21.1 二次根式 题型专练 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

21.1 二次根式 题型专练 【题型1】二次根式的识别 【典型例题】下列式子不属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】已知①，②，③，④，⑤，⑥，其中是二次根式的是　           　． 【举一反三3】代数式 　      　是二次根式.（填“一定”“一定不”“不一定”） 【举一反三4】是二次根式吗？ 【题型2】二次根式有意义的条件 【典型例题】若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】使式子有意义的未知数x有（　　）个． A.0 B.1 C.2 D.无数 【举一反三2】已知a满足|4﹣a|+＝a，则a＝　    　． 【举一反三3】求使式子有意义的x的取值范围． 【题型3】二次根式与分式结合的未知数的取值 【典型例题】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A.x≤2 B.x＞2 C.x≥2 D.x＜2 【举一反三1】若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣4 【举一反三2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　      　． 【举一反三3】已知x，y满足y3＝，试判断x+y是否存在平方根？若存在，求出平方根，若不存在，请说明理由． 【题型4】二次根式的性质（√a）²＝a（a≥0） 【典型例题】化简|a﹣2|+（）2的结果是（　　） A.4﹣2a B.0 C.2a﹣4 D.4 【举一反三1】（﹣）2的相反数是（　　） A.3 B.﹣3 C. D.﹣ 【举一反三2】化简（﹣）2的结果是（　　） A.﹣8 B.8 C.±8 D.16 【举一反三3】二次根式的性质：（）2＝　　（a≥0）． 【举一反三4】计算： （1）＝　   　； （2）＝　  　. 【举一反三5】计算： （1）（）2； （2）（）2； （3）（）2； （4）（）2． 根据计算结果，你能得出的结论：（）2＝　   　，其中a≥0． （）2＝a（a≥0）的意义是　         　． 【题型5】二次根式的性质√（a²）=绝对值a 【典型例题】下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（　　） A. B.（﹣）2 C.﹣ D. 【举一反三1】下列运算正确的是（　　） A.＝±2 B.＝﹣2 C.＝2 D.＝﹣3 【举一反三2】若实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ＝　      　． 【举一反三3】已知a，b，c为三角形的三边长，化简：． 【举一反三4】若x＜2，化简+|4﹣x|，小明的解答过程如下： 解：原式＝+（4﹣x） 第一步 ＝x﹣2+4﹣x 第二步 ＝2 第三步 （1）小明的解答从第 　  　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：       　； （2）写出正确的解答过程． 【题型6】二次根式的化简 【典型例题】使式子有意义的未知数x有（　　）个． A.0 B.1 C.2 D.无数 【举一反三1】当x＜﹣3时，|1﹣|等于（　　） A.x+3 B.x﹣1 C.x+1 D.﹣x﹣3 【举一反三2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简（）2+的结果为 　　． 【举一反三3】若m和n为实数，，则m+n＝　     　 【举一反三4】已知a≥5，求﹣的值． 【举一反三5】＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：＝　    　，＝　  　； （2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 　            　； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+． 21.1 二次根式 题型专练（参考答案） 【题型1】二次根式的识别 【典型例题】下列式子不属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数﹣7＜0，所以不是二次根式，故此选项符合题意； C、因为x2≥0，所以x2+2＞0，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C. 【举一反三2】已知①，②，③，④，⑤，⑥，其中是二次根式的是　           　． 【答案】① 【解析】是二次根式； 是0.003的立方根； ，在实数范围无意义； ，中被开方数可能为负数； 则二次根式的是①， 故答案为：①． 【举一反三3】代数式 　      　是二次根式.（填“一定”“一定不”“不一定”） 【答案】不一定 【解析】∵当a＞0时，﹣a＜0， ∴当a＞0时，代数式不是二次根式， ∴代数式不一定是二次根式． 故答案为：不一定． 【举一反三4】是二次根式吗？ 【答案】解：根据二次根式的定义可知：是二次根式． 【题型2】二次根式有意义的条件 【典型例题】若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A．当x＝3时，2﹣x＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意； B．当x＝3时，x﹣1＝2＞0，原式有意义，符合题意； C．当x＝3时，x﹣4＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意； D．当x＝3时，﹣2x＝﹣6＜0，原式无意义，不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】使式子有意义的未知数x有（　　）个． A.0 B.1 C.2 D.无数 【答案】B 【解析】由题意，得﹣（x﹣3）2≥0，则x﹣3＝0，所以x＝3．即使式子有意义的未知数x有1个． 故选：B． 【举一反三2】已知a满足|4﹣a|+＝a，则a＝　    　． 【答案】21 【解析】由题意可得a﹣5≥0， 解得a≥5， ∴|4﹣a|＝a﹣4， ∵|4﹣a|+＝a， ∴a﹣4+＝a， ∴＝4， ∴a﹣5＝16， 解得a＝21． 故答案为：21． 【举一反三3】求使式子有意义的x的取值范围． 【答案】解：∵式子有意义， ∴，解得0≤0≤． 【题型3】二次根式与分式结合的未知数的取值 【典型例题】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A.x≤2 B.x＞2 C.x≥2 D.x＜2 【答案】B 【解析】由题意可得x﹣2＞0， 解得：x＞2， 故选：B． 【举一反三1】若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣4 【答案】D 【解析】去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3， 解得，x＝， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴＞0， ∴m＞﹣5， 又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3， ∴m≠﹣3， ∵有意义， ∴2﹣m≥0， ∴m≤2， 因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3， ∵m为整数， ∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4， 故选：D． 【举一反三2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　      　． 【答案】1＜x≤3且x≠2 【解析】 ∵代数式有意义， ∴， 由①，可得x≤3， 由②，可得x＞1， 由③，可得x≠2， ∴1＜x≤3且x≠2． 故答案为：1＜x≤3且x≠2． 【举一反三3】已知x，y满足y3＝，试判断x+y是否存在平方根？若存在，求出平方根，若不存在，请说明理由． 【答案】解：由题意得：， 解得：x＝±3， ∵x﹣3≠0， 解得：x≠3， ∴x＝﹣3， ∴y3＝﹣1， 解得：y＝﹣1， x+y＝﹣4， 负数不存在平方根． 【题型4】二次根式的性质（√a）²＝a（a≥0） 【典型例题】化简|a﹣2|+（）2的结果是（　　） A.4﹣2a B.0 C.2a﹣4 D.4 【答案】A 【解析】由题意可得：2﹣a≥0， 则a≤2， ∴|a﹣2|+（）2＝2﹣a+2﹣a＝4﹣2a． 故选：A． 【举一反三1】（﹣）2的相反数是（　　） A.3 B.﹣3 C. D.﹣ 【答案】B 【解析】（﹣）2＝3的相反数是：﹣3． 故选：B． 【举一反三2】化简（﹣）2的结果是（　　） A.﹣8 B.8 C.±8 D.16 【答案】B 【解析】原式＝8． 故选：B． 【举一反三3】二次根式的性质：（）2＝　　（a≥0）． 【答案】a 【解析】（）2＝a （a≥0）． 故答案为：a． 【举一反三4】计算： （1）＝　   　； （2）＝　  　. 【答案】（1）12 （2）18 【解析】（1）＝22×（）2＝4×3＝12， 故答案为：12； （2）＝（﹣3）2×（）2＝9×2＝18， 故答案为：18. 【举一反三5】计算： （1）（）2； （2）（）2； （3）（）2； （4）（）2． 根据计算结果，你能得出的结论：（）2＝　   　，其中a≥0． （）2＝a（a≥0）的意义是　         　． 【答案】解：（1）（）2＝4， （2）（）2＝3， （3）（）2＝0.5， （4）（）2＝ 根据计算结果，得出的结论：（）2＝a，其中a≥0， （）2＝a（a≥0）的意义是a的算术平方根是． 故答案为：a，a的算术平方根是． 【题型5】二次根式的性质√（a²）=绝对值a 【典型例题】下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（　　） A. B.（﹣）2 C.﹣ D. 【答案】C 【解析】A的答案是5，B的结果是5，C的结果是﹣5，D的结果是5， 故选：C． 【举一反三1】下列运算正确的是（　　） A.＝±2 B.＝﹣2 C.＝2 D.＝﹣3 【答案】D 【解析】A．＝2，故选项错误，不符合题意； B．＝2，故选项错误，不符合题意； C．＝﹣2，故选项错误，不符合题意； D．＝﹣3，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三2】若实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ＝　      　． 【答案】a﹣2 【解析】由图可知2＜a＜3， ∴2﹣a＜0， ∴＝a﹣2． 故答案为：a﹣2． 【举一反三3】已知a，b，c为三角形的三边长，化简：． 【答案】解：∵a，b，c为三角形的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a， ∴ ＝|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c+b+c﹣a ＝2b． 【举一反三4】若x＜2，化简+|4﹣x|，小明的解答过程如下： 解：原式＝+（4﹣x） 第一步 ＝x﹣2+4﹣x 第二步 ＝2 第三步 （1）小明的解答从第 　  　步出现错误的，错误的原因是用错了性质：       　； （2）写出正确的解答过程． 【答案】解：原式＝a+＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17； （1）小明的解答是错误的． （2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：＝a（a≥0）， 故答案为：小明，＝a（a≥0）． 【题型6】二次根式的化简 【典型例题】使式子有意义的未知数x有（　　）个． A.0 B.1 C.2 D.无数 【答案】B 【解析】由题意，得﹣（x﹣3）2≥0，则x﹣3＝0，所以x＝3．即使式子有意义的未知数x有1个． 故选：B． 【举一反三1】当x＜﹣3时，|1﹣|等于（　　） A.x+3 B.x﹣1 C.x+1 D.﹣x﹣3 【答案】D 【解析】∵x＜﹣3， ∴3+x＜0， 则|1﹣|＝|1+2+x|＝|3+x|＝﹣x﹣3， 故选：D． 【举一反三2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简（）2+的结果为 　　． 【答案】1 【解析】由数轴可知：0＜a＜1， 则a﹣1＜0， ∴原式＝a+1﹣a＝1， 故答案为：1． 【举一反三3】若m和n为实数，，则m+n＝　     　 【答案】﹣4 【解析】∵m2≥0， 又∵﹣m2≥0，﹣n≥0， ∴m＝0， ∵， ∴， 即﹣n＝4， ∴n＝﹣4， ∴m+n＝0+（﹣4）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【举一反三4】已知a≥5，求﹣的值． 【答案】解：∵a≥5， ∴a﹣2＞0，﹣3﹣a＜0， ∴原式＝|a﹣2|﹣|﹣3﹣a| ＝a﹣2+（﹣3﹣a） ＝a﹣2﹣3﹣a ＝﹣5． 【举一反三5】＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：＝　    　，＝　  　； （2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 　            　； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+． 【答案】解：（1）＝|﹣2|＝2，＝|3﹣π|＝π﹣3． ∴答案为：2，π﹣3． （2）∵＝|1+x|＝﹣1﹣x． ∴1+x≤0， ∴x≤﹣1． 故答案为：x≤﹣1． （3）由数轴得：a＜b＜0＜c． ∴c﹣a＞0，b﹣c＜0． ∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c| ＝﹣a﹣c+a﹣b+c ＝﹣b． 学科网（北京）股份有限公司 $