专题02 二次根式的运算的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题02 二次根式的运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次根式的混合运算 类型二、二次根式中的分母有理化 类型三、二次根式中的新定义型探究问题 类型四、二次根式中的规律探究问题 压轴专练 类型一、二次根式的混合运算 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 3.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 4.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广：. 6.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 7.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 8.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 例1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、化简绝对值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算． （1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型二、二次根式中的分母有理化 1.分母有理化的定义与目的：分母有理化是指通过一定方法，将二次根式中分母的根号去掉，把分母转化为有理数的过程。目的在于简化根式运算，使二次根式的形式更便于计算和分析， 让根式表达式更符合数学运算的规范与习惯。 2.分母有理化的基本方法：若分母为（a>0），只需将分子分母同乘；若分母为+（a,b≥0且a≠b），利用平方差公式，分子分母同乘-；对于更复杂的分母形式，同样遵循此思路，找到合适的有理化因式。 3.分母有理化的注意事项：计算时要保证分子分母同乘的式子不为0；在运算过程中，需注意根式的性质和运算法则，正确运用乘法分配律等进行展开与化简；完成有理化后，要对结果进行检查和整理，能约分的要约分，确保结果为最简二次根式。 例2．阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)计算：　　　　　，　　　　　； 若n为正整数，请你猜想　　　　　． (2)计算：； 【答案】(1)；； (2)2023 【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键． （1）根据平方差公式，类比例子解答即可； （2）根据平方差公式，类比例子解答即可． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）解：原式 ． 【变式2-1】在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算： （1）先分子和分母都乘进行分母有理化即可；分子和分母都乘进行分母有理化即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解： ． 【变式2-2】在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： ． (1)用上述方法化简； (2)． 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据例题的方法，分母有理化即可求解； （2）将每一项都分母有理化，继而即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点． （1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可； （2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， ∴． 类型三、二次根式中的新定义型探究问题 1. 理解新定义本质：新定义问题会给出特定规则或运算方式，需仔细研读题目，明确新定义的概念、符号含义及运算规则，将其转化为熟悉的数学语言。例如，给定新定义“＠”的运算规则，需准确掌握其对二次根式的运算要求，这是解题的基础。 2. 应用新定义解题：依据新定义规则，结合二次根式的性质和运算法则进行计算。在代入数值或二次根式表达式时，严格遵循新定义步骤，逐步推导求解，确保每一步运算符合新定义与数学运算逻辑。 3. 验证与总结规律：得出结果后，将答案代入新定义中验证是否满足条件。同时，观察题目特征，总结新定义问题的命题规律与解题思路，以便应对类似题型，如部分新定义问题可能存在周期性或特殊运算规律，发现规律能提升解题效率。 例3．若，则称x和y是关于1的平衡数． (1)4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； (2)已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据平衡数的定义，进行求解即可； （2）根据，求出的值，再根据平衡数的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：； （2）解：不是，理由如下： ， ∴，， ∴； ∴， ∴与不是关于1的平衡数． 【变式3-1】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 【变式3-2】定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的应用 【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由题意得：，化简即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； 【变式3-3】我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)和 (2) (3) (4)6或 【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【详解】（1）解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； （3）解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； （4）解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 类型四、二次根式中的规律探究问题 1. 观察式子特征：对给定的二次根式式子，需观察数字变化、根式结构、系数规律等。如观察根式中被开方数的递增模式，是等差、等比还是其他规律；分析系数与根式的关联，是否存在倍数或幂次关系，从整体与局部把握式子特征，为发现规律奠定基础。 2. 归纳总结规律：通过对多个式子的计算、对比和分析，尝试用代数式表示规律。可从简单特殊情况入手，逐步推导一般性结论，利用不完全归纳法总结数字、运算符号、根式形式等方面的共性，形成通用的表达式，注意验证规律对所有式子的适用性。 3. 应用规律解题：将总结的规律用于计算未知式子、预测后续项或解决相关问题。应用时需注意规律成立的条件和范围，若涉及二次根式化简，结合根式性质与运算法则，确保结果准确，同时可反向验证规律，增强结论可靠性。 例4．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 【变式4-1】观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 【变式4-2】观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 【变式4-3】小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 一、单选题 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐一验证判定解答即可． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意； B. ，正确，符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选：B． 2．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由定义， ∴ 故选：C． 3．在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，能找出分母的有理化因式是解题的关键． 根据分母有理化计算法则解答即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 4．八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高的长为， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同类二次根式，二次根式的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义得出，变形即可得出答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 6．对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键在于理解新定义的运算法则，并进行计算． 理解新定义运算法则，按照新定义运算法则计算即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 7．我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 8．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式去括号，然后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算． （1）直接利用二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）根据二次根式加减法计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则和顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 13．定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)， (3) 【分析】本题考查了实数的新定义，二次根式的加法和乘法运算，二次根式的化简求值，理解新定义是解题的关键． （）根据共轭实数的定义解答即可； （）根据二次根式的加法和乘法运算法则计算即可； （）求出和的值，再代入代数式计算即可； 【详解】（1）解：写出的一对共轭实数可以是和， 故答案为：，； （2）解：， ； （3）解：∵， ∴， ， ∴原式 ． 14．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 15．观察下列各式： ①； ②； ③． (1)请根据以上规律，写出第4个式子： ． (2)请根据以上规律，写出第n个式子 ； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2)（的整数） (3)44 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化的应用，发现计算规律，掌握分母有理化和合并同类二次根式是解题的关键． （1）利用题中等式的规律求解； （2）利用题中等式的规律求解； （3）根据（1）中规律去分母，然后合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：第4个式子为： ． 故答案为：． （2）解：第个式子为：（的整数）， 故答案为：（的整数）； （3）解： ． 16．【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____； (2)计算：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)12. 【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次根式的混合运算 类型二、二次根式中的分母有理化 类型三、二次根式中的新定义型探究问题 类型四、二次根式中的规律探究问题 压轴专练 类型一、二次根式的混合运算 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 3.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 4.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广：. 6.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 7.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 8.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 例1．计算： (1) (2) 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】计算： (1) (2) 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 类型二、二次根式中的分母有理化 1.分母有理化的定义与目的：分母有理化是指通过一定方法，将二次根式中分母的根号去掉，把分母转化为有理数的过程。目的在于简化根式运算，使二次根式的形式更便于计算和分析， 让根式表达式更符合数学运算的规范与习惯。 2.分母有理化的基本方法：若分母为（a>0），只需将分子分母同乘；若分母为+（a,b≥0且a≠b），利用平方差公式，分子分母同乘-；对于更复杂的分母形式，同样遵循此思路，找到合适的有理化因式。 3.分母有理化的注意事项：计算时要保证分子分母同乘的式子不为0；在运算过程中，需注意根式的性质和运算法则，正确运用乘法分配律等进行展开与化简；完成有理化后，要对结果进行检查和整理，能约分的要约分，确保结果为最简二次根式。 例2．阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)计算：　　　　　，　　　　　； 若n为正整数，请你猜想　　　　　． (2)计算：； 【变式2-1】在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)化简：． 【变式2-2】在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： ． (1)用上述方法化简； (2)． 【变式2-3】在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 类型三、二次根式中的新定义型探究问题 1. 理解新定义本质：新定义问题会给出特定规则或运算方式，需仔细研读题目，明确新定义的概念、符号含义及运算规则，将其转化为熟悉的数学语言。例如，给定新定义“＠”的运算规则，需准确掌握其对二次根式的运算要求，这是解题的基础。 2. 应用新定义解题：依据新定义规则，结合二次根式的性质和运算法则进行计算。在代入数值或二次根式表达式时，严格遵循新定义步骤，逐步推导求解，确保每一步运算符合新定义与数学运算逻辑。 3. 验证与总结规律：得出结果后，将答案代入新定义中验证是否满足条件。同时，观察题目特征，总结新定义问题的命题规律与解题思路，以便应对类似题型，如部分新定义问题可能存在周期性或特殊运算规律，发现规律能提升解题效率。 例3．若，则称x和y是关于1的平衡数． (1)4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； (2)已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 【变式3-1】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【变式3-2】定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【变式3-3】我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 类型四、二次根式中的规律探究问题 1. 观察式子特征：对给定的二次根式式子，需观察数字变化、根式结构、系数规律等。如观察根式中被开方数的递增模式，是等差、等比还是其他规律；分析系数与根式的关联，是否存在倍数或幂次关系，从整体与局部把握式子特征，为发现规律奠定基础。 2. 归纳总结规律：通过对多个式子的计算、对比和分析，尝试用代数式表示规律。可从简单特殊情况入手，逐步推导一般性结论，利用不完全归纳法总结数字、运算符号、根式形式等方面的共性，形成通用的表达式，注意验证规律对所有式子的适用性。 3. 应用规律解题：将总结的规律用于计算未知式子、预测后续项或解决相关问题。应用时需注意规律成立的条件和范围，若涉及二次根式化简，结合根式性质与运算法则，确保结果准确，同时可反向验证规律，增强结论可靠性。 例4．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【变式4-1】观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【变式4-2】观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【变式4-3】小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 一、单选题 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 3．在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 6．对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 7．我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 8．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为 ． 三、解答题 9．计算 (1) (2) 10．计算： (1)； (2)． 11．计算： (1)； (2)． 12．定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 13．定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 14．观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 15．观察下列各式： ①； ②； ③． (1)请根据以上规律，写出第4个式子： ． (2)请根据以上规律，写出第n个式子 ； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 16．【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____； (2)计算：； (3)已知，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$