湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

襄阳四中2024级高二上学期12月月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，，若，则(    ) A. B. C. D. 2.双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 3.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，设的倾斜角为，的斜率为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是(    ) A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 5.、分别为与上任意一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.已知动点满足，则点的轨迹是(    ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7.设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8.如图，过抛物线的焦点的直线斜率为正交抛物线于点两点其中点在第一象限，交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题错误的是 A. 若事件与事件互斥，则 B. 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立． C. 事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小． D. 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大． 10.四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则(    ) A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 11.已知椭圆，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是(    ) A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 取最小值时，点的坐标为 D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆的焦距为          ． 13.教材页第题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，求证：；若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证：利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为          ． 14.已知，则的最大值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； 若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 16.本小题分 如图，一个正八面体八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”． 请写出具体的样本空间； 请证明：； 连续抛掷次这个正八面体，记事件为第次抛掷这个正八面体事件发生，求连续抛掷次这个正八面体事件只发生次的概率． 17.本小题分 已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． 求的标准方程； 若不在直线上，证明：直线过定点． 18.本小题分 如图，已知平行六面体的底面是菱形，且且为锐角．    求证：； 当的值为多少时，能使平面？请给出证明； 若在底面的正投影为菱形的对角线交点，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 19.本小题分 公元前年，古希腊数学家狄俄克利斯独立发明了蔓叶线，其方程为，如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子．如右图所示，平面内给定圆和直线，从坐标轴原点引射线分别交圆和直线于点、，在射线上取一点满足． 求蔓叶线的横坐标的取值范围； 求证：点在蔓叶线上； 已知：直线与蔓叶线交于三点，记直线的斜率为，直线与圆交于点，若，求的值． 参考公式：若是一元三次方程的三个根，则，，． 襄阳四中2024级高二上学期12月月考 参 考 答 案 1.【答案】  解：因为，所以存在实数，使得， 即：， 由第一个分量得，故， 将代入第二个分量，得． 2.【答案】  解：对于双曲线的标准方程焦点在轴上，其渐近线方程为， 由题意，双曲线方程为，可得，，即，． 因此渐近线方程为． 3.【答案】  【详解】设直线的倾斜角为，，， 所以，即， 由题意知：，解得：或． 倾斜角的取值范围是故ABC错误，D正确， 故选： 4.【答案】  解：圆，， 故圆的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 圆关于直线对称，直线经过圆的圆心， 故，解得，圆的圆心为，半径， 由两点间距离公式，可得， 又， 圆与圆的位置关系是相交， 故选C． 5.【答案】  解：直线与的、系数分别相等，常数项不同，故两直线平行。 根据平行直线间距离公式，对于直线和，它们之间的距离为： 将、代入公式，计算得： 因此，的最小值为两平行直线间的距离． 6.【答案】  解：原式平方得， 展开并整理：， 即， 故的轨迹为椭圆． 7.【答案】  解：依题意设，，，， 若圆锥曲线为椭圆， 则，，， 则， 若圆锥曲线为双曲线， 则，，， ， 综上，曲线的离心率等于或， 故选A． 8.【答案】  解：如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点， 设，所以，由抛物线的定义得， 所以， 在中，， 又因为，解得， 记准线与对称轴交于点， 因为，解得， 即到抛物线的准线的距离为． 故选：． 9.【答案】  解：选项 A：互斥事件指不能同时发生的事件，但只有对立事件互斥且必有一个发生的概率和为。例如，掷骰子时“出现点”与“出现点”互斥，但，故A错误． 选项B：若与独立，则。计算：，满足独立事件的定义，故与独立，B正确． 选项C：举反例：若即事件与完全相同，则“与同时发生”的概率为，“与恰有一个发生”的概率为，此时，故C错误． 选项D：抛掷均匀硬币是独立重复试验，每次正面向上的概率均为，前两次结果不影响第三次的概率，故第三次正面与反面的可能性相等，D错误． 10.【答案】  解：对于项，将该四棱锥补为长方体， 可知即为该长方体的一条体对角线， 且， 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球， 半径为， 表面积为，故A正确； 对于项，如图，将四棱锥沿剪开得到平面图， 连接，交于点， 易知均为直角三角形， 且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为，故B正确； 对于项，假设存在点，使得， 如图，以点为坐标原点， 分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，，， 设，， 则， 因为， 所以，解得， 故存在点，使得，故C项错误； 对于项，由已知可得，， 所以点到直线的距离 ， 所以当时，点到直线的距离的最小值为，故D正确． 故选ABD． 11.【答案】  解：由，得，，，即，，． 如图：对于，因为，，所以， 又因为，所以， 又因为，， 所以，当且仅当时等号成立．所以A错误； 对于，由椭圆的定义得， 当且仅当时等号成立，所以B正确； 对于，由，所以，即， 当且仅当，即代入， 解得或， 所以当时，有最小值，故C正确； 对于，因为点在抛物线上，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义，到点的距离等于点到准线的距离． 因为，所以，得， 所以到点的距离， 当且仅当，即负值舍去时等号成立，故D正确． 故选BCD． 12.【答案】  由椭圆方程可知，椭圆的焦点在轴上因为，其中长半轴的平方，短半轴的平方。 根据椭圆中、、的关系，计算得： ，故。 椭圆的焦距为，因此焦距为。 13.【答案】  解：平面的方程为，平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则，． 14.【答案】  解：因为，设， ， 令，则， 则上式为， 设， 点为双曲线位于第一象限的点， 可以看成点到点两点的距离之差， 又， 所以的最大值是．    故答案为： 15.【答案】解：设入射光线为，反射光线为， 光线从点射出，与轴相交于点， 入射光线的方程为，整理得， 入射光线的斜率，反射光线的斜率， 又反射光线要经过点， 反射光线的方程为，即； 当直线的截距为时，直线的方程为，即， 当直线的截距不为时，设直线的方程为， 则解得或． 若，则直线的方程为，即 若则直线的方程为， 即综上所述，直线的方程为：或或．  16.【答案】解：因为正八面体八个面分别标以数字到， 任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是，，，，，，，， 所以样本空间． 证明：事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：， 事件所含的样本点为：， 故事件所含的样本点为：，所以， 又，所以， 依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生次的概率为 ．  17.【答案】解：因为，， 所以，故的标准方程为； 证明：依题意可设直线的方程为， 由，得， 则，，， ，由知，， 因为，所以， 即， 即， 即，得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点， 故直线过定点．  18.【答案】解：设，，，，则， 由题意可得， 则， 故，即； 当时，平面，证明如下： 设时，平面，由平面， 则，， 又， ，， 有 ， 由，则恒成立，即恒有， 有 ， 则，故当且仅当时，平面； 取中点，连接，由，且底面是菱形， 故点即为菱形的对角线交点，且为等边三角形， 则底面，又平面，则， ，， 则 ， 即有，则， 过点作于点，则即为平面与平面所成角的平面角， 由，则， 则，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为．     19.【答案】解：易知，则，解得 即蔓叶线的横坐标的取值范围为  证明：设直线，则点，联立圆的方程，有：， 知， 由，知， 此时，即点在蔓叶线上 解：据题意：联立，得，同时除以， 得：， 根据方程联立的意义可知，所得的关于的一元三次方程的三个根即为，，， 则，，， 所以．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $