7.3.1&7.3.2：三角函数的周期性和图象与性质【6大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

7.3.1&7.3.2：三角函数的周期性和图象与性质 【考点归纳】 · 考点01、正余弦三角函数的图像问题 · 考点02、正弦 余弦和正切的定义域 值域和最值问题 · 考点03、正弦三角函数的性质 · 考点04、余弦三角函数的性质 · 考点05、正切三角函数的性质 · 考点06、三角函数的图像应用 · 考点07、三角函数的性质求参数问题 · 考点08、三角函数的图像和性质综合问题 【知识梳理】 知识点一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【题型归纳】 题型一、正余弦三角函数的图像问题 1．（2022高一·全国·）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2019高三·全国·专题练习）函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一下·全国）从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二、三角函数定义域 值域和最值问题 4．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（2023高一·江苏·专题练习）函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型三、正弦三角函数的性质 7．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 8．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四、余弦三角函数的性质 10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 11．（23-24高一上·江苏镇江·期末）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·江苏徐州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五、正切三角函数的性质 13．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 15．（2023·云南红河·二模）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型六：三角函数的图像应用 16．（22-23高一上·北京·期末）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（    ）    A．2， B．2， C．2， D．4， 17．（22-23高一下·山东泰安·期中）函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 18．（22-23高一下·江西上饶·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 题型七：三角函数的性质求参数问题 19．（23-24高一上·江苏南通）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一上·河南郑州·期末）已知函数的最小正周期为2，且函数图像过点，若在区间内有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·江苏南通·期末）函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八：三角函数的图像和性质综合问题 22．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的单调减区间. 23．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 24．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的最小正周期是，且当时，取得最大值 (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围 【高分达标】 一、单选题 25．（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）若函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于2，则对称中心到对称轴距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·江苏盐城·期末）“”是“函数 的一个对称中心是”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 28．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 34．（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列函数，最小正周期为的有（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的最小正周期为 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的一个对称中心为 36．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最大值为3 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 37．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于函数，下列说法中错误的是（    ） A．最小正周期是 B．图象关于点对称 C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 39．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．为奇函数 B．是以为周期的函数 C．的图象关于直线对称 D．时，的最大值为 40．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数满足，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上有两个零点 三、填空题 41．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数的最小正周期为 . 42．（21-22高一上·江苏南通·期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数 .（注：不是常数函数） ①；②. 43．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的最小值为1，则 ． 44．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 45．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数，若的最小正周期为，则 ；若的一个单调递增区间为，一个递减区间为，且，则 . 46．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 四、解答题 47．（22-23高一·全国·随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 48．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称轴、对称中心； (3)当x取何值时，函数有最值； (4)求函数的单调区间； (5)判断函数在上的单调性； (6)求函数在上的值域； (7)求函数的解集． 49．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知. (1)若，求在上的值域； (2)若，求的最大值. 50．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求实数的值； (2)求的最大值． 51．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数，． (1)求函数的单调递增区间、对称轴和对称中心； (2)若，求的最大值及最小值并指出相应的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3.1&7.3.2：三角函数的周期性和图象与性质 【考点归纳】 · 考点01、正余弦三角函数的图像问题 · 考点02、正弦 余弦和正切的定义域 值域和最值问题 · 考点03、正弦三角函数的性质 · 考点04、余弦三角函数的性质 · 考点05、正切三角函数的性质 · 考点06、三角函数的图像应用 · 考点07、三角函数的性质求参数问题 · 考点08、三角函数的图像和性质综合问题 【知识梳理】 知识点一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【题型归纳】 题型一、正余弦三角函数的图像问题 1．（2022高一·全国·）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与的关系进行判断即可． 【详解】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标， 故选：A． 2．（2019高三·全国·专题练习）函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】五点法作图，根据图象分析即可. 【详解】用五点法画出函数的部分图象如图所示，由图易知与y 轴最近的最高点的坐标为.    故选：B 3．（20-21高一下·全国·课后作业）从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】画出和的图象，看它们有几个交点即可. 【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分， 再画出的图象，如下图： 由图象可知它们有2个交点B、C， 所以当时，的x的值有2个. 故选：C 题型二、三角函数定义域 值域和最值问题 4．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】解：由，可得， 则. 故选：A. 5．（2023高一·江苏·专题练习）函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可. 【详解】函数， 令，， 因为，所以， ，对称轴为，图象开口向下， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在的值域为 故选：B 6．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的定义域进行求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 题型三、正弦三角函数的性质 7．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 【答案】C 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 可得，所以， 又由，可得，因为，可得， 又因为，即， 因为，可得，解得，所以， 对于A中，由，不是函数的最值，所以A错误； 对于B中，由，所以点不是函数的对称中心，所以B错误； 对于C中，由，可得， 根据正弦函数的性质，可得在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，所以C正确； 对于中，由，可得， 当时，即时，可得， 又由，所以函数在的值域为，所以D错误. 故选：C. 8．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦函数的单调性推得；再利用正弦函数的最大值推得，从而得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 由，， 所以且，解得且，所以； 又因为在区间上只取得一次最大值， 即时，； 所以，解得； 综上，，即的取值范围是． 故选：D. 9．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据周期变换和平移变换的特征得出变换后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解. 【详解】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 得， 再将它的图象向右平移个单位长度， 得， 因为函数为奇函数， 所以，即， 又因， 所以当时，. 故选：B. 题型四、余弦三角函数的性质 10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 11．（23-24高一上·江苏镇江·期末）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得是偶函数，则结合即可得解. 【详解】由题意是偶函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：A. 12．（22-23高一上·江苏徐州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性得到，，即可求出的取值，从而得解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到， 因为关于原点对称， 所以，， 所以，， 所以的最小值为. 故选：C 题型五、正切三角函数的性质 13．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性比较即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增， 所以，，， 所以. 故选：D 14．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】D 【分析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案. 【详解】A：因为， 所以函数的最小正周期，故A正确. B：由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确. C：由，， 得，， 当时，， 所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确. D：因为， ， 所以，故D不正确. 故选：D. 15．（2023·云南红河·二模）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由正切函数的性质得出，继而由周期公式得出. 【详解】解：设的最小正周期为，由函数（）的图象上相邻两 个对称中心之间的距离为，知，， 又因为，所以，即，则． 故选：B． 题型六：三角函数的图像应用 16．（22-23高一上·北京·期末）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（    ）    A．2， B．2， C．2， D．4， 【答案】B 【分析】根据三角函数图像与性质求，的值即可. 【详解】设的周期为， 则由图像知， 所以，则， 因为在处取得最大值， 所以， 得， 因为， 所以. 故选：B 17．（22-23高一下·山东泰安·期中）函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图象确定的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案. 【详解】由图象可知函数的最小正周期为， 又，故，由于，故， 所以， 将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）， 再向右平移个单位长度后，得到的图象， 因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数， 故，则， 而，则的最小值为， 故选：C 18．（22-23高一下·江西上饶·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】A 【分析】根据图象，求出函数的周期，即可得出，结合函数过点，即可得出的值从而得出，根据正弦函数的性质依次判断选项即可. 【详解】由已知图象可得，所以，， 由图象过点，由“五点法”可得，， 所以，. 因为，所以， ，故B项错误； ，故A项正确； 因为，所以点不是函数的对称中心，故C项错误； 对于D项，当时，，故D项错误. 故选：A 题型七：三角函数的性质求参数问题 19．（23-24高一上·江苏南通）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出取值范围，再由在上单调递增得，最后结合题意求出的取值范围即可. 【详解】因为，，所以， 要使得在上单调递增，则，解得， 又由题意可知，所以， 故选：B 20．（22-23高一上·河南郑州·期末）已知函数的最小正周期为2，且函数图像过点，若在区间内有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最小正周期求出，根据函数图像过点求出的值，再根据复合函数画出外层函数的图像，求出右端点的范围. 【详解】的最小正周期为2 又函数过点， 即，又 又， 若在区间内有4个零点，如图，则满足 所以 故选：A 21．（22-23高一上·江苏南通·期末）函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由对称性求得的解析式，方法1：换元后画图研究交点个数可得m的范围； 方法2：直接画的图象研究交点个数可得m的范围. 【详解】∵ ， ∴关于对称， ∴，，解得：，， 又∵ ， ∴， ∴ 方法1：， ，即：，， 设， 则在有两个实根， 即：在有两个交点， 如图所示， 当时，， ∴ ，即：， 故选：A. 方法2：∵在有两个实根， ∴在有两个交点， 如图所示， 当时， ∴，即：即：， 故选：A. 题型八：三角函数的图像和性质综合问题 22．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的单调减区间. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据图象求振幅、周期，由公式求出，代入点求出即可得出函数解析式； （2）由正弦型函数求出函数的单调递减区间，取适当得出在上的单减区间. 【详解】（1）由图可知， 所以. 因为的图象经过点， 所以，即. 因为，所以， 故. （2）令， 得， 所以的减区间为， 仅当时，单调递减区间， 所以在上的减区间为. 23．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，由此即可得解. （2）由题意得在上单调递增，由此列出不等式即可得解. 【详解】（1）由题意当时，，若，则， 所以在上的值域为. （2）由题意，所以时，，且关于单调递增， 若在上单调递增，则由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围为. 24．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的最小正周期是，且当时，取得最大值 (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围 【答案】(1)，单调递增区间为：， (2) 【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得，利用整体代入法求得的单调递增区间. （2）通过求在区间上的最小值来求得的取值范围. 【详解】（1）的最小正周期为，所以， 当时，取得最大值，所以， 且， 所以，所以. 由解得， 所以单调递增区间为：，. （2）若，则， 所以在区间上，当时，取得最小值为， 依题意，存在，使得成立，所以. 【高分达标】 一、单选题 25．（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可. 【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期. 故选：B. 26．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）若函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于2，则对称中心到对称轴距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合对称中心到对称轴距离的最小值为，即可求解. 【详解】函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于2， 可得函数的最小正周期为， 则对称中心到对称轴距离的最小值为. 故选：B. 27．（23-24高一上·江苏盐城·期末）“”是“函数 的一个对称中心是”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由充分条件必要条件的定义，结合正切函数的性质，作出判断． 【详解】当时,此时，的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为， 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A． 28．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合奇偶性的判断与单调性的判断，一一分析即可. 【详解】对于A，的定义域为， 在上单调递增，故A错误； 对于B，的定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，设的定义域为R， 为奇函数，因为在R上单调递减， 所以在R上单调递减，故C正确； 对于D，的定义域为R，在定义域内的单调性有增有减，故D错误. 故选：C. 29．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件代入计算可得，，再由，代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则，即， 同理可得，， 又，，则，， ，，解得. 故选：B. 30．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】因为得，则， 所以由题意可得，，解得. 故选：D 31．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数相关知识直接求解定义域即可. 【详解】由题意得，，解得， 所以，即函数定义域为. 故选：C 32．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围. 【详解】， ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增，则， 解得，当时，，又因为，∴. 故选：A 33．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析； 【详解】当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 当时，； 当时，； 当时，． 又因为2，因此的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心. 二、多选题 34．（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列函数，最小正周期为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合周期性的定义，对每个选项判断是否成立，从而可选出正确答案. 【详解】解:A：当时，，最小正周期为，所以A不正确; B：，因为，B正确； C：，因为，C不正确； D：，， 所以D正确. 故选:BD. 35．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的最小正周期为 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的一个对称中心为 【答案】AB 【分析】利用正切型函数的定义域可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用正切型函数的单调性可判断C选项；利用正切型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得， 所以，函数的定义域为，A对； 对于B选项，函数的最小正周期为，B对； 对于C选项，函数在定义域上不单调，C错； 对于D选项，因为，故不是函数的对称中心，D错. 故选：AB. 36．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最大值为3 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】B选项，先得到，故，得到B错误；A选项，分与，结合得到的最大值为3；C选项，求出，故C正确；D选项，时，不单调，D错误. 【详解】B选项，由于为偶函数， 故， 由于， 所以的最小正周期不为，B错误； A选项，当时，， 当时，， 又， 所以函数的一个周期为，可得的最大值为3，A正确； C选项，， 故函数的图象关于直线对称，C正确； D选项，由A选项得，时，不单调，故D错误. 故选：AC 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 37．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出使得取最小值时的x的值，根据k的取值，验证可判断选项A，B，C；求出函数在上的取值范围，可判断D. 【详解】由题意知函数在区间上的最小值为， 令，即， 当时，， 当时，，故区间可以为，，，A，B，C正确； 当时，，此时， 的值取不到，D错误； 故选：ABC 38．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于函数，下列说法中错误的是（    ） A．最小正周期是 B．图象关于点对称 C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】CD 【分析】由的周期性，对称中心，对称轴和单调区间，进而求出的对应性质，再逐一判断即可． 【详解】因为最小正周期为，故A显然正确； 因为的对称中心为Z，所以的对称中心为Z，故B正确； 因为无对称轴，所以也没有对称轴，C错误； 因为的增区间为 Z，所以的增区间为，即 Z，故D不正确． 故选：CD． 39．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．为奇函数 B．是以为周期的函数 C．的图象关于直线对称 D．时，的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B，判断是否成立即可；对于C，判断是否成立即可；对于D，可得时，单调递增，由此即可得解. 【详解】对于A，的定义域为（关于原点对称），且， 对于B，，故B错误； 对于C，， ， 但，即的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，时，均单调递增，所以此时也单调递增， 所以时，单调递增，其最大值为. 故选：AD. 40．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数满足，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上有两个零点 【答案】BCD 【分析】根据满足，得到的图象关于对称，从而求得，然后逐项判断. 【详解】解：因为函数满足， 所以的图象关于对称， 所以，则，即， 因为，则，所以， 则，故A错误； ，故B正确； 由，得，因为在单调递增，故C正确； 由，得，易知在上有两个零点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 41．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可得：函数的最小正周期. 故答案为：. 42．（21-22高一上·江苏南通·期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数 .（注：不是常数函数） ①；②. 【答案】 【分析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可． 【详解】由知函数的周期是， 则满足条件， ，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 43．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的最小值为1，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】显然，当时，，，解得； 当时，，，解得， 所以. 故答案为： 44．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 【答案】/0.75 【分析】根据函数图象过的点，求出，再结合函数的单调性推出，二者联立即可确定答案. 【详解】由题意知函数（）的图象过点， 故，则， 故， 又在区间上单调递增，则， 解得，结合，， 可得时，， 故答案为： 45．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数，若的最小正周期为，则 ；若的一个单调递增区间为，一个递减区间为，且，则 . 【答案】 【分析】第一空，直接根据正弦函数周期求解； 第二空，根据正弦函数单调性与最值的联系，并结合周期性求解即可. 【详解】第一空：因为函数的最小正周期为，所以； 第二空：由的一个单调递增区间为，一个递减区间为， 则时函数取得最大值，即，即， 又因为，所以，解得， 由题意可知，，所以， 所以当时，. 故答案为：； 46．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【详解】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 四、解答题 47．（22-23高一·全国·随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据正余弦函数的图象，结合诱导公式求解即可. 【详解】（1）   即， 当时，或， 故由正弦函数的图象可得解得. （2）即， 当时，或， 故解得 （3）即，故 当时，或， 故，解得. （4）即，故 当时，或， 故，解得 48．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称轴、对称中心； (3)当x取何值时，函数有最值； (4)求函数的单调区间； (5)判断函数在上的单调性； (6)求函数在上的值域； (7)求函数的解集． 【答案】(1) (2)对称轴，对称中心 (3)时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值 (4)增区间为，减区间为 (5)减区间为，增区间为 (6) (7) 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期公式，即可求得答案； （2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心，利用整体代换的方法，即可求得答案； （3）根据正弦函数的最值，利用整体代换的方法，即可求得答案； （4）根据正弦函数的单调性，利用整体代换的方法，求解不等式，即可求得答案； （5）根据x的范围，确定，结合正弦函数单调性，即可求得答案； （6）根据x的范围，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （7）由可得，结合正弦函数性质，解三角不等式，即可得答案. 【详解】（1）对于函数，它的最小正周期为． （2）令，求得， 可得函数图象的对称轴为； 令，求得， 可得函数图象的对称中心为； （3）令，求得， 可得当时，函数取得最大值为2； 令，求得， 可得当时，函数取得最小值为-2． （4）令，求得， 可得函数的增区间为． 令，求得， 可得函数的减区间为． （5）在上，， 故当时，即时，函数单调递减； 当时，即时，函数单调递增， 故函数在上的减区间为，增区间为； （6）在上，， 故当时，函数取得最小值为-2； 当时，函数取得最大值为， 故函数的值域为； （7）函数，即，故有， 求得， 故函数的解集为. 49．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知. (1)若，求在上的值域； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】利用同角三角函数的平方式整理函数解析式，再利用换元法化简函数解析式，结合正弦函数与二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由题意可知， 令,当时， 由在上单调递增，在上单调递减，则， 令， 由在上单调递增，在上单调递减， 则，， 所以. （2）由(1)可知：， 令，则， 令， 由在上单调递增，在上单调递减， 则. 50．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求实数的值； (2)求的最大值． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）将条件代入运算可得解； （2）换元，令，，化为，分类讨论求出的最大值. 【详解】（1）函数， 所以 整理得，解得或． （2）因为， 设，则，化为， 则为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 所以当时，的最大值； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为． 51．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数，． (1)求函数的单调递增区间、对称轴和对称中心； (2)若，求的最大值及最小值并指出相应的值． 【答案】(1)单调增区间为，；对称轴为，；对称中心为，； (2)当时，最小值为；当时，最大值为 【分析】（1）根据余弦型函数的图象与性质，求出函数的单调增区间和对称轴、对称中心； （2）求出当时的取值范围，即可得出的最大值、最小值以及对应的x的值． 【详解】（1）根据余弦函数的单调性，令，，解得，， 所以函数的单调增区间为，； 令，解得，所以的对称轴为，； 令，解得，所以函数的对称中心为，； （2）因为时，所以，所以， 所以， 当，即时，取得最小值为； 当，即时，取得最大值为 故 当时，最小值为；当时，最大值为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$