数学一模提分卷03（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为（    ） A． B．0 C．2 D． 5．已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 6．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（    ） A．第一象限的点比第二象限的点多 B．第二象限的点比第三象限的点多 C．第三象限的点比第一象限的点多 D．第四象限的点比第二象限的点多 7．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示： 运动时长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 天数 2 3 10 9 2 4 则下列结论正确的是（    ） A．该人该月运动时长的极差为8h B．该人该月运动时长的中位数为1.75h C．该人该月运动时长的平均数为1.8h D．该人该月运动时长的方差小于1 10．如图，点是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为 . 13．已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为 . 14．已知均为不大于10的正整数，现从有序实数对中随机抽取一对，则使得直线与函数的图象恰有两个不同的交点的概率为 .（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角的对边分别为，，且. (1)求； (2)若为的中点，且，求的面积. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，，是的中点，是上一点，平面.  (1)证明：平面； (2)若，，是的中点，二面角的大小为，求. 17．（15分） 已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：只有一个零点. ①，；②，. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（17分） 若数列满足，则称为“增差数列”. (1)若，证明：为“增差数列”； (2)若为“增差数列”，且，，求的最大值； (3)已知“增差数列”的前项和为，数列的前项和为，若，证明：. 19．（17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][Cg[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 1 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A C A D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】因为， 所以，则其对应坐标为，在第一象限. 故选：A 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由得， 解得且， 故， 又， 所以. 故选：C. 3．已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可得，， 所以向量在上的投影向量为， 故选：B. 4．已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为（    ） A． B．0 C．2 D． 【详解】设（且），则的图象过点，所以， 所以，所以，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以在上单调递增， 又由，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 故选：C. 5．已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【详解】因为轴，所以， 又因为，所以，可得得，所以， 因为，所以，得. 故选：A. 6．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（    ） A．第一象限的点比第二象限的点多 B．第二象限的点比第三象限的点多 C．第三象限的点比第一象限的点多 D．第四象限的点比第二象限的点多 【详解】设分别从第一、二、三、四象限中取个点，则， 两式相加得，所以，所以选项D正确， 取时，满足，但，所以A和B错误， 取时，满足，但，所以C错误， 故选：D. 7．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可得第次是丙投篮的所有情况如下表所示： 第1次投篮 第2次投篮 第3次投篮 第4次投篮 第5次投篮 情况1 甲（投中） 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙 情况2 甲（投中） 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况3 甲（未投中） 乙（投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况4 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况5 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况6 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙（投中） 丙 因此第次是丙投篮的概率为， 故选：B. 8．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示： 运动时长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 天数 2 3 10 9 2 4 则下列结论正确的是（    ） A．该人该月运动时长的极差为8h B．该人该月运动时长的中位数为1.75h C．该人该月运动时长的平均数为1.8h D．该人该月运动时长的方差小于1 【详解】选项A：由题表可得该人该月运动时长的极差为，故A错误. 选项B：将该人该月的运动时长按从小到大的顺序排列后，中位数为第15个数据与第16个数据的平均数，由题表可知第15个数据是1.5，第16个数据是2，该月共有30天，因此该人该月运动时长的中位数为1.75h，,故B正确. 选项C：该人该月运动时长的平均数为，故C正确. 选项D：该人该月运动时长的方差为，故D正确. 故选：BCD. 10．如图，点是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称 【详解】对于选项A，设点的横坐标分别为，， 则由题图可得，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以，故A正确； 对于选项B，因为，所以，所以，解得， 故B错误； 对于选项C，由选项B可得， 所以直线是图象的一条对称轴，故C正确； 对于选项D，将的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，即， 的图象不关于原点对称，故D错误. 故选：AC. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为 . 【详解】由题意可得，故， 故展开式的第四项为, 故系数为， 故答案为： 13．已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为 . 【详解】设双曲线的左焦点为，连接， 因为为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为， 可得直线的倾斜角为，则， 又由的斜率为，可得，所以， 在中，设，， 由正弦定理得，即，可得， 又由双曲线的定义，可得，所以，. 在中，由余弦定理得， 整理得，即，解得（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14．已知均为不大于10的正整数，现从有序实数对中随机抽取一对，则使得直线与函数的图象恰有两个不同的交点的概率为 .（参考数据：） 【详解】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，当时，；当时，， 且当时，，作出函数的大致图象，如图所示： 设经过原点的直线与函数的图象切于点， 则直线的方程为， 因为直线经过原点，所以，解得， 所以直线的斜率为， 由图象可得，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点， 则，可得， 因为均为不大于10的正整数，所以当时，， 则，共有5对符合题意的有序实数对； 当时，，则，共有2对符合题意的有序实数对； 当时，，不存在符合题意的有序实数对， 故使得直线与的图象恰有两个不同的交点的有序实数对共有7对， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角的对边分别为，，且. (1)求； (2)若为的中点，且，求的面积. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理，可得，....................................（2分） 又因为， 由余弦定理得，....................................（4分） 因为，所以.....................................（6分） （2）解：由且，可得，解得，即，....................................（7分） 因为，所以， 由余弦定理得，.................................（9分） 解得，所以，则，....................................（11分） 所以的面积为...............................（13分） 16．（15分） 如图，在三棱柱中，，是的中点，是上一点，平面.    (1)证明：平面； (2)若，，是的中点，二面角的大小为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）由已知可证得平面，得，再证得，即可得出结果. （2）以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用平面的法向量来求解二面角，进而得出线段长度。 【详解】（1）连接，因为，是的中点，....................................（1分） 所以. 因为平面，平面， 所以，.....................................（2分） 因为，平面，，所以平面，............................（3分） 因为平面，所以. 因为，，所以，....................................（5分） 因为，平面，，所以平面..........................（6分） （2）在平面中，过点作，交于点， 易知平面，又，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，....................................（8分）    设， 则，，可得， 所以，，， 所以，.....................................（10分） 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以.....................................（11分） 又平面的一个法向量为， ....................................（12分） 所以，得，....................................（14分） 所以，符合题意. 所以.....................................（15分） 17．（15分） 已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：只有一个零点. ①，；②，. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）解：由函数，可得的定义域为， 且，....................................（2分） 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若，则，在上单调递增； 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增.....................................（5分） 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减...............................（6分） （2）解：选择条件①：，， 由（1）知当时，在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，.........................（8分） 令，则， 所以在上单调递增，则，....................................（11分） 故，从而.....................................（12分） 又由 ，....................................（14分） 所以存在唯一的，使得，即只有一个零点.....................................（15分） 选条件②：， 由（1）知当时，在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，..........................（8分） 令，则， 所以在上单调递增，则，....................................（11分） 所以，可得.....................................（12分） 又，........................（14分） 根据零点的存在性定理，可得存在唯一的，使得，即只有一个零点..............（15分） 18．（17分） 若数列满足，则称为“增差数列”. (1)若，证明：为“增差数列”； (2)若为“增差数列”，且，，求的最大值； (3)已知“增差数列”的前项和为，数列的前项和为，若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和、数列新定义 【分析】（1）设，由，得到，即可求解； （2）由数列为“增差数列”，得到，化简得到，得到，进而证得的最大值； （3）由为“增差数列”得到，得到，得到，进而证得. 【详解】（1）设，要证为“增差数列”，只需证，...................（1分） 因为，可得， 则，....................................（3分） 所以，所以为“增差数列”.....................................（4分） （2）由数列为“增差数列”，可得， 则，....................................（5分） 又因为，，....................................（6分） 因为， 所以，，，， 可得，即，可得，....................................（8分） 当且仅当时等号成立，所以的最大值为.....................................（10分） （3）因为数列为“增差数列”，可得， 所以，....................................（11分） 则，....................................（12分） 因为， 所以 ， 所以，....................................（14分） 所以，....................................（15分） 所以， 即， 所以.....................................（17分） 19．（17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 【详解】（1）因为的最小值为，所以.....................................（1分） 将代入的方程，得，故当轴时，的面积为，得，....................................（3分） 则，又，所以， 可得，....................................（4分） 故的方程为.....................................（5分） （2）（ⅰ）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， ，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，得， 则，.....................................（7分） 由题意可知，则 ，.............................（9分） 故为定值.....................................（10分） （ⅱ）当直线中的一条斜率不存在，一条斜率为0时，.....................................（11分） 当直线的斜率均存在且不为0时， 设直线的方程为，，， 将直线的方程代入的方程，得， 则，， 同理，，，....................................（13分） 所以 .....................................（15分） 令，则，， 故. 综上，的取值范围为.....................................（17分） 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______________ ______ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为（    ） A． B．0 C．2 D． 5．已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 6．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（    ） A．第一象限的点比第二象限的点多 B．第二象限的点比第三象限的点多 C．第三象限的点比第一象限的点多 D．第四象限的点比第二象限的点多 7．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示： 运动时长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 天数 2 3 10 9 2 4 则下列结论正确的是（    ） A．该人该月运动时长的极差为8h B．该人该月运动时长的中位数为1.75h C．该人该月运动时长的平均数为1.8h D．该人该月运动时长的方差小于1 10．如图，点是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为 . 13．已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为 . 14．已知均为不大于10的正整数，现从有序实数对中随机抽取一对，则使得直线与函数的图象恰有两个不同的交点的概率为 .（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角的对边分别为，，且. (1)求； (2)若为的中点，且，求的面积. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，，是的中点，是上一点，平面.  (1)证明：平面； (2)若，，是的中点，二面角的大小为，求. 17．（15分） 已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：只有一个零点. ①，；②，. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（17分） 若数列满足，则称为“增差数列”. (1)若，证明：为“增差数列”； (2)若为“增差数列”，且，，求的最大值； (3)已知“增差数列”的前项和为，数列的前项和为，若，证明：. 19．（17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点，且的最小值为，当轴时，的面积等于的离心率. (1)求的方程. (2)已知直线与交于两点. （ⅰ）若直线经过点，的右顶点为，直线的斜率分别为，求证：为定值； （ⅱ）已知点，，且直线分别与交于另一点，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 4 5 6 8 A C B C D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD AC ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-80 13.V6-1 14.1000.07 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)解：因为sinB=3sinC,由正弦定理，可得b=3,…(2分) 又因为b2-a2=2bc， 3 由余弦定理得cosA=+c2-a2 be+c2 2 bc+-bc 3 2bc3 3 1 …(4分) 2bc 2bc 2 因为0<A<,所以A 3…(6分) 2)解：由公-d-c且6-可得6-d-子x,解得d=7心，年a5c 3 …(7分） 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cOS∠ADB+CoS∠ADC=0, 1/9 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 2 7 +-c +52-(3c2 由余弦定理得 =0 2 cxV3 2 cxv3 …（9分) 2v5 ,b=v5 3c2三6，所以C3,则√13，.(11分) 解得2 S-bcsinB4C=1x629 所以△ABC的面积为2 2x厉××213（I3分) 16.