精品解析：天津市第三中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高二年级阶段性检测试卷 数学 （2025.12） 试卷命题人：高颖 试卷审核人：高二数学集备组 一、单选题（共9题，每题4分，共36分） 1. 数列一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中，，则的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D. 27 3. 有穷数列1，，，，…，的项数是 A. B. C. D. 4. 已知数列是等比数列，，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则（ ） A 64 B. 60 C. 56 D. 48 6. 设等差数列的前n项和为，若，则(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知等差数列的前17项和，则（　　） A 3 B. 6 C. 17 D. 51 8. 一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知数列前n项和，则=________． 11. 若等比数列满足，，则公比__________;前项_____. 12. 数列中， ， ，则________． 13. 等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 15. 已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ________． 三、解答题（共40分） 16. 数列中，，. （1）求数列的前n项和； （2）求使得数列是递增数列的n的取值范围． 17. 已知等差数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知等差数列公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，其前n项和为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高二年级阶段性检测试卷 数学 （2025.12） 试卷命题人：高颖 试卷审核人：高二数学集备组 一、单选题（共9题，每题4分，共36分） 1. 数列的一个通项公式为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，代入各选项直接得出答案. 【详解】由题意得，令， A选项：，不合题意； B选项：，不合题意； C选项：，不合题意； D选项：，符合题意 故选：D. 2. 等差数列中，，则的值为 A 14 B. 18 C. 21 D. 27 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，， ，故选A. 3. 有穷数列1，，，，…，的项数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由有穷数列1，23，26，29，…，23n+6，可得指数为：0，3，6，9，…，3n+6为等差数列，即可得出． 详解：由有穷数列1，23，26，29，…，23n+6， 可得指数为：0，3，6，9，…，3n+6． 设3n+6为此数列的第k项，则3n+6=0+（k﹣1）×3， 解得k=n+3． 故选D． 点睛：本题考查了等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算能力，属于基础题． 4. 已知数列是等比数列，，，则公比（ ） A B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用等比数列的通项公式列出关于和 的方程组，解方程组即可得出答案. 【详解】由题意可知，解得. 故选：D 5. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则（ ） A. 64 B. 60 C. 56 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等比数列以及列出关于方程，解出，再根据计算答案即可 【详解】因为，，成等比数列，则 ， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 6. 设等差数列的前n项和为，若，则(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由又，可得公差，从而可得结果. 【详解】是等差数列 又， ∴公差， ，故选C． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7. 已知等差数列的前17项和，则（　　） A. 3 B. 6 C. 17 D. 51 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，由此可求出答案. 【详解】因为，所以，解得， ． 故选：A. 8. 一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得到的关系，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】设等差数列的公差为，其前项的和为. 由，可得，即， 所以， 因为，所以，所以当时，取得最大值. 故选：C 9. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到解出从而确定的长度，再利用三角形面积和之间的关系求出即可. 【详解】 设抛物线的准线为， 过作于，过作于点，过作于， 设， 因为，所以， 所以， 所以， 在中，，所以， 因为，所以， 又，所以， 又由，可得， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程，解出. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知数列的前n项和，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推关系中与的关系求解，要注意验证. 【详解】当时，； 当时，. 又也满足，所以. 故答案为：. 11. 若等比数列满足，，则公比__________;前项_____. 【答案】2， 【解析】 【详解】， 由，解得，则， 故. 故答案为：2， 考点定位：本题考查了等比数列的通项公式、前n项公式和数列的性质. 12. 数列中， ， ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】等式平方得，再利用等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】，两边平方得，则， 又因为，则数列是以4为首项，公差为3的等差数列， 则，则. 故答案为：. 13. 等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3 【解析】 【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果． 详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列， ∴S7==381，解得a1=3．故答案为3. 点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 15. 已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由，a1＝1，得到数列周期为4，计算出一个周期内的和为，所以. 【详解】因为数列中， ，； 所以，， ，， 与相同， 所以数列的周期为4 一个周期内的和为， 因为 所以； 故答案为：. 三、解答题（共40分） 16. 数列中，，. （1）求数列的前n项和； （2）求使得数列是递增数列的n的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式即可得到答案； （2）根据二次函数单调性并结合数列单调性即可得到答案. 【小问1详解】 ，所以， 数列是以为首项，3为公差的等差数列， 所以数列的前n项和为，即 【小问2详解】 的对应函数为， 它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为 · 当 时，函数增函数. 因为，且，所以. 综上，可知使得数列是递增数列的n的取值范围是 17. 已知等差数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组求解基本量，进而求得通项公式； （2）根据（1）中的结果给出的表达式，利用裂项相消法求其前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，根据题目条件可得 ，解得， 故的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 从而数列的前n项和为 . 18. 已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，其前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据为等差数列通项公式可求得，即可得等差数列的通项公式，根据为等比数列及题干条件，可求得，即可得等比数列通项公式； （2）由（1）可得，根据错位相减求和法结合等比数列求和公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为，且. 则，解得， 所以； 因为数列是各项均为正数的等比数列，设公比为， 因为，则， 即，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 则， 可得， 两式相减得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $