专题03 正弦函数图像与性质14种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题03 正弦函数图像与性质14种常考题型 题型一：五点法画正弦、余弦函数的图象 题型六：正弦（型）函数图象的识别 题型三：正弦（型）函数定义域 题型四：正弦（型）函数值域与最值 题型五：正弦（型）二次式的最值 题型六：利用正弦（型）函数值域或最值求参数 题型七：正弦（型）函数图像的应用 题型八：正弦（型）函数的单调性 题型九：利用正弦（型）函数的单调性-求参数 题型十：利用正弦（型）函数的单调性-比大小 题型十一：利用函数的单调性-解不等式 题型十二：正弦（型）函数的周期性、奇偶性 题型十三 ：正弦（型）函数的奇偶性应用 题型十四：与正弦（型）函数有关的零点问题 题型一：五点法画正弦、余弦函数的图象 1.用五点法画函数，的图像时，下列哪个点不在函数图像上（  ） A．； B．； C．； D．． 2.用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（  ） A． B． C． D． 3.已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 4.作出下列函数的大致图像： (1)，. (2) 5.作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围. 题型二：正弦（型）函数图象的识别 6.对应的图象是（  ） A． B． C． D． 7.函数图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   8.函数在区间上的图象大致为（  ） A． B． C． D． 9.函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   10.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 题型三：正弦（型）函数定义域 11.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 12.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 13.（多选）对于函数有如下四个判断，其中判断正确的是（  ） A．的定义域是 B．的最小值是2 C．是的最小正周期 D．的图象关于直线对称 14.函数的定义域是 . 15.函数的定义域是____________ 题型四：正弦（型）函数值域与最值 16.函数的值域是（  ） A． B． C． D． 17.函数的最小值是为（  ） A． B． C． D． 18.函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 19.函数的最大值为（  ） A． B． C．2 D．1 20.函数的值域为 . 21.函数的值域为 . 22.已知函数 (1)求的值； (2)求的最大值和最小值，并写出取最值时x的值． 题型五：正弦（型）二次式的最值 23.是函数的最小值点，则（  ） A． B． C． D． 24.设集合，，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 25.（多选）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（  ） A．0 B． C． D． 26.（多选）函数的最大值与最小值分别为（　　） A． B．2 C． D． 27.已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 题型六：利用正弦（型）函数值域或最值求参数 28.若函数在区间上存在最小值，则非零实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 29.已知，且在区间上有最大值，无最小值，则的值为（　　） A． B． C． D． 30.（多选）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 31.已知函数在上的值域为，则a＋b的值为 ． 32.已知函数的图象在区间上恰有3个最高点．则的取值范围为 ． 33.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 34.已知函数的部分图象如下图所示，最高点的坐标为．    (1)求函数的解析式； (2)若存在，对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 题型七：正弦（型）函数图像的应用 35.函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 36.将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为（  ） A． B． C． D．2 37.已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 38.（多选）已知函数的部分图象如图所示，、是的图象与轴的两个交点，是图象上的一个最高点，且是正三角形，则（  ）    A． B． C． D．的图象与直线有个交点 39.（多选）函数，的图象与直线的交点个数可能是（  ） A． B． C． D． 40.（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 41.作出函数的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①；②. (2)若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围； (3)求函数的最大值，最小值及相应的自变量的值． 题型八：正弦（型）函数的单调性 42.函数的单调减区间是（  ） A． B． C． D． 43.若函数在区间上单调递减，则时，（  ） A． B． C． D． 44.已知函数，则单调增区间为 . 45.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，单调递增区间是 ． 46.已知函数在一个周期内的图象如图所示.    (1)求函数的解析式. (2)求函数的单调递增区间. (3)当时，求的取值范围. 题型九：利用正弦（型）函数的单调性-求参数 47.若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（  ） A．3 B．2 C． D． 48.已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 49.（多选）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（  ） A．1 B． C． D．2 50.（多选）函数的部分图象如图所示，若，，，，恒成立，则实数的值可以为（  ）    A． B． C． D． 51.函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 52.若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 . 53．已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为 . 54．函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 题型十：利用正弦（型）函数的单调性-比大小 55.已知则以下不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 56.已知，，，则（  ） A． B． C． D． 57.下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 58.（多选）下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 题型十一：利用正弦（型）函数的单调性-解不等式 59.“”是“”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 60.（多选）下列在(0，2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是（  ） A．(0，) B．(，) C．(，2π) D．(，)∪(π，) 61.根据的图象，则满足当的x的范围是________． 62.观察正弦函数的图像，可得不等的解集为 ． 63.若0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围是________． 题型十二：正弦（型）函数的周期性、对称性、奇偶性 64.函数的最小正周期是（  ） A． B． C．6 D． 65.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．若的最小正周期为，则 B．若，则是的对称中心 C．若在上单调递增，则 D．若在上恰有2个零点，则 66.若函数的图象经过点，则的最小正周期为（  ） A． B． C． D． 67.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的值可能是（  ） A． B． C． D． 68.设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（  ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 69.（多选）已知函数（其中，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（  ） A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D． 70.函数的部分图象如图所示，则 .    题型十三 ：正弦（型）函数的奇偶性应用 71.，是（  ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 72.已知，且，（    ） A． B． C． D． 73.（多选）已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 74.（多选）下列关于函数的说法中，错误的是（  ） A.函数的图象关于直线对称； B.函数的图象关于点对称； C.函数在区间上单调递增； D.函数是一个偶函数，则，. 75.将函数的图像向左平移后得到一个偶函数的图像，则的最小正值是 ． 76.已知函数是偶函数，则 ． 题型十四：与正弦（型）函数有关的零点问题 77.已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（  ） A．2025 B．1012 C．1350 D．1348 78.设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 79.已知，用表示不超过的最大整数，例如，，则函数，在的零点个数是 . 80.（多选）已知函数若为奇函数，为偶函数，且在至多有个实根，则的可能的值有（  ） A．12 B．10 C．8 D．6 81.设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 82.若函数有两个零点,则实数m的取值范围为 ,两个零点之和为 . 83.已知定义在区间上的函数图像关于对称，当时， (1)作出的图像，并探究函数的性质(本小题只需直接写出结论)； (2)求函数的解析式； (3)若关于的方程有解，将方程中的取一确定的值所得的所有的解的和记为，求的所有可能的值及相应的的取值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正弦函数图像与性质14种常考题型 题型一：五点法画正弦、余弦函数的图象 题型六：正弦（型）函数图象的识别 题型三：正弦（型）函数定义域 题型四：正弦（型）函数值域与最值 题型五：正弦（型）二次式的最值 题型六：利用正弦（型）函数值域或最值求参数 题型七：正弦（型）函数图像的应用 题型八：正弦（型）函数的单调性 题型九：利用正弦（型）函数的单调性-求参数 题型十：利用正弦（型）函数的单调性-比大小 题型十一：利用函数的单调性-解不等式 题型十二：正弦（型）函数的周期性、奇偶性 题型十三 ：正弦（型）函数的奇偶性应用 题型十四：与正弦（型）函数有关的零点问题 题型一：五点法画正弦、余弦函数的图象 1.用五点法画函数，的图像时，下列哪个点不在函数图像上（  ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】利用五点作图的方法，直接判断选项即可 【解析】用五点法画，的图像，五个关键点分别为： ，，，，，所以选项A不在函数图像上， 故选：A 2.用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案. 【解析】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π， 解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标， 故选：B. 3.已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解析】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 4.作出下列函数的大致图像： (1)，. (2) 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表: x 0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):    5.作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围. 【答案】图见解析, 【分析】取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可画出图像；令，求出，观察图像可得使的x的取值范围 【解析】解:列表如下: x 0 0 0 1 0 0 1 3 1 1 描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 令,即,则. ,, 或,或. 由图可知, 使成立的x的取值范围是. 题型二：正弦（型）函数图象的识别 6.对应的图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解析】由题,为偶函数,且当时, 又为的图象沿轴翻折. 故选：C 7.函数图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数图象的对称性排除AC，再结合函数值大小排除B，从而得正确结论． 【解析】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项， 但是，因此的图象关于直线对称，可排除AC， 又，排除B， 故选：D． 8.函数在区间上的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】因为，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A和C； 当时，，所以， 排除选项D，只有选项B符合题意. 故选：B. 9.函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解析】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 10.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和指定区间的函数值，排除法得正确选项. 【解析】函数，定义域为， ，则为奇函数， 函数图象关于原点对称，排除BD选项； 当时，，，，则，排除C选项. 故选：A. 题型三：正弦（型）函数定义域 11.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 12.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可得出函数的定义域. 【解析】由，可得. 解得. 故的定义域为. 故选：C. 13.（多选）对于函数有如下四个判断，其中判断正确的是（  ） A．的定义域是 B．的最小值是2 C．是的最小正周期 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【分析】求出函数的定义域可判断A;利用均值不等式可判断B;化简，由其结果可判断C;化简，根据其结果可判断D. 【解析】因为，由得，,故A正确； 因为或， 所以的最小值不是2，B错误； 因为，所以不是的最小正周期，C错误； 因为，所以的图象关于直线对称，D正确， 故选：AD. 14.函数的定义域是 . 【答案】 【分析】满足被开方数大于等于0的自变量的范围构成的集合即为定义域. 【解析】要使函数有意义，需满足即 得 当时，解得；当时，解得. 综上，函数的定义域为. 故答案为： 15.函数的定义域是____________ 【答案】 【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可. 【解析】有意义满足，即，， 解得， 故答案为： 题型四：正弦（型）函数值域与最值 16.函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方后利用正弦函数的值域和二次函数知识可求出结果. 【解析】函数， ∵， ∴当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为2， 故函数的值域为， 故选：A． 17.函数的最小值是为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用代换，化简函数解析式为，利用二次函数的性质即可得到函数的最小值. 【解析】函数， 令，所以， 因为函数的对称轴为， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 所以当时，函数有最小值. 故选：A. 18.函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【解析】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 19.函数的最大值为（  ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】首先切化弦，然后根据的取值范围去绝对值，化简即可得到函数的最大值. 【解析】由于，且 ， ∴，由图像可知，当时最大 即 故选：A 20.函数的值域为 . 【答案】 【分析】由转化为二次函数求解. 【解析】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 21.函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用同角公式，结合关于的二次函数求解作答. 【解析】依题意，函数，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 22.已知函数 (1)求的值； (2)求的最大值和最小值，并写出取最值时x的值． 【答案】(1); (2)，或，，， 【分析】（1）将代入函数解析式求解； （2）由，利用二次函数的性质求解. 【解析】（1）解：； （2）， 因为， 所以当时，， 此时或 当时，， 此时，. 题型五：正弦（型）二次式的最值 23.是函数的最小值点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，然后利用二次函数的性质可求出函数的最小值，从而可求出的最小值点，进而可求得结果. 【解析】， 令，则， 对称轴为， 因为抛物线开口向上， 所以当时，取得最小值， 所以当时，取得最小值， 即， 故选：A 24.设集合，，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出集合、的范围，利用的性质即可求解. 【解析】依题意，对于集合： ， 所以； 对于集合： ， 因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以，解得， 故选：A. 25.（多选）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（  ） A．0 B． C． D． 【答案】CD 【分析】由题意可得，从而可得所以当时，，又因为，所以必有成立，结合选项，即可得答案. 【解析】解：因为， 所以当时，即，， 又因为， 所以， 所以的可能取值为. 故选：CD. 26.（多选）函数的最大值与最小值分别为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】对函数变形后，再换元，然后利用二次函数的性质可求出其最值 【解析】，令，则， 因为，所以，所以， ， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故选：AC 27.已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 / 6 【分析】利用换元法，令，则将函数转化为，再由求出的范围，再利用二次函数的性质求解即可 【解析】令，则， 因为，所以， 因为的对称轴为， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以当或时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 故答案为：，6 题型六：利用正弦（型）函数值域或最值求参数 28.若函数在区间上存在最小值，则非零实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非零实数的正负进行分类讨论，列出不等式求解即可. 【解析】①若，则， 因为函数在区间上存在最小值， 所以，得到； ②若，则， 因为函数在区间上存在最小值， 所以，. 所以非零实数的取值范围是. 故选：C 29.已知，且在区间上有最大值，无最小值，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求出对称轴，再结合有最大值，无最小值，得出计算即可. 【解析】因为， 所以函数的图象关于对称， 且在区间上有最大值，无最小值， 所以， 所以， 所以， 当时，， 当时，，此时在区间内已存在最小值; 当时，，此时在区间内已存在最小值． 故选：A． 30.（多选）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可求解. 【解析】函数． 由于函数值域为,，则， 所以，， 故，， 所以，故的最大值为， 当最小时，，，， 此时的最小值为， 故． 故选：ABC． 31.已知函数在上的值域为，则a＋b的值为 ． 【答案】或 【分析】利用的范围可求出，由函数解析式讨论的正负，从而可求得最大值、最小值，列出方程即可求解. 【解析】因为，所以， 所以. 因为函数在上的值域为， 当时，，所以解得 当时，，所以解得 所以或，所以或. 故答案为：或. 32.已知函数的图象在区间上恰有3个最高点．则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的最大值求解可得结果. 【解析】令，， 得，， 因为函数的图象在区间上恰有3个最高点． 所以，解得. 故答案为： 33.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据三角函数的单调性和周期，求得的一个取值范围，结合三角函数的最值，求得的另一个取值范围.根据两个取值范围的交集，求得的取值范围. 【解析】由，可得， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 由，得， 因为函数在区间上恰好取得一次最大值， 所以，解得， 综上的取值范围是. 故答案为：. 34.已知函数的部分图象如下图所示，最高点的坐标为．    (1)求函数的解析式； (2)若存在，对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根据最值求，根据周期求，再根据五点中的一个点求； （2）不等式转化为恒成立，转化为求函数的最小值，转化为关于的一次不等式，根据的取值，求的取值范围. 【解析】（1）由题图可知：，，， 即，将代入，即，，又，，； （2），，，，，由题意可知：，即 即以为自变量的不等式，，解得：或， 的取值范围为． 题型七：正弦（型）函数图像的应用 35.函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【解析】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 36.将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果. 【解析】将曲线上所有点向左平移个单位，可得， 因为与的图象相同， 所以， 因为，所以的最小值为， 故选：B. 37.已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，且，从而可求出的取值范围 【解析】由题意得，得， 由，得， 因为在上无零点， 所以（），解得（）， 当时，，当时，，当时，无解， 因为，所以或， 所以的取值范围是， 故选：B 38.（多选）已知函数的部分图象如图所示，、是的图象与轴的两个交点，是图象上的一个最高点，且是正三角形，则（  ）    A． B． C． D．的图象与直线有个交点 【答案】ACD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断ABC选项；数形结合可判断D选项. 【解析】因为、，则， 因为是正三角形，易得，所以，， 易知函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 所以，，则， 因为，所以，，则，AC都对，B错； 如图，对于函数，当时，； 当时，；当时，； 当时，. 如下图所示，直线与函数的图象有个公共点，D对.    故选：ACD. 39.（多选）函数，的图象与直线的交点个数可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】作出函数、的图象，即可得出结论. 【解析】由题意可得， 作出函数、的图象如下图所示：    当或时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象有两个交点； 当或时，直线与函数的图象有三个交点； 当时，直线与函数的图象有四个交点. 故选：ABC. 40.（多选）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABC 【分析】作出函数与的图象，数形结合求解. 【解析】在同一直角坐标系中，作出与图象， 由图象可知， 函数的图像与直线（为常数）的交点个数可能为0,1,2， 故选：ABC 41.作出函数的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①；②. (2)若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围； (3)求函数的最大值，最小值及相应的自变量的值． 【答案】(1)①；② (2)或 (3),此时；，此时. 【分析】（1）利用五点作图法得到函数的简图，并得到满足条件的的取值范围； （2）数形结合得到与曲线有两个交点时a的取值范围； （3）数形结合得到函数的最值及此时自变量的值. 【解析】（1）列表： x 0 0 －1 0 1 0 1 3 1 －1 1 描点连线得：    由图象可知函数，当时，，当时，. （2）如图，当直线与曲线有两个交点时，或，所以a的取值范围是或 （3）由图象可知,此时；，此时. 题型八：正弦（型）函数的单调性 42.函数的单调减区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【解析】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D. 43.若函数在区间上单调递减，则时，（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可确定，由此判断正弦，余弦，正切的正负情况，可得答案. 【解析】由于函数在区间上单调递减， 故，一定成立， 若，此时， 若，此时， 故错误，B正确， 故选：B 44.已知函数，则单调增区间为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据正弦函数的性质即得. 【解析】由题得， 由，可得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 45.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】根据图象，由，求得周期，进而得到，再由函数图象过点求得其解析式，然后利用正弦函数的性质求单调区间. 【解析】解：由图象知：，则， 所以， 又函数图象过点， 所以， 即， 解得， 又因为， 所以， 所以； 令， 解得， 所以函数的单调增区间是. 故答案为：， 46.已知函数在一个周期内的图象如图所示.    (1)求函数的解析式. (2)求函数的单调递增区间. (3)当时，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)利用三角函数的图象与性质求解析式即可； (2)利用三角函数的单调性整体代换法求单调区间即可； (3)利用整体代换法结合三角函数的图象与性质求定区间值域即可； 【解析】（1）由函数的图象知， ，所以，解得； 由函数图象过点，得，则， 因为，所以， 所以函数的解析式为； （2）由函数的解析式， 令； 解得； 所以的单调递增区间为 （3）当时，，则， 所以， 则的取值范围是. 题型九：利用正弦（型）函数的单调性-求参数 47.若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（  ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到. 【解析】由题意得，故，， 解得，， 又因为函数在区间单调递增，所以，解得， 因为，所以， 故，解得， 故，解得， 又，故，所以 故选：C 48.已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等式即可求得的取值范围. 【解析】因为， 令，可得对称轴方程， 函数在区间上是单调的， ,且，， 即， 函数在区间上是单调的， 所以，即， 又， 可得或， 故选：C. 49.（多选）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】AB 【分析】根据的范围得出，根据的单调性可得出即可得出的可能取值． 【解析】，， 由于函数在上单调递减， ，，解得，， 时，，     的值可以是． 故选：AB． 50.（多选）函数的部分图象如图所示，若，，，，恒成立，则实数的值可以为（  ）    A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据图象确定，根据周期的范围确定的范围，再结合图象上的两个特殊的值，根据三角函数的性质确定函数的单调递增区间，最后根据子集关系，列式求的取值. 【解析】 由题图知，所以， ，①，② 两式相减得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 由，得， 当时，函数的单调递增区间是， 因为，，，，恒成立， 所以，所以. 故选：AB 51.函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果. 【解析】函数的最小正周期. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 若函数在区间上单调递增，则，， 则，则，即的最大值为. 故答案为：；. 52.若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】当时，化简得到，满足在区间上单调递增，即可得到答案. 【解析】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增， 当时， 可得， 此时函数满足在区间上单调递增， 当时，，所以常数的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 53．已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由，得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值； 【解析】因为在区间上单调，所以，，，解得； 因为，， 所以，所以，所以， 所以； 当，解得，所以. 故答案为：. 54．函数的最小正周期为 ，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果. 【解析】函数的最小正周期. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 若函数在区间上单调递增，则，， 则，则，即的最大值为. 故答案为：；. 题型十：利用正弦（型）函数的单调性-比大小 55.已知则以下不等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的单调性与对称性，以及1,2,3与对称轴的距离，即可判断函数值的大小. 【解析】， 在上是增函数，在上是减函数； 且的图象关于对称， 又， . 故选：D 56.已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和正弦函数在上的单调性可得大小关系. 【解析】由诱导公式知：，， 在上单调递增，，即. 故选：D. 57.下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，将角化到上，且都统一成正弦，然后利用正弦函数的单调性可比较大小. 【解析】，， 因为在上单调递增， 所以，所以， 故选：C 58.（多选）下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】研究选项AB中的角所在的区间的单调性，可判断，C选项根据诱导公式化简后相等，可判断，D选项需把两个函数化成同名函数，再根据角所在区间单调性可判断大小. 【解析】所以正确. 所以正确. 所以错误. 所以错误. 故选：AB 题型十一：利用正弦（型）函数的单调性-解不等式 59.“”是“”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，得；反之不成立．再由充分必要条件的判定判断. 【解析】由，得； 反之，由，得. ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 60.（多选）下列在(0，2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是（  ） A．(0，) B．(，) C．(，2π) D．(，)∪(π，) 【答案】AC 【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，用图像法解. 【解析】 在同一平面直角坐标系中画出y=sinx和y= cosx的图象，在(0，2π)上，当cosx＝sinx时，x＝或x＝，结合图象可知满足cosx>sinx的是(0，)和(，2π). 故选：AC． 61.根据的图象，则满足当的x的范围是________． 【答案】 【分析】根据三角函数的性质，求得不等式的解集，结合，即可求解. 【解析】由，可得， 令，可得， 因为，所以不等式的解集为 故答案为： 62.观察正弦函数的图像，可得不等的解集为 ． 【答案】 【分析】画出的图像，根据图像确定正确答案. 【解析】画出的图像如下图所示， 由图可知，不等的解集为. 故答案为： 63.若0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角函数的性质，求得不等式sinx≥cosx的解集，结合，即可求解. 【解析】由|cosx－sinx|＝sinx－cosx，得sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx.在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝cosx，x∈[0，2π]的图象如图所示，结合图象可知，当≤x≤时，sinx≥cosx，所以x∈. 故答案为： 题型十二：正弦（型）函数的周期性、对称性、奇偶性 64.函数的最小正周期是（  ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数最小正周期公式求解即可. 【解析】函数的最小正周期为. 故选:D 65.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．若的最小正周期为，则 B．若，则是的对称中心 C．若在上单调递增，则 D．若在上恰有2个零点，则 【答案】AC 【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求出可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D. 【解析】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以是的对称轴，故B错误； 对于C，时，， 因为在上单调递增，则，解得，故C正确； 对于D，时，， 若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误. 故选：AC. 66.若函数的图象经过点，则的最小正周期为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，据此求出ω的表达式，再根据ω的范围求得ω的值即可求最小正周期. 【解析】依题意可得，则，得. 因为，所以，. 故选：A. 67.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的值可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象平移规律、伸缩变化可得的图象，再由图象关于轴对称得到，，然后逐项验证是否为整数可得答案. 【解析】将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的， 纵坐标不变得到的图象， 将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 该图象关于轴对称，所以，，，， 若，解得，若，解得， 若，解得，若，解得， 故选：D. 68.设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（  ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断． 【解析】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值， 所以，则， 所以， 整理得， 对于，，则不是函数的对称中心，故错误； 对于，，则不是函数的对称中轴，故错误； 对于，令，， 解得，，， 显然不包含区间，故错误； 对于，，所以的最小正周期为，故正确． 故选：D． 69.（多选）已知函数（其中，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（  ） A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】BCD 【解析】由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图像和性质，得出结论． 【解答】解：根据函数（其中，，的部分图像， 可得，，则； 再根据五点法作图，可得， ，故D正确； 则， 令，求得，可得的图像不关于点中心对称，故A错误； 在区间上，，函数单调递增，故B正确； 令，求得，是最小值，可得的图像关于直线对称，故C正确； 故选：BCD． 70.函数的部分图象如图所示，则 .    【答案】/ 【分析】根据图象推出，，然后根据最大值，结合的取值范围，求出的值，代入，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，，所以，， 所以，. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以，. 因为，，所以， 所以，， 所以，. 故答案为：. 题型十三 ：正弦（型）函数的奇偶性应用 71.，是（  ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质判断即可. 【解析】因为，所以的最小正周期， 又，所以为奇函数. 故选：D 72.已知，且，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，结合已知条件可得出的值. 【解析】因为，该函数的定义域为， 则，， 所以，，故. 故选：C. 73.（多选）已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据三角函数平移变换可得，由奇偶性可知，，求得后即可对照选项得到结果. 【解析】由已知得， 又函数为偶函数，则，， 所以，，当时，CD正确， 故选：CD. 74.（多选）下列关于函数的说法中，错误的是（  ） A.函数的图象关于直线对称； B.函数的图象关于点对称； C.函数在区间上单调递增； D.函数是一个偶函数，则，. 【答案】BC 【分析】根据函数的图象和性质对四个选项逐一判断，对于AB根据函数在对称轴处取得最值，在对称中心处取得0即可作出判断，对于C，，当时，，函数单调递减，即可作出判断；对于D，可根据为偶函数，，（）计算作出判断. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故②B错误； 对于C，， 当时，，函数单调递减，故C错误； 对于D，， 函数是偶函数，所以，， 即，，故D正确. 故选：BC. 75.将函数的图像向左平移后得到一个偶函数的图像，则的最小正值是 ． 【答案】/ 【分析】先利用平移变换得到，再根据函数是一个偶函数求解. 【解析】将函数的图象向左平移后得到， 因为函数是一个偶函数， 所以，解得， 所以的最小正值是. 故答案为： 76.已知函数是偶函数，则 ． 【答案】-1 【分析】由，列出方程，求出的值. 【解析】定义域为R， 由得：， 因为，所以，故. 故答案为：-1 题型十四：与正弦（型）函数有关的零点问题 77.已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（  ） A．2025 B．1012 C．1350 D．1348 【答案】C 【解析】依题意，， 令，则，由，得， 显然，即方程有两个不等的实数根，， 即，，此时在上恰有3个实根， 而，因此，则. 故选：C. 78.设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称轴满足的条件，结合在区间上恰有三条对称轴，可得，结合区间上恰有两个零点，知，从而可得的取值范围. 【解析】由，得． 根据函数的图象在区间上恰有三条对称轴，知，得． 根据函数在区间上恰有两个零点，知，得． 综上，的取值范围为． 故选：C 79.已知，用表示不超过的最大整数，例如，，则函数，在的零点个数是 . 【答案】7 【分析】根据已知，利用一次函数、正弦函数的图象以及函数零点与方程的根的关系求解. 【解析】函数的零点等价于方程的根， 当时，方程等价于：， 当时，方程等价于：， 当时，方程等价于：， 当时，方程等价于：， 当时，方程等价于：， 当时，方程等价于：， 当时，方程等价于：， 当时，方程等价于：， 因为方程的根的个数等价于函数与函数的交点个数， 如图，由函数函数，与函数，的图象可知， 函数，在有7个零点. 故答案为：7. 80.（多选）已知函数若为奇函数，为偶函数，且在至多有个实根，则的可能的值有（  ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】BD 【分析】根据函数的奇偶性，明确其对称轴，利用正弦函数的对称性以及周期性，建立方程，可得答案. 【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以是对称中心，是对称轴， 所以，得， 由，得，所以不是的倍数，所以排除A、C， 对于B，若，且为奇函数，为偶函数，， 因为，解得，则由， 得或，解得或， 则在内的根为和，符合题意，故B正确； D项：若，且为奇函数，为偶函数，， 因为，解得，则由， 得或，解得或， 则在内的根为和，符合题意，故D正确. 故选：BD． 81.设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】，则，取计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案 【解析】由题意可得， 因为的图像关于原点对称，所以，即， 当时，； ，则，有且仅有两个零点， 则，解得， 故答案为：（答案不唯一）； 82.若函数有两个零点,则实数m的取值范围为 ,两个零点之和为 . 【答案】 【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线，根据图像可得实数m的取值范围，利用对称性可得零点之和. 【解析】解析:由得.在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线.如图所示. 由图知,当,即时,两图像有两个交点, 则原函数有两个零点,此时. 设两个零点分别为,,由于两交点关于直线对称, 所以, . 故答案为：； 83.已知定义在区间上的函数图像关于对称，当时， (1)作出的图像，并探究函数的性质(本小题只需直接写出结论)； (2)求函数的解析式； (3)若关于的方程有解，将方程中的取一确定的值所得的所有的解的和记为，求的所有可能的值及相应的的取值. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）当或时， ，当时， ，当时， ． 【分析】（1）根据对称性和正弦函数的图象可得的图象，由图象可得性质，如最值，单调性，对称性． （2）根据对称性可求得函数解析式； （3）作直线观察它与函数的交点个数，可得解的情况，利用对称性可求得． 【解析】（1） 如图，的性质：最大值1，最小值－1，在和上单调递减，在和上单调递增，对称轴是． （2）当时，，． ∴． （3）由（1）中图象知， 当或时，有两解，， 当时，有三解，， 当时，有四解，． 综上，当或时， ，当时， ， 当时， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $