数学一模保分卷04（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 5 6 7 8 D C D C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 AC ABD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.0 13.3 14.65 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)由题意知besin4:sin2A= a2 sinBsinC,… (1分) 由正弦定理得sinBsinCsin4Asin2A=sinAsinBsinC.(3分) 因为sin4>0,sinB>0,sinC>0,所以cos4= .(4分) 2 另解：由S-acsinB得2 acsinBsin4cos4=asinbsinC 根据正弦定理得2 a2bccosA=abc, 因为a>0,b>0,c>0,所以cos4= 2 又A∈(0，，所以A= 3(6分） (2)在ABC中，由余弦定理及(1)得b2+c2-a2=bc, 又a=3,所以(b+c)}2=3bc+13(*) (8分) 由题意得SAABD+SAACD=S, 1/8 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以x4Dxcxsin亚+x ADxbxsin亚=-bcsin亚 2 62 62 3 整理得(b+Cm=√3bC…(10分) b+c 因为2m是b和C的等差中项，所以m= 4 所以(b+c2=4V3bc,代入(*)得4V5bc=3bc+13, 解得bc=4V5+3 3 …（12分） 故s=)-besin∠BAC=x4v5+3x54+5 23 (13分) 2 4 16.(15分) (1)由题知，未来两年甲每年仅从乙收购苹果即可满足生产需求的概率均为 p=0.4+0.5=0.9 (2分) 记事件A为“甲在未来两年仅从乙收购苹果即可满足生产需求”， 则P(A=p2=0.9×0.9=0.81…(6分) (2)根据题意可知X的所有可能取值为440,420,400,380,360，…(7分) 则P(X=440)=0.1×0.1=0.01: P(X=420)=C×0.1×0.4=0.08; P(X=400=C,×0.1×0.5+0.4×0.4=0.26: PX=380)=C2×0.4×0.5=0.4; PX=360）=0.5×0.5=0.25.… (12分) 所以X的分布列为 440 420 400 380 360 0.01 0.08 0.26 0.4 0.25 故E(X)=440×0.01+420×0.08+400×0.26+380×0.4+360×0.25=384吨.. (15分) 17.(15分) (1) 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 如图，过M作MF⊥EC,垂足为F,连接NF, 由题可得PE⊥CE,所以MF IPE, 因为MFt平面AEP,PEc平面AEP,所以MF∥平面AEP,.(2分) 在Rt△PCE中，PE=EC=2,则PC=22, 在正方形ABCE中，BE=2√2，所以BE=PC=V2AB, 因为DM+NB=√2AB,所以PM+NB=BE=PC, 则BN=MC,PM=EN,所以PM=EN MC BN 由MFPE,得P_EF MC FC' 所以EN、EF BNFC,即NFIBC, 又BCIIAE,所以NF∥AE, 因为NF平面AEP,AEC平面AEP,所以NF∥平面AEP. (4分) 因为MF∩NF=F,MF,NFc平面MNF,所以平面MNF∥平面AEP, 又MNC平面MNF,故MN∥平面AEP..(6分) (2) EC⊥PE,EC⊥AE,AE∩PE=E,AE,PEC平面PAE,所以EC⊥平面PAE, A B 故以E为原点，EA,EC所在直线分别为x,y轴，过E作平面ABCE的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则E(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P-1,0,V3,故EC=(0,2,0 设CM=元CP0<元<1)，则EN=(1-元)EB=(2(1-元)，2(1-元)，0)， 3/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CM=-元，-2,52)，则EM=EC+CM=-元，2-2元，52) (8分) 设平面EMW的法向量为m=(x,y,z, 则 丽-m=21-2刘+21-=0，取=5成，则m=5-52,2-2…（10分 EM·m=-1x+(2-22)y+V3z=0 因为EC⊥平面APE,所以EC=(0,2,0)是平面APE的一个法向量.….(12分) 设平面APE与平面EMN所成锐二面角的平面角为O, 则cos0l=V1-sin0 2W5 5 5 又cos0l=cosm,EC= 2V31 √3 2V7元2-4λ+4√722-4元+4 V3A 5 所以 ，整理得222+1-1=0， V722-4元+4 解得入或1（舍去 (14分) 所以MN=EN-EM ,0,-2 故MN .(15分） 18.(17分) 86 a2b =1 (1)由题意可得{2C=4,得a2=2,b=2,… (2分) a2+b2=c2 故C的方程为女 (3分) 22 (2)由(1)可得A2,0), 故14P卡N22-2+(6-0F-22,直线4P的斜率km 6-0=3, 2W2-√2 则直线AP的方程为y=√5x-√6…（5分) 设过点B且平行于直线AP的直线1的方程为y=V3x+m,…(6分) 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则当直线1与双曲线C的左支相切时，直线1与直线AP之间的距离最小， 此时△ABP的面积最小 x2 y2 =1 由22，得2x2+2V3mx+m2+2=0, y=3x+m 令△=(2V3m)2-4×2(m2+2)=4m2-4=0,解得m=±2， 当m=2时，直线1与双曲线C的左支相切，符合题意； (8分) 当m=-2时，直线1与双曲线C的右支相切，不符合题意 故直线1与直线4P之间的距离的最小值为2+6-1+ 2 所以。4BP面积的最小值为)x22x1+, (10分) (3)由题意可知，过点D(1,-I)的直线EF的斜率存在，不妨设E在左支上，F在右支上， 设其方程为y=x-(k+1)-1<k<1),E(,),F(x2,y2, 2_y-1 由 22 ,得1-k2)x2+2k(k+1)x-k2-2k-3=0, y=kx-(k+1) 其判别式△=4k2(k+1)2-4(k2-1k2+2k+3>0, 所以x+x2= 2k(k+1) 1-k2 6=2-2张-3 (12分) 1-k2 假设直线x-y-2=0上存在不同于点D的点Q,使得DQ平分∠EQF,Q(t,t-2),t≠1 因为∠EQD=∠DQF≠90°，所以cos∠EQD=cos∠DQF, 因为QD=1-t,1-),QE=(x1-t,乃-t+2,QF=(x-t,2-t+2), 所以QE·QD=(1-)x-t+y-t+2）=(1-)川x+-k-2t+1,…(14分) ⑨F.QD=(1-0(X2+x2-k-2t+1,.(152分) 由题知1≠1，x≤-V2,x,>√2， 所以 0-0x+-k-21+1_1-x -)(x2+kx2-k-2t+1x2-1' 整理得(k+1)xx2-(k+)(x+x2)+k+2t-1=0, 5/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则k+0--2-3-《+ 1-k2 2k(+0]+k+21-1=0, -1-k2 所以2t-4=0,解得t=2, 因此直线x-y-2=0上存在点Q(2,0),使得DQ平分∠EQF… (17分) x-y-2=0 19.(17分) 【解析】(1)由题可得f(x)=e2“-e*-2=(e*+1(e-2), 易知e+1>1,令e-2=0,得x=ln2, 所以当xe(-o,ln2)时，f'(x<0,当xe(ln2,+o）时，f'(x>0, 因此f(x在(-0，n2上单调递减，在(ln2,+0）上单调递增.… (2分) 所以xe(-o,ln2],3t∈(-o,ln2],当x<t时，都有f(x)>f(t), 故实数t的最大值为n2…(3分) (2)由“t型函数的定义可知，若函数f(x=3x-(ax+3)lnx+1是[0,2上的“t型函数”， 则f(x在[0,2存在递减区间0，(0<t≤2)， 故∫'(x≤0在[0,2上存在解，且[0，为'(x)≤0解集的子集， 由题可得f'(x)=3-adln(x+l）-ar+3 x+1, g(x)=3-aln(x+1)-ax+3 x+,xe[0,2], 则8(x)=-0 a(x+l-(ax+3=_ax+2a-3 x+1 (6分) (x+1 (x+1) 当a≤0时，g'(x>0,g(x为[0,2]上的增函数，则gx)>g(0)=0,不合题 意，（7分） 当a>0时，若a≥号g1到s0, 6/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则g(x)为[0,2]上的减函数，则gx<g(0)=0,合题意， …(9分） 3-2a 若0<a<),当xe0, 时，g'(x)>0, a 则g(x为0,3-2a 上的增函数，则gx>g(0)=0,不合题意，…（1分) a 故函数f)=3x-(ax+3)ln(x+1是[0,2上的型函数，则a之2’ 3 (10分) 3 故函数f(x)=3x-(ax+3nx+1不是[0,2]上的“t型函数”，则a< .(11分) 2 (3)由题意可得1≤m≤n-1,meN',n≥2，neN, 设t的值分别为41,2，…，tm,且4<3<…<tm≤n,41,2,,1m∈{2,3，，n} 若m=1,则当t-1=1,即t=2时，-1≤a,-a1<0,所以-1≤a,<0, 又an≥a,,故an之-1；（提示：m=1意味着只有1个正整数t,使得f(n)=an是“t型函数”，因此根据“t型 函数的定义可得an≥a,,若an<a,,则t的值就不会只有1个) 当t-1=i>1i∈N)时，由题意可得a-1>a,a1>a,,a-12a,(提示：t的值只有1个，因此a-之a) 所以-1≤a,-41<0, 则-1≤4，<0，又an≥4，故an之-1.(13分) 若m≥2，则a,-a1=a<0,a,-a,<0,…,a.-a.<0, 当-t-1=12≤k≤m,k∈N)时，由题意得-1≤a,-a<0, 当-4-1=j>1j∈N)时，由题意得a+-1=a4-1>a4,a>a4,且a-1之a,又-l≤a-a4-1<0,所 以-1≤a-a<0 故-1≤a-a,<0恒成立， .(15分) 所以-l≤a2-a,<0,-1≤a-a<0，…,-1≤a-an<0, 所以-(m-l刂≤a,-a,)+(a,-a,)++(a.-a<0,(累加法的应用) 所以-(m-1≤a.-a,<0, 又-1≤a,<0,所以-m≤a.<0,又0n之an,所以an≥-m…(16分) 7/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上，-m.（17分） 8/8 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（    ） A． B．-1 C．1 D．3 3．已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知角满足，则（    ） A． B．或 C． D． 5．已知等差数列的前项和为，公差不为0，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是边长为的正八边形上及其内部的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 10．如图，正方形为圆柱的轴截面，为的中点，为的中点，四面体外接球的表面积为，则（    ） A．平面 B．该圆柱的体积为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 11．已知函数满足对任意的，都有，且，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 . 13．已知函数与的图象有3个交点，则 . 14．已知11名学生在“一带一路”知识竞赛中的成绩的平均值为60，方差为30，则这11名学生成绩的中位数的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角的对边分别为，面积为，且. (1)求； (2)若是的平分线与边的交点，，，是和的等差中项，求. 16．（15分） 苹果种植户甲引进一条将苹果加工成罐头的生产线，已知该生产线每年加工720吨苹果，其中一部分是自家果园产出的苹果，剩余部分是向其他种植户购买的苹果.若未来两年甲的苹果树数量和往年一样，根据往年经验，自家果园每年苹果产量（单位：吨）及相应的概率如下表所示： 产量／吨 500 520 540 概率 0.1 0.4 0.5 (1)已知种植户乙每年至多向甲出售200吨苹果，求甲在未来两年仅从乙收购苹果即可满足生产需求的概率； (2)记未来两年甲需要向其他种植户购买吨苹果，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点，点分别在上（与端点不重合），且.将沿折起至的位置，如图2，使得. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正弦值为，求. 18．（17分） 已知双曲线（，）过点，且焦距为4. (1)求C的方程. (2)设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值. (3)若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. (1)若是“型函数”，求实数的最大值； (2)若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； (3)在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______________ ______ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 故选：D. 2．设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（    ） A． B．-1 C．1 D．3 【详解】由题意可得，所以，故其虚部为1， 故选:C． 3．已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由题意不妨设，则， 所以， 由抛物线的定义可知，，解得， 故选：D. 4．已知角满足，则（    ） A． B．或 C． D． 【详解】由，得. 由题知，所以，解得或（舍去），（点拨：时，不符合题意） 所以 故选：C. 5．已知等差数列的前项和为，公差不为0，且，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，，得  ①，   ②， 当时，，得，不合题意， 故，同理，， ①②得，即， 得，得， 代入，得. 故选：A. 6．已知是边长为的正八边形上及其内部的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】易知正八边形的每个内角为， 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值. 如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点， 可知当在线段上时，取得最大值，，此时. 当在线段上时，取得最小值，此时，此时. 故的取值范围为， 故选：A. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，由椭圆的对称性可知，， 由椭圆的定义可知， 因为，所以，即， 得（舍去）， 则，在中，， 所以在中，由余弦定理得，得， 所以的离心率. 故选：C 8．若关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】可化为， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立. 令，则的定义域为，令，得或， 易知函数，在上均单调递增，则，所以， （点拨：因为恒成立，所以与同正同负，又与的单调性一样且都有零点，所以两函数的零点相等） 则，当且仅当，时，取得最小值. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【详解】选项A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确. 选项B：当时，，所以在上不单调，B错误. 选项C：若，则或，所以的最小值为，C正确. 选项D：若，则，，所以的最小值为，D错误. 故选：AC. 10．如图，正方形为圆柱的轴截面，为的中点，为的中点，四面体外接球的表面积为，则（    ） A．平面 B．该圆柱的体积为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【详解】选项A，易知为底面圆的直径，所以， 由题意知平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面，A正确. 选项B：方法一：由球与圆柱的结构特征可知，的中点在四面体的外接球的球面上， 则为四面体外接球的直径， 设圆柱的底面半径为，正方形为圆柱的轴截面， 则，，所以， 因为四面体的外接球的表面积为，所以， 解得，所以该圆柱的体积； 方法二：根据题意可知的中点为的外心， 过点作平面的垂线，交的中点于点， 又为外接圆的圆心，故为四面体外接球的球心， 为四面体外接球的直径， 设圆柱的底面半径为，则，，所以， 因为四面体的外接球的表面积为，所以， 解得，所以该圆柱的体积，B正确. 选项C：如图，连接，由A知，平面， 易得平面， 则为直线与平面所成的角， 因为为的中点，，故， 由勾股定理得， 在中，，则， 所以直线与平面所成的角为，C错误； 选项D：设点到平面的距离为， 在直角中，由勾股定理得， 由，得， 所以， 即点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11．已知函数满足对任意的，都有，且，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．若，则 D．若，则 【详解】选项A：由， 得， 令，则，， 由，结合幂函数的性质，联想到，则，又， 所以为奇数，故可假设（为奇数）， 取，，得，所以是奇函数，所以是奇函数，故A正确. 另解：令，得，又，所以，故是奇函数； 选项B：由A知是奇函数，因为，所以，假设，令，则，与矛盾，故B错误； 选项C：由A知，若，且，则，所以，与矛盾， 所以当时，，当时，对于，令，得，故，故C正确. 选项D：由，，得，所以， 因为，所以数列是首项为8，公比为8的等比数列， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 . 【详解】的展开式的通项， ，令，则； ，令，则. 故的展开式中的系数为0. 故答案为：0. 13．已知函数与的图象有3个交点，则 . 【详解】由题意得， 因为，的定义域为，所以的图象关于点对称.易知，由于的图象为一条直线且恒过点，故的图象关于点对称 因为，所以3个交点中的一个交点为，且剩余2个交点关于点对称，则. 故答案为：3 14．已知11名学生在“一带一路”知识竞赛中的成绩的平均值为60，方差为30，则这11名学生成绩的中位数的最大值为 . 【详解】设这11名学生的成绩分别为，且，的平均值为， 方差为的平均值为，方差为， 依题意，，解得，由分层随机抽样的方差公式知 ， 于是，整理得，得， 当，时，取到65， 所以这11名学生成绩的中位数的最大值为65. 故答案为：65 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角的对边分别为，面积为，且. (1)求； (2)若是的平分线与边的交点，，，是和的等差中项，求. 【详解】（1）由题意知，....................................................................................（1分） 由正弦定理得...........................................................（3分） 因为，，，所以...........................................................（4分） （另解：由得，根据正弦定理得， 因为，，，所以） 又，所以...........................................................（6分） （2）在中，由余弦定理及（1）得， 又，所以（*）...........................................................（8分） 由题意得， 所以， 整理得...........................................................（10分） 因为是和的等差中项，所以， 所以，代入（*）得， 解得，..........................................................（12分） 故...........................................................（13分） 16．（15分） 苹果种植户甲引进一条将苹果加工成罐头的生产线，已知该生产线每年加工720吨苹果，其中一部分是自家果园产出的苹果，剩余部分是向其他种植户购买的苹果.若未来两年甲的苹果树数量和往年一样，根据往年经验，自家果园每年苹果产量（单位：吨）及相应的概率如下表所示： 产量／吨 500 520 540 概率 0.1 0.4 0.5 (1)已知种植户乙每年至多向甲出售200吨苹果，求甲在未来两年仅从乙收购苹果即可满足生产需求的概率； (2)记未来两年甲需要向其他种植户购买吨苹果，求的分布列及数学期望. 【详解】（1）由题知，未来两年甲每年仅从乙收购苹果即可满足生产需求的概率均为...........................................................（2分） 记事件为“甲在未来两年仅从乙收购苹果即可满足生产需求”， 则...........................................................（6分） （2）根据题意可知的所有可能取值为440，420，400，380，360，...........................（7分） 则； ； ； ； ...........................................................（12分） 所以的分布列为 440 420 400 380 360 0.01 0.08 0.26 0.4 0.25 故吨.....................（15分） 17．（15分） 如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点，点分别在上（与端点不重合），且.将沿折起至的位置，如图2，使得. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正弦值为，求. 【详解】（1） 如图，过作，垂足为，连接， 由题可得，所以， 因为平面，平面，所以平面，.....................................（2分） 在中，，则， 在正方形中，，所以， 因为，所以， 则，，所以. 由，得， 所以，即， 又，所以， 因为平面，平面，所以平面..........................................（4分） 因为，平面，所以平面平面， 又平面，故平面...........................................................（6分） （2） 平面，所以平面， 故以为原点，所在直线分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，故. 设，则， ，则...........................................（8分） 设平面的法向量为， 则，取，则.........（10分） 因为平面，所以是平面的一个法向量. ............................（12分） 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 又， 所以，整理得， 解得或（舍去）...........................................................（14分） 所以， 故...........................................................（15分） 18．（17分） 已知双曲线（，）过点，且焦距为4. (1)求C的方程. (2)设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值. (3)若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意可得，得，，..........................................（2分） 故C的方程为...........................................................（3分） （2）由（1）可得， 故，直线AP的斜率， 则直线AP的方程为...........................................................（5分） 设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为，.........................................（6分） 则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小， 此时的面积最小. 由，得， 令，解得， 当时，直线l与双曲线C的左支相切，符合题意；.................................................（8分） 当时，直线l与双曲线C的右支相切，不符合题意. 故直线l与直线AP之间的距离的最小值为， 所以面积的最小值为.................................................（10分） （3）由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，不妨设在左支上，在右支上， 设其方程为，，， 由，得， 其判别式， 所以，...........................................................（12分） 假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，， 因为，所以， 因为，，， 所以，.................................（14分） ，..........................................................（15分） 由题知，，， 所以， 整理得， 则， 所以，解得， 因此直线上存在点，使得DQ平分.........................................（17分） 19．（17分） 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. (1)若是“型函数”，求实数的最大值； (2)若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； (3)在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：. 【详解】（1）由题可得， 易知，令，得， 所以当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增..............................................（2分） 所以，，当时，都有， 故实数的最大值为...........................................................（3分） （2）由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”， 则在存在递减区间， 故在上存在解，且为解集的子集， 由题可得， 设，， 则...........................................................（6分） 当时，，为上的增函数，则，不合题意，..........................................................（7分） 当时，若，， 则为上的减函数，则，合题意，.........................................（9分） 若，当时，， 则为上的增函数，则，不合题意，..........................................................（1分） 故函数是上的“型函数”，则，.........................（10分） 故函数不是上的“型函数”，则.......................（11分） （3）由题意可得，，，， 设的值分别为，且，. 若，则当，即时，，所以， 又，故；（提示：意味着只有1个正整数，使得是“型函数”，因此根据“型函数”的定义可得，若，则的值就不会只有1个） 当时，由题意可得，，，（提示：的值只有1个，因此） 所以， 则，又，故...........................................................（13分） 若，则，，，， 当时，由题意得， 当时，由题意得，，且，又，所以. 故恒成立，..........................................................（15分） 所以，，，， 所以，（累加法的应用） 所以， 又，所以，又，所以.......................................（16分） 综上，...........................................................（17分） 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][Cg[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 1 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（    ） A． B．-1 C．1 D．3 3．已知为抛物线的焦点，点（异于坐标原点）在上，若点到轴的距离等于其到轴的距离，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知角满足，则（    ） A． B．或 C． D． 5．已知等差数列的前项和为，公差不为0，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是边长为的正八边形上及其内部的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 10．如图，正方形为圆柱的轴截面，为的中点，为的中点，四面体外接球的表面积为，则（    ） A．平面 B．该圆柱的体积为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 11．已知函数满足对任意的，都有，且，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 . 13．已知函数与的图象有3个交点，则 . 14．已知11名学生在“一带一路”知识竞赛中的成绩的平均值为60，方差为30，则这11名学生成绩的中位数的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角的对边分别为，面积为，且. (1)求； (2)若是的平分线与边的交点，，，是和的等差中项，求. 16．（15分） 苹果种植户甲引进一条将苹果加工成罐头的生产线，已知该生产线每年加工720吨苹果，其中一部分是自家果园产出的苹果，剩余部分是向其他种植户购买的苹果.若未来两年甲的苹果树数量和往年一样，根据往年经验，自家果园每年苹果产量（单位：吨）及相应的概率如下表所示： 产量／吨 500 520 540 概率 0.1 0.4 0.5 (1)已知种植户乙每年至多向甲出售200吨苹果，求甲在未来两年仅从乙收购苹果即可满足生产需求的概率； (2)记未来两年甲需要向其他种植户购买吨苹果，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点，点分别在上（与端点不重合），且.将沿折起至的位置，如图2，使得. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正弦值为，求. 18．（17分） 已知双曲线（，）过点，且焦距为4. (1)求C的方程. (2)设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值. (3)若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. (1)若是“型函数”，求实数的最大值； (2)若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； (3)在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $