精品解析：广东省梅州市兴宁宋声学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

兴宁市宋声学校九年级月考数学试卷 说明：1．考试范围：上册全部内容． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程 的根的判别式的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2. 若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的周长比为（ ） A. B. C. D. 3. 在反比例函数 中，当时，，则k的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 4. 如图，这是一种儿童非洲鼓的轮廓图，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（ ） A 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97 6. 如图，在菱形中，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，音乐中的五线谱是由等距离、等长度的五条互相平行的横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若，则的长为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 某校体育兴趣小组收集到了围棋、轮滑、篮球、健步走四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片，如图所示，这四张卡片除了正面的图案和编号外其余均相同，该兴趣小组将这四张卡片背面朝上放在桌子上搅匀，从中随机抽取一张不放回，然后再从余下的三张卡片中随机抽取一张，则两次抽取的卡片中有轮滑或健步走的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当_____时，． 12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体为_______． 13. 已知，是反比例函数 图像上的两点，且 ，则____．（填“>”“<”或“=”） 14. 如图，小康设计了一个“配紫色”游戏，规则：有A，B两个可以自由转动的转盘，每个转盘被等分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若转盘A 的指针指向红色，转盘 B 的指针指向蓝色，则红色和蓝色就配成了紫色．现同时转动A，B两个转盘一次，则能配成“紫色”的概率为_________． 15. 如图，在中，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，作直线 与相交于点 D，连接，若，则的长是_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程： 17. 如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． （1）求证：． （2）当时，求证：四边形 是矩形． 18. 如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片． （1）求小芳抽到负数的概率； （2）若小明再从剩余三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率． 20. 如图，直线：与反比例函数的图象交于点，过点作直线轴，分别与直线交于点C，与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求k的值； （2）求的面积． 21. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式． （2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图①，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到4组数据(如下表)．该同学经过分析数据发现，m与对应的h的值成反比例关系． 重物质量m/kg 2 3 4 6 活塞与桶底的距离h/cm 24 16 12 t （1）计算：t =_____； （2）请你以m的值作为一个点的横坐标，对应的h 值作为该点的纵坐标，利用表中数据得到4个点的坐标，将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； （3）要使活塞与筒底的距离h满足：时，求出m 的取值范围． 23. 综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． （1）求证：． （2）如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． （3）如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市宋声学校九年级月考数学试卷 说明：1．考试范围：上册全部内容． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程 的根的判别式的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的计算是关键．根据一元二次方程根的判别式直接计算即可． 【详解】解：由题意知，，，， ． 故选：A． 2. 若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个相似三角形的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应高的比等于相似比，周长比也等于相似比，据此作答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高的比为， ∴相似比为， 又∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴周长比为． 故选：B． 3. 在反比例函数 中，当时，，则k的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解． 将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解． 【详解】解：∵当时，， ∴代入，得：， 两边同时乘以，得：， ∴， 故选：C． 4. 如图，这是一种儿童非洲鼓轮廓图，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由几何体判断三视图，主视图是从前面看所得到的图形，据此求解即可． 【详解】解：它的主视图为： 故选：A． 5. 某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（ ） A. 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率的集中趋势估计概率是解题的关键．根据频率估计概率的原理，从表格数据可知，优等品的频率在0.95附近波动即可得答案． 【详解】解：表格中优等品的频率大概在左右浮动， 从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是， 故选B． 6. 如图，在菱形中，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 7. 如图，音乐中的五线谱是由等距离、等长度的五条互相平行的横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D， 根据题意，设， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C． 8. 某校体育兴趣小组收集到了围棋、轮滑、篮球、健步走四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片，如图所示，这四张卡片除了正面的图案和编号外其余均相同，该兴趣小组将这四张卡片背面朝上放在桌子上搅匀，从中随机抽取一张不放回，然后再从余下的三张卡片中随机抽取一张，则两次抽取的卡片中有轮滑或健步走的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求概率． 列表后根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表得： 第一次 第二次 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次抽取的卡片中有轮滑或健步走的情况有10种， ∴两次抽取的卡片中有轮滑或健步走的概率为． 9. 如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 10. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，用x、y表示出是解题的关键． 如图：过点D作轴于点E，过点C作轴于点F，然后求出与的长度，即可求出，设，从而可表示出与的长度，根据列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：如图：过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， 令代入， ∴， ∴， ∴OB＝b， 令代入， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ， ∴， ∵M在反比例函数的图象上， ∴，故B正确． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，已知D，E分别是的边，上的点，点E与点B是对应点，，当_____时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了选择或补充条件使两个三角形相似，解题关键是掌握相似三角形的判定并能运用来求解． 根据相似三角形的判定求解． 【详解】解：当时，和满足： 为公共角，即， ． 根据两角对应相等的两个三角形相似，成立． 故答案为：． 12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体为_______． 【答案】三棱柱 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握各个几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形即可解答． 【详解】解：由三视图可知：这个几何体是三棱柱. 故答案为：三棱柱． 13. 已知，是反比例函数 图像上的两点，且 ，则____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质． 根据，得到该反比例函数位于第二、四象限内，根据反比例函数的图像，即可求解． 详解】解：∵， ∴该反比例函数位于第二、四象限内， ∵点，是反比例函数图像上两点，且， ∴，即 故答案为：． 14. 如图，小康设计了一个“配紫色”游戏，规则：有A，B两个可以自由转动的转盘，每个转盘被等分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若转盘A 的指针指向红色，转盘 B 的指针指向蓝色，则红色和蓝色就配成了紫色．现同时转动A，B两个转盘一次，则能配成“紫色”的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列出表格得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 转盘1 转盘2 红 白 黄 （红，黄） （白，黄） 绿 （红，绿） （白，绿） 蓝 （红，蓝） （白，蓝） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中可配成紫色的结果数有种， ∴配成紫色的概率是， 故答案为：． 15. 如图，在中，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，作直线 与相交于点 D，连接，若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是． 【详解】解：由已知可得，是线段的垂直平分线， 设与的交点为， ， ， ，， ， ， ， 故答案：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程： 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． （1）求证：． （2）当时，求证：四边形 是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 18. 如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像的科学原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的值或函数值，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先设出反比例函数解析式，再代入已知数据求出k即可； （2）根据小孔到蜡烛的距离为，代入（1）中求得的解析式中，求出火焰的像高． 【小问1详解】 解：∵火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数， ∴y关于x的函数表达式为，其中 为常数， ∵当时，， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将 代入函数表达式， 得 ， 所以火焰的像高为 ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片． （1）求小芳抽到负数的概率； （2）若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． （2）首先根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】（1）∵一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别， ∴小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况， ∴P（小芳抽到负数）= （2）画树状图如下： ∵共有12种机会均等的结果，其中两人均抽到负数的有2种， ∴P（两人均抽到负数）= 20. 如图，直线：与反比例函数的图象交于点，过点作直线轴，分别与直线交于点C，与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求k的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点A的横坐标代入直线方程，求出n，求得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k； （2）先求出点的坐标，再求出点D的坐标，从而可求出及边上的高，利用三角形面积公式求得的面积． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数的解析式为 ∵过点作直线轴， ∴直线为， 直线， ∵直线与直线交于点C， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线与直线交于点C，与反比例函数的图象交于点D， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 点到直线()的垂直距离为：， ∴的面积． 【点睛】本题考查了求一次函数自变量或函数值，求直线围成图形面积，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 21. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式． （2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）7元 【解析】 【分析】（1）观察函数图象，根据各点的坐标，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式； （2）利用销售这种榴莲获得的总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，结合为了让顾客得到更大的实惠，即可确定x的值，再将其代入y=5x+50中即可求出销售这种榴莲的数量． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 将（2，60），（4，70）代入y=kx+b得： ，解得， ∴y关于x的函数解析式为y=5x+50（0＜x＜10）； 【小问2详解】 解：依题意，得（40-x-20）（5x+50）=1105， 整理得，解得，． 又∵要让顾客得到更大的实惠， ∴， 答：这种榴莲每千克应降价7元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图①，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到4组数据(如下表)．该同学经过分析数据发现，m与对应的h的值成反比例关系． 重物质量m/kg 2 3 4 6 活塞与桶底的距离h/cm 24 16 12 t （1）计算：t =_____； （2）请你以m的值作为一个点的横坐标，对应的h 值作为该点的纵坐标，利用表中数据得到4个点的坐标，将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； （3）要使活塞与筒底的距离h满足：时，求出m 的取值范围． 【答案】（1）8 （2）见解析 （3）m的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、画函数图象，理解题意，正确求出函数解析式并利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据反比例函数的定义可求解； （2）根据题意，利用描点法画出图形即可； （3）将，代入分别求出m的值，再根据函数的性质得到m取值范围． 【小问1详解】 解：设m与对应的h的值反比例关系为， 将代入，得， ∴， 当时，， 故答案为8； 【小问2详解】 图象如图： 【小问3详解】 当时，， 当时，， ∵， ∴m随h的增大而减小， ∴时，． 23. 综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． （1）求证：． （2）如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． （3）如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行证明两个三角形相似是解题的关键． （1）利用“HL”证明，根据全等三角形的性质证得； （2）设，先把用表示出来，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据求得，，在中，根据勾股定理求得，最后求得的值． 【小问1详解】 证明：在正方形中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，，设， ， ， ，， 在中，， ，即， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ，, ， ， ，， 在中，， ，即 解得，(舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $