(x)=x2-2alnx-1,所以f(x)=2x-2a=2(x-a). 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在(0，十0∞)上单调递增；…6分 当a>0时，令f'(x)<0,得0<x<√a,令f(x)>0,得x>√a, 故f(x)在(0wa)上单调递减，在(Wa,十∞)上单调递增. 8分 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0，√a)上单调递减，在（√a,十o∞）上单 调递增.……………………………9分 (3)由(2)知，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增. 因为f(1)=0,所以当x∈(0,1)时，f(x)<0,不满足题意. 10分 当a>0时，f(x)在(0√a)上单调递减，在（√a,十o∞）上单调递增， 所以f(x)mim=f(√a)=a-alna-l. 若f(x)≥0，则f(x)min=a-alna-1≥0. 12分 令g(a)=a-alna-1,则g'(a)=-lna, 所以g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以g(a)≤g(们)=0，……… 14分 所以a=l,即实数a的取值集合为{1》.…15分 18.解：(1)因为数列{an}为等差数列，不妨设an=xn十y(x,y∈R), 由a2m=2am十1可得2xn十y=2(xn+y)+1=2xn+2y十1，故y=2y+1,解得y=-1, 所以an=xn一1，… 1分 S2=4S1,即a2+a1=4a1,即a2=3a1, 所以2x一1=3(x一1)，解得x=2,…… 2分 故a,=2m-1,S.=na,+a）=n+2n-1=. 2 ……4分 2 (2)方法一：由(1)得：am=2n-1, 当≥2且n∈N时6，= b。=(2n+1)(2n-3) (2n-1)2 h名·2·分…会·先么m ………6分 =2m》×2n》D×2m2××2××1=×- (2n-1)2 (2n-3)2 (2n-5)2 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第4页（共6页）W一C】 当=1时6=1满足众= 综上所述：h,十nCN. 10分 方法二：由(1)得：an=2n-1, :b1=1,an>0,bma员=bm-1am-1am+1(n≥2，n∈N*), ..bn 6分 antl an 令cn=bn· a,则数列{c}为常数列， 7分 an+1 c,=b·a1=hm-1.a1==h1.1=1X 1 ……………9分 an+l an a2 331 ∴h,=号Xa1=2n+1 3 an 6n-3 10分 11分 设f(x)=x-ln(x十1)，x>0, 则了()千有当>0时f()>0,单调递增， 所以f(x)>f(0)=0,……… 13分 所以f(分)=-(1+号)>0，即>n1+): 15分 所以工.=1+2+号++>ha+1D+ln1+2）+la1+号)+中la1+》 =ln(2×号×专×…x"h）=ln(m+1. 所以Tm>ln(n十1).… ……17分 19.解：(1)当m=1时，f(x)=e'cos x-x+1,f'(x)=e(cosx-sinx)-1, 令h(x)=f(x),则h'(x)=[(cosx-sinx)十(-sinx-cosx)]e=(-2sinx)e,…2分 当x∈[0，x]时，h'(x)≤0， 所以h(x)=∫(x)在[0，π]上单调递减。…4分 (2)证明：g(x)=f(x)十mx=e cos+1,g'(x)=em(mcos x--sinx)=-√m2+1sin(x+0)e, 其中0满足an0=一m,m>0,0(一受0）小… ………6分 令g'(x%)=0,得x。=一0，当x∈(0，一0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈(-0,2)时，g(x)<0,g(x)单调递诚. ……………………8分 所以8)在[0，受]上存在极大值点x 且tan o=tan(-f)=m. 10分 (3)h2)知g)在[0，]上的最大值为(-)=ec0s(-)+1=ecos0+1.…11分 要证]x∈[0，受]，使得g(x)>。+1对任意m≥0恒成立. 即证ecos0十1>e÷十1对任意m>0恒成立， 即证cos0>e+1对任意m>0成立，又m=-tan0, 所以即证c0s>e+点对任意0∈（一受，0）恒成立， 即证[ndos》-品9+9an0-1]>0.其中9c(←吾0月 12分 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第5页（共6页）W一C】 令g()=ln(cos)-d+amx-1x∈(-登0 tan x 因为（品广-(}- (tan )=(sin 1,[In(cos )sin z=-tanx, sin'x \cos x/cos x cOS x 所以g'(x)=-tanx+ sin'tan -cos'r+x sin'x cos-x sinx cos'x 令n)=cosx+xsin,xe(-受，0小 n'(x)=-2cos xsin x+sin2x+2xsin xcos x=sin x[sin x+2(x-1)cos ]>0, 则)在(-受0）上单调递增，又m(-1)=c0s2<0-）3君>0， 则3∈(-1，-至)，使n()=cos十1sinx1=0, 解得tanx1= √所以o√ 当x∈(-受)时，()<0，即p(x)<0,9(x)单调递减： 当x∈(x1,0)时，n(x)>0,即9'(x)>0,9(x)单调递增。 所以(x)在x=x1时取到极小值，也是最小值，…………14分 1 [(x)]min=(x1)=In(cos x1)- -+x1tan x1-1=- 2 --1+In(cos z1) tan x tan xi =2厂a-1-2(1-）)片 15分 令x)=2V-1-(1-）x(-1,-) 即x)在(-1，一军)上单调递减9(m)m=9(x)=(x)>(-牙）小…16分 义(-）=2V原-1-1+)>5-1-2h名>品-2n号>0， 即当e(受0)时，[n(eos0mg+man0-1]>0, 所以3x∈[0，受]，使得g()>e+1对任意m>0恒成立，命题得证. ……17分 【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第6页（共6页）W一C】