(15分) (I)连接CD,因为AC=BC,D是AB的中点，…(1分) 所以AB⊥CD CC⊥ 因为 平面ABE,AB,DEC 平面ABE CC,⊥ABCC⊥DE 所以 (2分） 因为CD,CC 平面CDE,cq.ncD=C 所以AB上平面CDE ,(3分) 因为DEc平面CDE,所以AB⊥DE CC,∥BB,CC⊥DE BB⊥DE 因为 ,所以 ,(5分) 因为B,BBC平面1684，BBn1B=B,所DE上平面 ABBA …(6分) (2)在平面 BB4中，过点D作DM∥B服，交A于点M, 易知DM⊥平面ABE,又DE⊥AB,故以D为坐标原点，以DB,DE,DM所在直线分别为x,y,z轴建立如图 所示的空间直角坐标系，… …(8分) 2/9 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 设1B=4=2a0<a<2) 则CD-VBC2-BD-4-a,DE=CD-CF-4-2a,可得0<a<万， 所以Ba0,0,4-a,02a,E0,V4-2a,0, 所以4B=(2a,0-2a),BE=-a,V4-2a,0 …(10分) 设平面ABE的法向量为 =(x,y,z) m.AB=0「 2ax-2az=0 则mBE=0,即-ar+V4-2a2y=0, 令x=V4-2a,则y=a,2=V4-20,所以m=4-2aa,v4-2a …(11分) 又平面ABE的一个法向量为 =(0,0,10 9…(12分) -妥-，r- 5,…(14分) 2W10 所以a 5,符合题意. 所以AB=4V面 …（15分） 17.(15分) 1)解：由函数f八=方-a+x+nr+ba>0,可得f的定义城为0+wl, 319 耐学科网.学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 且f到=x-(a+l+9=-a+x+a_(x-x-al ,(2分) 若0<a<1,当e0@时，>0，单调递指： 当，l时，f<0,f单调递减 当∈+切时，>0，八单调递增 皆a=1,则产=20，fx)在0，+∞上单调 若a>1,则当e01时，f八>0，f八国单调递增： 当x∈La时，八)<0，f刊单调递减 当ea,w时，八国>0，f儿闪单调递增(5分) 综上所述，当0<a<1时，f(在0，（山+切)上单调递增，在a,上单调递减： 当a=1时，f小在0+切)上单调递增， 当a>l时，f在0，，（a,+四上单调递增，在山，a 上单调递减…(6分) (2)解：选择条件①：0<a<1,b=a2-lh2) 由（①)知当0<a<1时，f在0，a,化+o上单调递指，在a上单调递减， 所以(x)的极大值为 a=吃r-a+la+autb号+ …(8分) 令8@=n2+h0<a<,则g1a-。}20>0, a 2 2a 所以ga在0.l山上单调递，则80<h222-h2<0,（川分 4/9 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 故fa<0,从而f0<fa<0 .（12分)》 又由f(2a+2)=2a+2y-(a+l2a+2)+alh(2a+2+a2-ln2 =aln2a+2)+a2-ln2>0 …(14分) 所以存在唯一的2a+2,使得6)=0，即<只有一个零点 (15分) 选条件②：a>1,b= +1, 2 由()知当a>1时，在0，(a,+切上单调递增，在a上单调速减， 所以1的极小值为八a--a+a++6=a如+ …(8分) 令1a=+片e,则1i-分20 所以a在L+)上单调递增，则a>n+1-1=0, …(11分) 所以a>0,可得1>fa>0 …(12分) 又小e。ae1g -e4a-3a2+1<22+1-2a2）<0, (14分) 根据零点的存在性定理，可得存在唯一的(0,1)，使得，}=0，即八四只有一个零 点.(15分) 18.(17分) （)设4，=a.a,要证a为“增差数列”，只需证4，≤d,…(1分) 因为4，=n-2n,可得4，=0-0，=(n+1°-2n+-+2m=3r-n-1， 则4，-d,=3到n+l-(n+1-1-(3n2-n-1=6m+2>0 .(3分) 5/9 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 所以d,≤d.,所以a为“增差数列”…(4分） (2)由数列a,为“增差数列”，可得4≤d,≤d4≤≤d., 则+4+4+d≤4+d+d,+d+d,+da 4 6 (5分) 1+d2+d3+…+do=a,-a1=19d+d2+d3+d4=a5-a1=a5-1 又因为 (6分) 因为，=0a, 所以4=a+4,a=a+d+d.…,a:=a+d+d++d。 可得4+4+4+4s19-4+4+d+d,即41s19-a- 4 6 4 6 ，可得as43 ， (8分) 当且仅当4=4=4==4.8时等号破立，所以a的最大雀为智0分) 43 (3)因为数列a,为“增差数列”，可得1-a,≤a+2-0， 所以8-a41≥41-a2 …（11分) 则3.=4+a,+a,++0,=马-4，+2a,-a+34-a+4a-ag+a,-a小+a1≤号 …(12分) 因为4-04≥a-4≥4-02≥a,-0 所以4-a+2a-a)+3到a-a+4a-a++na.-a+a ≥(1+2+3+…+n)(an-an+l)+nan+1= n+l气a,-a+' 2 所以a-a小+5时 1 .（14分) …(15分) 6/9 @学科网.学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 +1++11】 所以a,-a+(a,-a++(a-a-2(7m-a2-气1-2+23+nn+i: 即a4-江.+a≥-》】 所以a+1+a≥2Tn+1 n n+1 (17分) 19.(17分) 1)因为PF的最小值为2-5，所以a-c=2-5 …(1分) 将，代入的方程，得y=土，故当PE上轴时，APFE的面积为2×2C ，…（3分) 则a-c2=l,又a-c=2-5 所以a+c=2+V5 可得a=2,…(4分) 政c的方程为4+y=…(5分 10 (2)（i)由题可知直线，的斜率存在且不为0，设直线，的方程为x=y+ 3m*0), A(xy)B(x2,y2) 将直线的方程代入c的方铝，得+4+2，+号0， 9 9 9, 20m 64 则+=3+，9m+47分) kk=当 由题意可知 7/9 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 64 9m2+4 =1 m+m折+列+巧 m2. 64.4 -20m,16 9m+4+3m3引m+4+g ，…(9分) k2为定值……10分) 故 MA,MB (iⅱ)当直线 中的一条斜率不存在，一条斜率为0时， AB.DE-(MB-MA)ME-MD)-MA.MD+MB.ME--3x1x15 22 4 .(11 分) MA,MB 当直线 的斜率均存在且不为0时， 设直线M的方程为=+1t≠0)，D西，)，E, 将直线M1的方程代入C的方程，得：+4到广+2-3=0 2t 3 则%+为2+4,4=2+4， 2t 3t2 同理，为+y=1+4，%=1+4，…（13分) 所以BD正=(ME-MA:M正-MD =MA·MD+MB.ME =(x-1,yx3-1,y3)+x2-1,2)(x4-1,y4 =+++x r -15+12 2+442+1.(15分） 8/9 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 令r41=s则1l.e0, 4B.DE=-15s2 -1552 15 15 1512 故 +34-可4+9-99-9-4g1255 (s24 [1512 综上，B:D正的取值范围为45 …（17分) D 9/9