13.1.3 反证法 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1.3 反证法 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：60分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（   ） A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角 2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（   ） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60° 3．用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 4．用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 5．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 6．假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A． B． C． D． 7．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 9．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 10．用反证法证明：在中，中不能有两个角是钝角时，假设，令，则所得结论与下列四个选项矛盾的是（　　） A．已知 B．三角形内角和等于 C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对 11．在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 12．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，内错角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 二、填空题（每小题3分，共36分） 13．一般来说，反证法有如下三个步骤：（1） ，（2） （3） ． 14．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 15．用反证法说明命题“若，则”是假命题，可举反例“ 、 ”． 16．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 三、解答题（共72分） 17．（14分）用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 18．（10分）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 19．（10分）已知：在中，．用反证法证明：． 20．（10分）用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 21．（10分）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 22．（18分）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 13.1.3 反证法 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C D C C B B 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】本题考查了反证法，反证法的步骤是：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤，应假设结论不成立作答即可． 【详解】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口． 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于， ∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查的是反证法，解此题的关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设不平行于， 故选：． 4．C 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设； 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立，即可判断解题． 【详解】解：证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是反证法； 故选：C． 6．D 【分析】本题考查命题的否定．原命题为“”，其否定应为“”．当原命题不成立时，结论即为它的否定． 【详解】解：原命题“”表示是负数．当该命题不成立时，不能是负数，即必须大于或等于0．因此，与0的大小关系只能是． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； 故选：B． 10．B 【分析】根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：假设， 则， 这与三角形内角和等于相矛盾， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 11．D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例．根据反证法，可证明①②③正确． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法②正确； ③若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以说法③正确． 故选：D． 12．C 【分析】本题考查了反证法，直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【详解】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：C 13． 提出假设 推出矛盾 肯定结论 【分析】本题考查的是反证法的步骤，根据反证法的步骤要求作答即可． 【详解】解：一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）提出假设，（2）推出矛盾（3）肯定结论． 故答案为：提出假设，推出矛盾，肯定结论． 14．与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 15． 1 【分析】本题考查反证法，平方运算性质等．根据平方运算的性质，若两个数的平方相等，则这两个数可能相等或互为相反数，因此举互为相反数的例子即可证明命题为假． 【详解】解：∵取，，则，，故，但， ∴命题“若，则”是假命题， 故答案为：，1． 16．直角三角形中每个锐角都大于 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 17．见解析 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 18．证明见解析 【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于； 这与定理“三角形的三个内角之和等于”相矛盾，原命题正确． 【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 19．见解析 【分析】本题考查了根据等角对等边证明边相等，反证法证明中的假设，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设，根据等腰三角形的性质（等角对等边）推出，与已知条件矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】证明：假设． ∵在中，， ∴（等角对等边）． 但已知，这与上述结论矛盾． ∴假设不成立，故． 20．见解析 【分析】本题考查反证法，熟知反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．本题第一步先假设两直线不平行，则两直线相交，进而推出与垂直公理相矛盾，从而肯定原结论正确． 【详解】已知：直线，直线， 求证：． 证明：假设a与b不平行，则a与b相交于点M， ∵，， ∴过点M有两条直线a和b都垂直于直线c， 但根据垂直公理，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这就产生了矛盾， ∴假设错误，故． 即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 21．详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $