河南省周口市项城市第二高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考（A卷）数学试题

2025-2026学年度高二12月月考（A卷） 数学试题 考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共8小题） 1．已知等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8，则a5＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知四棱锥P﹣ABCD底面ABCD是平行四边形，且，若，，，则（　　） A． B． C． D． 3．抛物线y＝2x2的准线方程为（　　） A． B． C． D．y＝﹣1 4．“a＝1”是“点A（0，1），B（1，0）到直线x+ay+1＝0的距离相等”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 5．已知数列{an}满足，则数列{an}中的最小项为（　　） A．a2 B．a3 C．a4 D．a5 6．双曲线1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是（　　） A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在 7．已知双曲线C：的虚半轴长为，F为双曲线C的左焦点，点P为双曲线C的右支上的动点，点A的坐标为（﹣1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（　　） A．8 B．9 C． D．10 8．已知椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．以下命题正确的是（　　） A．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 B．若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 C．已知，，若与垂直，则 D．已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1，2），B（4，1，4），C（3，﹣2，2），则AC边上的高BD的长为 （多选）10．已知直线l：mx+y﹣1﹣2m＝0与圆O：x2+y2＝r2恒有两个不同的公共点A，B，则下列叙述正确的有（　　） A．直线l过定点（2，1） B．半径r的取值范围是 C．当r＝4时，线段AB长的最小值为 D．当r＝4时，圆O上到直线l的距离为2的点恰好有三个，则 （多选）11．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于M，N两点．若AM⊥l，|FA|＝6，则（　　） A．p＝2 B．直线AF的斜率是 C．|AB|＝8 D．△AMN的面积是 三．填空题（共3小题） 12．在等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，若an＝33，则n＝　 　 ． 13．已知点P是椭圆C：1上一动点，过点P作⊙G：（x+1）2+y2的切线PA、PB，切点分别为A、B，当|PG|•|AB|最小时，线段AB的长度为 　 　 ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，若△PF1F2的内切圆的圆心为Q（xQ，a）且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线C的渐近线的方程为　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d； （2）已知数列{an}为等差数列，a3，a7，求a15的值． 16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°． （1）证明：A′B∥平面CD′F； （2）求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值． 17．已知圆C过两点A（﹣1，1），B（1，3），且圆心C在直线x﹣2y+1＝0上． （1）求圆C的标准方程； （2）求过点P（3，4）的圆C的切线方程； （3）若直线l的横截距为a（a＞1），纵截距为b（b＞1），直线l被圆C截得的弦长为，求ab的最小值． 18．已知椭圆E的两个焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点Q为椭圆E的上顶点，△QF1F2为等腰直角三角形． （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知点P为椭圆E上一动点，求点P到直线l：3x+4y﹣12＝0距离的最值； （3）分别过F1，F2作平行直线m，n，若直线m与曲线E交于A，B两点，直线n与曲线E交于C，D两点，其中点A，D在x轴上方，求四边形AF1F2D的面积的取值范围． 19．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），斜率为的直线l交Γ于A，B两点，且线段AB中点纵坐标为4． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线l不过点P（2，4），且直线PA交Γ于另一点C，记直线PA，PB的斜率为k1，k2， （i）求证：； （ii）求证：直线BC过定点． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A A B D B C 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BCD ACD BCD 一．选择题（共8小题） 1．已知等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8，则a5＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据题意利用等差数列下标和性质运算求解． 【解答】解：因为等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8， 所以a4+a8＝a5+a7， 所以a5＝8． 故选：D． 【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 2．已知四棱锥P﹣ABCD底面ABCD是平行四边形，且，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】结合向量的线性运算即可求解． 【解答】解：因为ABCD是平行四边形，且， 若，，， 则（） （）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 3．抛物线y＝2x2的准线方程为（　　） A． B． C． D．y＝﹣1 【分析】先把抛物线解析式变形成标准方程，再求准线方程即可． 【解答】解：∵抛物线方程可化为x2， ∴抛物线y＝2x2的准线方程为y． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的方程、性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4．“a＝1”是“点A（0，1），B（1，0）到直线x+ay+1＝0的距离相等”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【分析】由点到线的距离公式列出等式求得a，即可判断． 【解答】解：点A（0，1）到直线x+ay+1＝0的距离：； 点B（1，0）到直线x+ay+1＝0的距离：， 由d1＝d2，得，即|a+1|＝2， 解得a+1＝2或a+1＝﹣2，即a＝1或a＝﹣3． 故“a＝1”是“点A、B到直线x+ay+1＝0距离相等”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了点到直线的距离公式，是基础题． 5．已知数列{an}满足，则数列{an}中的最小项为（　　） A．a2 B．a3 C．a4 D．a5 【分析】结合该数列的特征，即可求解． 【解答】解：数列{an}满足， 则，所以∀n≥4，an＞0， 故数列{an}中的最小项为a3． 故选：B． 【点评】本题主要考查数列的特性，属于基础题． 6．双曲线1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是（　　） A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在 【分析】检验线直线方程为x＝2，是否符合题意，然后设直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出直线方程后，代入检验所求直线与已知曲线是否相交 【解答】解：当直线的斜率k不存在时，直线方程为x＝2，直线被双曲线所截线段的中点为（2，0），不符 设直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2） 把A，B代入到曲线方程且相减可得， 由题意可得，x1+x2＝4，y1+y2＝2 ∴ 直线的方程为y﹣1（x﹣2） 联立可得28x2﹣112x+373＝0，此时Δ＜0即方程没有实数解 ∴所求直线与已知曲线没有交点 故选：D． 【点评】本题主要考 查了点差法在求解直线与曲线相交关系中的应用，学生用“点差法”求出直线方程漏掉检验用“△”验证直线的存在性是导致本题出现错误的最直接的原因 7．已知双曲线C：的虚半轴长为，F为双曲线C的左焦点，点P为双曲线C的右支上的动点，点A的坐标为（﹣1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（　　） A．8 B．9 C． D．10 【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的性质及两点的距离公式求解即可． 【解答】解：已知双曲线C：的虚半轴长为， 则m+1＝5， 即m＝4， 即双曲线C的方程为， 则a＝2，，c＝3， 又F为双曲线C的左焦点， 则F（﹣3，0），右焦点坐标为F1（3，0）， 又点P为双曲线C的右支上的动点，点A的坐标为（﹣1，3）， 则|PF|+|PA|＝|AP|+|PF1|+4≥|PF1|+49，当且仅当A、P、F1三点共线时取等号， 即|PF|+|PA|的最小值为9． 故选：B． 【点评】本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线的性质及两点的距离公式，属基础题． 8．已知椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题设条件及 ，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为 ，又 知Q点在∠PF1O角平分线上由此，推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求e 【解答】解：∵椭圆 的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，， ∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，Q点的横坐标为， 又 知Q点在∠PF1O角平分线上，如图△PF1Q是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知，解得e． 故选：C． 【点评】本题是一道向量与椭圆相结合的题目，由向量的相关性质得到几何中的位置关系以及数量关系，再由几何中的相关公式进行变形运算，求得离心率． 二．多选题（共3小题） （多选）9．以下命题正确的是（　　） A．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 B．若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 C．已知，，若与垂直，则 D．已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1，2），B（4，1，4），C（3，﹣2，2），则AC边上的高BD的长为 【分析】A选项，利用投影向量的公式进行求解；B选项，变形得到，则P，A，B，C四点共面，B正确；C选项，利用得到方程，求出；D选项，利用点到直线的向量距离公式求出点B（4，1，4）到的距离，得到答案． 【解答】解：对于A选项，向量在向量上的投影向量的坐标是： ，故选项A错误； 对于B选项，因为， 所以， 即，， 则P，A，B，C四点共面，故选项B正确； 对于C选项，， ， 故， 则，故选项C正确； 对于D选项，点B（4，1，4）到的距离： ， AC边上的高BD的长为，故选项D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查向量的运算与应用，属于中档题． （多选）10．已知直线l：mx+y﹣1﹣2m＝0与圆O：x2+y2＝r2恒有两个不同的公共点A，B，则下列叙述正确的有（　　） A．直线l过定点（2，1） B．半径r的取值范围是 C．当r＝4时，线段AB长的最小值为 D．当r＝4时，圆O上到直线l的距离为2的点恰好有三个，则 【分析】利用合并参数可求直线所过定点，利用点在圆内可求半径范围，利用垂直关系可求AB长的最小值，利用点到直线的距离可判断D． 【解答】解：将直线方程化成标准形式可得：m（x﹣2）+（y﹣1）＝0， 所以， 解得x＝2，y＝1，所以直线l过定点M（2，1），A正确； 直线l与圆O总有两个公共点，所以可知点M（2，1）在圆O内部， 则22+12＜r2，解得，B不正确； 当r＝4时，圆O的方程为x2+y2＝16，得圆心O（0，0）， 故可以得到，所以AB的最小值为，C正确； 当r＝4时，圆O的方程为x2+y2＝16，圆O上到直线l的距离为2的点恰好有三个， 则O到直线l的距离为2，即，D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题． （多选）11．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于M，N两点．若AM⊥l，|FA|＝6，则（　　） A．p＝2 B．直线AF的斜率是 C．|AB|＝8 D．△AMN的面积是 【分析】由题意，利用几何关系求出焦点和准线之间的距离即可判断选项A；根据几何关系求出直线AF的倾斜角即可判断选项B；结合弦长公式即可判断选项C；利用三角形面积公式即可判断选项D． 【解答】解：对于选项A：因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线l于M，N两点，且AM⊥l， 所以|FA|＝|FM|＝|AM|， 所以△AMF是等边三角形， 此时∠AMF＝60°， 设准线l与x轴交于点H， 此时∠HMF＝30°， 则p＝|HF|＝|MF|sin30°＝3，故选项A错误； 对于选项B：因为∠MAF＝60°，AM平行于x轴， 所以∠AFH＝120°， 当A点位于第一象限时，直线AF的倾斜角为60°； 当A点位于第三象限时，直线AF的倾斜角为120°； 则直线AF的斜率是，故选项B正确； 对于选项C：因为直线AF的斜率是， 所以直线AB的方程为， 联立，消去y并整理得4x2﹣20x+9＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理得x1+x2＝5， 所以|AB|＝x1+x2+p＝8，故选项C正确； 对于选项D：由选项A知，∠HMF＝30°， 所以， 可得， 则，故选项D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 三．填空题（共3小题） 12．在等差数列{an}中，已知a1，a2+a5＝4，若an＝33，则n＝　50　 ． 【分析】由a1，a2+a5＝4，求出等差数列的公差d，利用等差数列的通项公式即可求出n． 【解答】解：∵a1，a2+a5＝4， ∴2a1+5d＝4， 即d， ∵an＝33＝a1+（n﹣1）d， ∴， 解得n＝50， 故答案为：50 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，比较基础． 13．已知点P是椭圆C：1上一动点，过点P作⊙G：（x+1）2+y2的切线PA、PB，切点分别为A、B，当|PG|•|AB|最小时，线段AB的长度为 　　 ． 【分析】根据题意结合四边形PAGB的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，|PG|取到最小值a﹣c＝1，进而可得线段AB的长度． 【解答】解：已知椭圆C的方程为1， 则， 圆的圆心为G（﹣1，0）（也为椭圆的左焦点），半径， 因为PG⊥AB， 则四边形PAGB的面积， 当|PG|•|AB|最小时，四边形PAGB的面积SPAGB最小， 又因为， 可知当|PG|取到最小值时，四边形PAGB的面积SPAGB最小，即|PG|•|AB|最小， 又点P是椭圆C上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，|PG|取到最小值a﹣c＝1， 此时， 由对称性可知：， 即，△PAB为等边三角形， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了三角形的面积公式，属中档题． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，若△PF1F2的内切圆的圆心为Q（xQ，a）且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线C的渐近线的方程为y　 ． 【分析】根据题意作出图形，由与的纵坐标互为相反数可得yP＝4a，由等面积法可得|PF1|+|PF2|＝6c，结合双曲线定义可得|PF1|，|PF2|关于a，c的表达，结合双曲线的焦半径公式可得点P的坐标，代入双曲线方程，可得渐近线方程． 【解答】解：如图， 设P（xp，yp），依题意可得a﹣yp+3a＝0，则yP＝4a， 由等面积可得， 化简得|PF1|+|PF2|＝6c，又PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c+a，|PF2|＝3c﹣a， 因为F1（﹣c，0），点P在双曲线的右支上， 所以， 则，解得xP＝3a，所以P的坐标为（3a，4a）， 代入双曲线方程中，得， 解得，所以渐近线方程为y＝±x． 故答案为：y＝±x． 【点评】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 15．（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d； （2）已知数列{an}为等差数列，a3，a7，求a15的值． 【分析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，能求出a1＝﹣2，d＝3； （2）利用等差数列的性质求得，由此能求出a15． 【解答】解：（1）在等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31， ∴， 解得a1＝﹣2，d＝3； （2）数列{an}为等差数列，a3，a7， ∴，则． 【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°． （1）证明：A′B∥平面CD′F； （2）求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值． 【分析】（1）结合折叠前四边形AEFD为矩形，折叠后不变的平行关系，证出平面A′EB∥平面CD′F，即可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，套公式求解． 【解答】解：（1）证明：因为在四边形ABCD中，AB∥CD，且EF∥AD，所以▱AEFD， 又∠DAB＝90°，所以四边形AEFD为矩形， 折叠后，显然EB∥FC，EB⊄平面CD′F，FC⊂平面CD′F， 所以EB∥平面CD′F， 又EA′∥FD′，且FD′⊂平面CD′F，EA′⊄平面CD′F， 所以EA′∥平面CD′F， 又EA′∩EB＝E，所以平面EA′B∥平面CD′F，又A′B⊂平面EA′B， 所以A′B∥平面CD′F； （2）由∠DAB＝90°，EF∥AD，所以EF⊥CD，所以EF⊥FC，EF⊥FD′， 所以面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠CFD′＝60°， 结合CF∩FD′＝F，所以EF⊥平面CFD′，可得平面CFD′⊥平面EBCF， 又F为CD的中点，所以△CFD′为等边△， 如图以F为原点建立空间直角坐标系，设AB＝3AD＝6，则CD＝2AD＝4， 所以F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，2，0），B（2，4，0），D′（0，1，）， 所以，（0，1，），，， 设平面EFD′A′的法向量为， 则，可得， 再设平面BCD′的法向量， 则，解得， 设面BCD′与面EFD′A′所成二面角为θ， 则|cosθ|， 所以sinθ． 【点评】本题考查空间线面位置关系的证明，以及利用坐标法求二面角，属于中档题． 17．已知圆C过两点A（﹣1，1），B（1，3），且圆心C在直线x﹣2y+1＝0上． （1）求圆C的标准方程； （2）求过点P（3，4）的圆C的切线方程； （3）若直线l的横截距为a（a＞1），纵截距为b（b＞1），直线l被圆C截得的弦长为，求ab的最小值． 【分析】（1）设圆心为C（2t﹣1，t），根据|CA|＝|CB|结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆C的半径，由此可得出圆C的标准方程； （2）分析可知，点P在圆C外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心C到直线l的距离为d＝1，求出直线l的方程，利用点到直线的距离公式可得出ab+2＝2（a+b），利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得ab的最小值． 【解答】（1）解：因为圆心C在直线x﹣2y+1＝0上，设圆心为C（2t﹣1，t）， 因为点A（﹣1，1）、B（1，3）在圆C上， 所以|CA|＝|CB|，即，解得t＝1， 所以圆心C（1，1），半径r＝|OA|＝2， 所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4； （2）解：由（1）可得圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 则圆心C（1，1），半径r＝2， 因为（3﹣1）2+（4﹣1）2＞4，则点P在圆C外， 当过点P（3，4）的直线斜率不存在，则直线方程为x＝3， 圆心C到直线x＝3的距离为2，故直线x＝3为圆C的切线； 当过点P（3，4）的直线斜率存在， 可设直线方程y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4＝0，圆心C到该直线的距离， 由直线kx﹣y﹣3k+4＝0与圆C相切，则d＝r，即， 可得4k2﹣12k+9＝4k2+4，解得， 此时，直线方程为，即5x﹣12y+33＝0； 综上，切线的方程为x＝3或5x﹣12y+33＝0； （3）解：∵直线l被圆C截的弦长为， 所以，圆心C到直线l的距离为， 又直线l的横截距为a（a＞1），纵截距为b（b＞1）， 则直线l的方程为，即bx+ay﹣ab＝0， 圆心C（1，1）到直线l的距离为， 整理可得ab+2＝2（a+b），由a+b≥2，得，即， 解得或， 因为a＞1，b＞1，则ab＞1，则，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，ab的最小值为． 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质和基本不等式的应用，属于中档题． 18．已知椭圆E的两个焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点Q为椭圆E的上顶点，△QF1F2为等腰直角三角形． （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知点P为椭圆E上一动点，求点P到直线l：3x+4y﹣12＝0距离的最值； （3）分别过F1，F2作平行直线m，n，若直线m与曲线E交于A，B两点，直线n与曲线E交于C，D两点，其中点A，D在x轴上方，求四边形AF1F2D的面积的取值范围． 【分析】（1）根据题意求出a，b，c即可得解； （2）求出与直线l：3x+4y﹣12＝0平行且与椭圆相切直线方程，则切线与l：3x+4y﹣12＝0的距离即为最值； （3）设直线m的方程为x＝ty﹣1，则直线n的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，利用韦达定理求出y1+y2，y1y2，再根据弦长公式求出|AB|，利用两平行直线间的距离公式求出m，n间的距离，从而可得出四边形AF1F2D的面积的表达式，进而可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得c＝1， 由于点Q为椭圆E的上顶点，△QF1F2为等腰直角三角形， 因此b＝c＝1， 所以a2＝b2+c2＝2， 因此椭圆E为； （2）设与直线l：3x+4y﹣12＝0平行且与椭圆相切直线为3x+4y+m＝0， 联立，化简得17x2+6mx+m2﹣16＝0， 根的判别式Δ＝36m2﹣4×17（m2﹣16）＝0，解得， 平行直线3x+4y+m＝0与3x+4y﹣12＝0的距离， 因此可得， 所以点P到直线l：3x+4y﹣12＝0距离的最小值为，最大值为； （3）由题意可得直线m，n的斜率不为零， 设直线m的方程为x＝ty﹣1，则直线n的方程为x＝ty+1， 联立，化简得（t2+2）y2﹣2ty﹣1＝0， 设B（x2，y2），A（x1，y1）， 根据韦达定理可得， 则， 直线m，n之间的距离， 则四边形ABCD的面积， 令，则t2＝s2﹣1， 因此， 当且仅当，即s＝1时取等号， 又因为s≥1，因此S′＞0，因此， 根据椭圆的对称性可得四边形AF1F2D的面积， 所以面积的取值范围为． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 19．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），斜率为的直线l交Γ于A，B两点，且线段AB中点纵坐标为4． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线l不过点P（2，4），且直线PA交Γ于另一点C，记直线PA，PB的斜率为k1，k2， （i）求证：； （ii）求证：直线BC过定点． 【分析】（1）设直线l的方程，并与抛物线方程联立，设出点A、B的坐标，由韦达定理及中点公式求出p的值，即可求解抛物线Γ的方程； （2）（i）由韦达定理及斜率公式表示出，再计算化简即可求证；（ii）设出直线BC的方程及点C的坐标，并与抛物线方程联立，由韦达定理及（i）的结论计算化简即可证明． 【解答】解：（1）设直线l的方程为x＝2y+n，代入y2＝2px得y2﹣4py﹣2pn＝0， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4p， 因为线段AB中点纵坐标为4，所以，所以2p＝4，即p＝2， 所以抛物线Γ的方程为y2＝4x． （2）（i）证明：由（1）可得，且， 所以 ， 所以； （ii）证明：由（i）知， 设直线BC方程为x＝my+t，C（x3，y3）， 联立，消去x得y2﹣4my﹣4t＝0， 所以y2+y3＝4m，y2y3＝﹣4t， 因为，， 所以 ， 即，整理得4m2﹣2t﹣14m+mt+12＝0， 即（m﹣2）（t+4m﹣6）＝0， 当m＝2时，直线AB与直线BC重合，舍去， 所以t+4m＝6，所以直线BC方程为x＝my+6﹣4m，即x﹣6＝m（y﹣4）， 所以直线BC过定点（6，4）． 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/11 15:22:51；用户：曲艳杰；邮箱：15294989346；学号：39552532 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $