江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年上学期九年级期末数学复习训练试卷

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学复习训练试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 1．（2分）方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 2． （2分）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（    ） A．上海明天将有85%的时间下雨 B．上海明天将有85%的地区下雨 C．上海明天下雨的可能性很大 D．上海明天下雨的可能性很小 3． （2分）在“我的理想”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲，乙两位选手的评分如下： 甲：9， 8， 10，9， 9； 乙：8， 10， 7， 10， 10， 则下列说法中错误的是（    ） A．甲得分的方差比乙得分的方差小 B．甲得分的众数是9，乙得分的众数是10 C．甲， 乙得分的平均数都是9 D．甲得分的中位数是10，乙得分的中位数是7 4．（2分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为（    ） A． B．2 C． D．6 5.（2分）如图，是半径为的的切线，为切点，连接交于点，且是的中点， 作交于点，连接，则的长是（    ） A． B． C． D． 6． （2分）二次函数的图像如图所示．下列结论： ； 方程一定有两个不相等的实数根； ； ； （为常数，且）． 其中所有正确的序号有（    ）个 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上） 7．（2分）若，则＝ ． 8．（2分）把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 平移后图象的函数解析式为 ． 9．（2分）2. 如图，已知，，，的长为_______ 10．（2分）40．已知，是一元二次方程的两根，则 ． 11． （2分）如图，将扇形AOC围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12， 扇形AOC的弧长为10π，则圆锥的侧面积为 ． 12．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P是上一点，则∠CPD＝ 　 °． 12． （2分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示， 此时液面 . 14．（2分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m， 树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m． 15． （2分）如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点， 过点作于点．若，，则的直径是 ． 16.（2分）．如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转，得到， 点在上，交于点．如下结论中： ①平分； ②； ③； ④． 所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠， 本次活动共有两种方式： 方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其它区域无优惠； 方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同， 所购买物品享受9折优惠，其它情况无优惠． （备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能性相同； 转盘乙中，B、C区域的圆心角均为；②若指针指向分界线，则重新转动转盘．） (1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为______； (2)两种方式中，哪一种让顾客获得9折优惠的可能性大？请用树状图或列表法说明理由． 19．（8分）射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 8 c 乙 8 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，__________，__________； (2)你认为谁的射击成绩更好？为什么？ (3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 20． （7分）如图，是的直径，是的一条弦，是的切线，且， 延长交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 21．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣a﹣1＝0． （1）求证：方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值． 22．（8分）48．如图，在中，点D在上，，点E，F分别在，上，． (1)求证∽； (2)若，，，，则______． 23． （8分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满： 当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间， 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； (2)房价定为多少时，宾馆利润最大？ 24．（7分）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件） 与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：， 在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1) 设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式， 并 求出自变量的取值范围． (2) 当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3) 当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 25．（8分）课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：． 思考探究】 （2） 如图2，在四边形中，点P为上一点， 当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 26．（9分）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)求C点的坐标； (3)抛物线对称轴上有一动点P，是否存点P，使得最小，若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 27．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P在劣弧BC上（不与点B，C重合）． （1）如图1，若PA是⊙O直径，则PA______PB+PC（请填“＞”，“=”或“＜”） （2）如图2，若PA不是⊙O的直径，那么（1）中的结论是否仍成立？ 如果不成立，请说明理由：如果成立，请给出证明． （3）如图3，若四边形ACPB的面积是16． ①求PA的长； ②设y=S△PCB+S△PCA，求当PC为何值时，y的值最大？并直接写出此时⊙O的半径． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学复习训练试卷（解析版） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 1．（2分）方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】因式分解法解方程即可． 【详解】， ， 解得，． 故选：C 2． （2分）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（    ） A．上海明天将有85%的时间下雨 B．上海明天将有85%的地区下雨 C．上海明天下雨的可能性很大 D．上海明天下雨的可能性很小 【分析】根据概率是反映事件发生机会的大小，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生即可得出答案． 【解答】解：上海明天下雨的概率为85%，表示上海明天下雨的可能性很大，但是不是将有85%的地区下雨，不是85%的时间下雨，也不是明天肯定下雨． 故选：C． 3． （2分）在“我的理想”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲，乙两位选手的评分如下： 甲：9， 8， 10，9， 9； 乙：8， 10， 7， 10， 10， 则下列说法中错误的是（    ） A．甲得分的方差比乙得分的方差小 B．甲得分的众数是9，乙得分的众数是10 C．甲， 乙得分的平均数都是9 D．甲得分的中位数是10，乙得分的中位数是7 【答案】D 【分析】根据方差与平均数的计算公式、众数与中位数的定义即可得． 【详解】甲得分的众数是9，乙得分的众数是10，则选项B正确 甲得分的平均数为 乙得分的平均数为，则选项C正确 甲得分的方差为 乙得分的方差为 则甲得分的方差比乙得分的方差小，选项A正确 将甲得分按从小到大进行排序为，则其中位数为9 将乙得分按从小到大进行排序为，则其中位数为10，则选项D错误 故选：D． 4．（2分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵AD=2，BD=3， ∴AB=AD+BD=5， ∵在△ABC和△ACD中，∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴，即AC2=AB·AD， ∴AC2=5×2=10， ∴AC=． 故选A． 5.（2分）如图，是半径为的的切线，为切点，连接交于点，且是的中点， 作交于点，连接，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，设交于点，根据切线的性质得出，根据已知条件得出是等边三角形，根据平行线的性质以及垂径定理得出，，进而根据圆周角定理得出，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，设交于点，如图所示， ∵是半径为的的切线，为切点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 故选：D． 6． （2分）二次函数的图像如图所示．下列结论： ； 方程一定有两个不相等的实数根； ； ； （为常数，且）． 其中所有正确的序号有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断正确；根据抛物线与轴有两个不同的交点，可以判断，从而可以判断，所以可得方程有两个不相等的实数根，所以可得正确；根据抛物线与轴的交点和抛物线对称轴的位置可以判断当时，函数值，所以可得错误；根据抛物线的对称轴的位置可得，可得，所以可得正确；根据抛物线与轴的一个交点的坐标是，可得当时有，当时，有，所以可得：，所以可得正确． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程中， 可得：， ，， ， 有两个不相等的实数根， 故正确； 抛物线的对称轴在轴的右侧，抛物线与轴的一个交点坐标是， 抛物线与轴的交点到对称轴的距离小于， 抛物线与轴的另一个交点的坐标一定在的右侧， 当时，， 故错误； 由图象可知：，， ， 移项得：， 故正确； ， ， 当时，， ， 整理得：， 故正确． 正确的有个． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上） 7．（2分）若，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键在于审题，先求出的值，此题的易错点在于直接将的值代入．利用已知条件求出的值，化简，将的值代入即可求出答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8．（2分）把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 平移后图象的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位， 得． 故答案为：． 9．（2分）2. 如图，已知，，，的长为_______ 【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】∵AD：AF=3：5， ∴AD：DF=3：2， ∵AB∥CD∥EF， ∴，即， 解得，CE=4， 故答案为：4 10．（2分）40．已知，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2﹣2x1x2的值． 【详解】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3， x1+x2﹣2x1x2＝4﹣2×3＝﹣2． 故答案为﹣2． 11． （2分）如图，将扇形AOC围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12， 扇形AOC的弧长为10π，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】65π 【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】∵扇形AOC的弧长为10π， ∴圆锥的底面半径为：＝5， ∴圆锥的母线长为：＝13， 则圆锥的侧面积为：×10π×13＝65π， 故答案为65π． 12．（2分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P是上一点，则∠CPD＝ 　 °． 【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC，OD． ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COD＝＝72°， ∴∠CPD＝∠COD＝36°， 故答案为：36． 12． （2分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示， 此时液面 . 【答案】3 【分析】根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则 解得． 故答案为：3． 14．（2分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m， 树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m． 【答案】 【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC， 然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长． 【详解】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， 即， ∴OP＝m． 故答案为：． 15． （2分）如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点， 过点作于点．若，，则的直径是 ． 【答案】 【分析】连接，，由勾股定理求得，然后通过证得，求得直径即可． 【详解】解：连接，， 为的切线， ， ， ， ． 又， ， ， 在中，，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 16.（2分）．如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转，得到， 点在上，交于点．如下结论中： ①平分； ②； ③； ④． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】由旋转性质得AD=AC，∠ADE=∠C，利用AD=AC得到∠ADC=∠C，即可推出∠ADC=∠ADE，判断①正确；根据∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，即可证明△AEF∽△DBF，判断②正确；利用三角形的外角性质判断③正确；由∠FAD不一定等于∠CAD，不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，由此判断④错误． 【详解】由旋转得：AD=AC，∠ADE=∠C， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠C， ∴∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，故①正确； ∵∠E=∠B，∠AFE=∠BFD， ∴△AEF∽△DBF，故②正确； ∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C， ∴，故③正确； ∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD=AD，∠ADC=∠ADE， ∴不能证明△ADF全等于△ADC， 故CD不一定等于DF， ∴DE-DF不一定等于BC-CD，即无法证明EF=BD，故④错误； 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）直接利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 因式分解，得： ∴或， 解得：，； （2）解：， ， ， ∴， 解得：，． 18．（8分）某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠， 本次活动共有两种方式： 方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其它区域无优惠； 方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同， 所购买物品享受9折优惠，其它情况无优惠． （备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能性相同； 转盘乙中，B、C区域的圆心角均为；②若指针指向分界线，则重新转动转盘．） (1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为______； (2)两种方式中，哪一种让顾客获得9折优惠的可能性大？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】(1) (2)两个方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由转动转盘甲共有三种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得答案． 【详解】（1）解：若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为． 故答案为：． （2）解：将转盘乙中A区域平均分成两份，则此转盘乙转动可能出现4种等可能的情况，其中有2个A、1个B，1个C，则转动两个转盘，所有可能的结果如下： A C A A B 由表可知共有12种等可能结果，其中转到两个字母相同的有4种种结果， ∴顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为：； ∴两种方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大． 19．（8分）射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 8 c 乙 8 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，__________，__________； (2)你认为谁的射击成绩更好？为什么？ (3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】(1)8，，； (2)甲的成绩更好，理由见解析 (3)变小 【分析】本题考查条形统计图，平均数、中位数、方差，掌握各统计量的意义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，方差的定义计算即可； （2）比较两个数据的平均数和方差，平均数越高、方差越小，成绩越好； （3）计算出方差，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意知， ； 将乙的10次数据从小到大排列为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10， 中位数； 甲的方差：； 故答案为：8，，； （2）解：甲的射击成绩更好， 理由：甲，乙两人的平均数相等，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定； （3）解：乙再射击1次，命中8环时， 平均数为：； 方差为：， 乙射击成绩的方差将变小， 故答案为：变小． 20． （7分）如图，是的直径，是的一条弦，是的切线，且， 延长交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得出，由等腰三角形的性质得，根据等角的余角相等得出，即可证得． （2）易得，则，，由，得，即可得出结论． 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质及判定，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：是的切线， ， ，． 又， ， ， ； （2）连接， 是的直径， ， 在中，，， ， ， ，由（1）知，， ， ，，即， ， 又， ， ． 21．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣a﹣1＝0． （1）求证：方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵Δ＝12﹣4×a×（﹣a﹣1）＝1+4a2+4a＝（2a+1）2≥0， ∴方程总有实数根． （2）解：∵方程的两个根分别为x1，x2， ∴，， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝＝0． 22．（8分）48．如图，在中，点D在上，，点E，F分别在，上，． (1)求证∽； (2)若，，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过证明∽，可得，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， 又 ； （2）解：∵， ， ，，， ， ，， ， ∵ ， ， ， ∴， 故答案为： 23． （8分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满： 当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间， 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； (2)房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】(1)48 (2)350元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意列式计算即可得到答案； （2）设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意得：（个， 故答案为：48； （2）解：设每个房间定价增加元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， （元， 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值． 24．（7分）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件） 与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：， 在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1) 设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式， 并 求出自变量的取值范围． (2) 当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3) 当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 【答案】(1)； (2)20元； (3)24元． 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题； （1）由题意得，根据利润= （定价进价） 销售量，从而列出关系式； （2）令，解方程即可； （3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； 【详解】（1）由题意，得：或 ， ， ． （2）解：令，即， 解得：． ， ， 答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元； （3）解：， 对称轴直线． ， 抛物线开口向下． 其对称轴为直线， 当时，最大， 答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润． 25．（8分）课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：． 思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）5； 【解析】 【分析】（1）如图1，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题． （3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵， 等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，（负根舍去） ∴． 26．（9分）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)求C点的坐标； (3)抛物线对称轴上有一动点P，是否存点P，使得最小，若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可求解； （3）先判断点P的位置，然后求出直线的解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴； （3）连接交对称轴于点P，连接． ∵，两点关于对称轴直线对称， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时，， ∴． 27．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P在劣弧BC上（不与点B，C重合）． （1）如图1，若PA是⊙O直径，则PA______PB+PC（请填“＞”，“=”或“＜”） （2）如图2，若PA不是⊙O的直径，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请说明理由：如果成立，请给出证明． （3）如图3，若四边形ACPB的面积是16． ①求PA的长； ②设y=S△PCB+S△PCA，求当PC为何值时，y的值最大？并直接写出此时⊙O的半径． 【答案】（1）=；（2）结论仍然成立，理由见解析．（3）①PA=8，②PC=5，y的值最大，△ABC的外接圆的半径为 ． 【解析】 【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆，PA是直径，得PC=PA，PB=PA；（2）根据等边三角形的性质和判定，可证△CBE≌△ABE（SAS），PC=AE，故PA=PE+AE=PB+PC；（3）①如图3中，作CM⊥PA于M，BN⊥PA于N．根据S四边形ACPB=S△PAC+S△PAB得16=PA•CM+•PA•BN，根据三角函数得CM=PC•sin60°，BN=PC•sin60°，故16=•PA•（PB+PC），PA2=64；②设PC=x，则PB=8-x， 由y=S△PCB+S△PCA=•PC•PB•sin60°+•8•PC•sin60°，得y=x（8-x）+x=-x2+x=-（x-5）2+，根据二次函数二次函数最值性质和勾股定理可求解. 【详解】解：（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的外接圆，PA是直径， ∴PA平分∠BAC，∠ACP=∠ABP=90°， ∴∠PAC=∠PAB=×60°=30°， ∴PC=PA，PB=PA， ∴PA=PB+PC． 故答案为=． （2）结论仍然成立． 理由：如图2中，在PA上取一点E，使得PE=PB． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠APB=∠ACB=60°， ∵PE=PB， ∴△PBE是等边三角形， ∴∠PBE=∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠CBP， ∵BC=BA，BP=BE， ∴△CBE≌△ABE（SAS）， ∴PC=AE， ∴PA=PE+AE=PB+PC． （3）①如图3中，作CM⊥PA于M，BN⊥PA于N． ∵S四边形ACPB=S△PAC+S△PAB， ∴16=PA•CM+•PA•BN， ∵∠APC=∠ABC=60°，∠APB=∠ACB=60°， ∴CM=PC•sin60°，BN=PC•sin60°， ∴16=•PA•（PB+PC）， ∵PB+PC=PA， ∴PA2=64， ∵PA＞0， ∴PA=8． ②设PC=x，则PB=8-x， ∵y=S△PCB+S△PCA=•PC•PB•sin60°+•8•PC•sin60°， ∴y=x（8-x）+x=-x2+x=-（x-5）2+， ∵-＜0， ∴x=5时，y有最大值， ∴PC=5，CM=，PM=，AM=， 在Rt△ACM中，AC==7， ∴△ABC的外接圆的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 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