精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学12月月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】解不等式得，记， 解不等式得，记， 因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】通过求解来确定实数的取值范围. 【详解】由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的定义域为，可得，再求解的解集，即可得函数的定义域. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，则函数的定义域满足，则，所以函数的定义域为. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，即可求得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 6. 设为奇函数，且当时，，则  （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质得，再代入计算即可. 【详解】由时，，得, 又为奇函数，. 故选：D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案. 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：. 8. 当生物死亡后，机体内原有的碳14含量会按确定的比率（称为衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.如果是某生物刚死亡时机体内碳14的质量，那么经过年后，其机体内碳14所剩的质量.考古学家经常利用生物机体内碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.现考古发现某生物机体内碳14的含量是刚死亡时的，根据以上知识推断该生物的死亡时间距今约（ ）（参考数据：，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】由生物机体内碳14所剩的质量，生物机体内碳14的含量是刚死亡时的，列出方程，利用对数运算求出. 【详解】因为生物机体内碳14所剩的质量，且生物机体内碳14的含量是刚死亡时的， 则，所以，则， 则，又， 又，， 所以， 解得， 所以该生物的死亡时间距今约年. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】通过特殊值、作差法及不等式的性质，逐一判断各选项命题的真假. 【详解】选项A，当时，，故A错误； 选项B，，因，，则， 故，B正确； 选项C，由得，又，故，C正确； 选项D，由得，故，D错误. 故选：BC 10. 若正实数，满足，则下列选项中正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值4 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形解答即可. 【详解】，，且， ，，当且仅当时等号成立， 有最大值，所以A正确； ， 所以，当且仅当时等号成立，所以B错误； ，当且仅当时等号成立， 有最小值4，所以C正确； ，当且仅当时等号成立， 的最小值不是，所以D错误． 故选：AC 11. 设表示不超过的最大整数，如，已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 当时，函数的值域是 C. 若方程只有一个实数根，则 D. 若方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，结合新定义作出函数图像，数形结合进行求解. 【详解】作出函数的图像如图 函数的图象不关于y轴对称，故A错误； 当时，函数， 故，即函数的值域是，故B正确； 由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则，故C正确； 若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________. 【答案】﹛或﹜ 【解析】 【分析】将分式不等式等价于，然后解不等式即可. 【详解】原不等式可整理为，即，等价于， 解得或. 故答案为：或. 13. 已知, 则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法设t2（t≥2），则t﹣2，代入求出即可． 【详解】设t2（t≥2），则t﹣2，即x＝（t﹣2）2， ∴f（t）＝（t﹣2）2+4（t﹣2）＝t2﹣4， ∴f（x）＝x2﹣4（x≥2）． 【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，是基础题． 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的分段函数单调性，结合一次函数、二次函数的单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）已知方程的两根为，求的值. 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值，即可得答案. （2）根据韦达定理，可得，将所求化简整理，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）原式     ． （2）已知方程的两根为， 所以， 所以. 16. 已知集合或，，． （1）设全集，求； （2）若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先求出集合，然后结合集合的补集及交集运算即可求解； 由已知知，再结合集合的包含关系对是否为空集进行分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为或，，， 所以，． 【小问2详解】 因为是的必要条件，，， 所以， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为． 17. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 【答案】（1） （2） 任取，，且， 则 ， 因为，所以， 又， 所以，所以，故为R上的增函数. 当时，，即， 所以在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据，函数的图象经过点可求出可得的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数即可；并根据的单调性可得函数在上的值域. 【小问1详解】 因为为R上的奇函数， 所以，即，① 又因为函数的图象经过点， 所以，即，② 由①②，可得，，故， ，， 故为奇函数， 所以； 【小问2详解】 略 18. 已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】解析：（1）．， ， （） 即或 在上单调递增，为偶函数 即 （2） ，，， ∴ （3）由题可知， ， 当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值是2． 19. 已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，． （1）求，并用定义法判断在区间上单调递增 （2）是否存在实数，使得关于的不等式，恒成立若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 【答案】（1），证明： 令，则，即， 由，可得， 令，，且，则， 令，，则， 则， 又当时，， ， 故在区间上单调递增； （2）不存在，理由为： 在区间上单调递增， 若关于的不等式恒成立， 则恒成立，即， 且恒成立，即， 又当，则，当且仅当时等号成立， 所以， 又由函数单调性可知 即在上恒成立， 即恒成立， 设，即， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 又，与无公共解， 所以不存在实数，使得关于的不等式恒成立． 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得，利用定义法判断函数单调性； （2）结合函数单调性可将函数不等式转化为二次不等式，结合二次函数性质判断二次不等式恒成立问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学12月月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 设为奇函数，且当时，，则  （ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 当生物死亡后，机体内原有的碳14含量会按确定的比率（称为衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.如果是某生物刚死亡时机体内碳14的质量，那么经过年后，其机体内碳14所剩的质量.考古学家经常利用生物机体内碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.现考古发现某生物机体内碳14的含量是刚死亡时的，根据以上知识推断该生物的死亡时间距今约（ ）（参考数据：，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 若正实数，满足，则下列选项中正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值4 D. 有最小值 11. 设表示不超过的最大整数，如，已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 当时，函数的值域是 C. 若方程只有一个实数根，则 D. 若方程有两个不相等的实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________. 13. 已知, 则的解析式为_________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）已知方程的两根为，求的值. 16. 已知集合或，，． （1）设全集，求； （2）若是的必要条件，求的取值范围． 17. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 18. 已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 19. 已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，． （1）求，并用定义法判断在区间上单调递增 （2）是否存在实数，使得关于的不等式，恒成立若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $