数学一模突破卷02（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A A C C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．100 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为，所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率 用元表示一个坑的播种费用，则的可能取值是2，3， 所以， 所以的分布列为： 2 3 P 所以， 所以；（3分） 方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为，所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率； 用元表示一个坑的播种费用，则的可能取值为2，3， 所以， 所以的分布列为： 2 3 P 所以， 所以；（6分） （2）设收益为Y元， 方案一：用元表示一个坑的收益，则Y1的可能取值为0，125， 的分布列为： 0 125 P 所以， 所以；（8分） 方案二：用元表示一个坑的收益，则Y2的可能取值为0，125， 的分别列为： 0 125 P 所以， 所以，（12分） 因为方案二所需的播种费用比方案一只多了294元，但是收益比方案一多14553元，故应该选择方案二.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）在中，，，解得，，， 又为矩形，，， 平面，平面， 平面；（5分） （2）由（1）知，平面，，平面，平面，，在三角形中，，， 又，；（8分） （3）取的中点，平面，平面，平面平面 ，，平面平面，平面平面,平面内，平面，又，，， 如图建立空间直角坐标系， 易得 ，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则，得到， 令，得，，则； 设平面的法向量，则，得到，解得，令，，则， 设平面与平面所成夹角为，则，即平面与平面所成夹角的余弦值.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由椭圆的长轴长为，得，由离心率为，得椭圆的半焦距， 则，所以椭圆的方程为.（4分） （2）（i）设，则，且，而， 依题意，，直线方程为， 由消去得， 则，解得，（7分） 由，得； 直线方程为，由，得， 则，解得，由，得， 所以.（9分） （ii）由（i）得， 则线段的中点，， 令，则，， 所以的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；（5分） （2）当时，， 记，则， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，则，（7分） ①令，则， 记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需， 又时，，时，， 所以时，与只有一个交点， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为， 所以；（9分） ②由上知， 不妨设，显然， 令， 则， 所以在上单调递增，所以当时，， 即，所以， 又， 时，单调递减，所以，即，证毕.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，，，，， 则， 故.（6分） （2）由题知，1，2，由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵.（9分） （3）由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.（17分） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 3．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 6．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的体积为，高为2，点是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（    ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 10．若动直线与圆相交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．的最小值为 C．的最小值为 D．过直线上一点作圆C的切线，切线长的最小值是 11．在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（　　） A．表面积为 B．体积为 C．外接球的半径为 D．内切球的半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 13．若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 14．在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 有750粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一，将750粒种子分种在250个坑内，每坑3粒；方案二，将750粒种子分种在375个坑内，每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次，且补种的种子同第一次).假定每个坑第一次播种需要2元，补种(按相应方案补种相应粒数)1个坑需1元，每个成活的坑可收获125粒试验种子，每粒试验种子收益1元. （1）用X元表示播种费用，分别求出两种方案的数学期望； （2）如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？ 16．（15分） 如图，在四棱锥中，为矩形，且 (1)求证：平面； (2)求线段长； (3)若（与在平面的两侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且．求平面与平面所成夹角的余弦值． 17．（15分） 如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，长轴长为．    (1)求的方程； (2)过焦点的直线交于，两点，过焦点的直线交于，两点，且轴，. （i）求的值； （ii）设线段的中点为为坐标原点，求的取值范围． 18．（17分） 已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 19．（17分） 经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； (2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：时，． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______________ ______ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 3．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 6．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的体积为，高为2，点是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（    ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 10．若动直线与圆相交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．的最小值为 C．的最小值为 D．过直线上一点作圆C的切线，切线长的最小值是 11．在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（　　） A．表面积为 B．体积为 C．外接球的半径为 D．内切球的半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 13．若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 14．在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 有750粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一，将750粒种子分种在250个坑内，每坑3粒；方案二，将750粒种子分种在375个坑内，每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次，且补种的种子同第一次).假定每个坑第一次播种需要2元，补种(按相应方案补种相应粒数)1个坑需1元，每个成活的坑可收获125粒试验种子，每粒试验种子收益1元. （1）用X元表示播种费用，分别求出两种方案的数学期望； （2）如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？ 16．（15分） 如图，在四棱锥中，为矩形，且 (1)求证：平面； (2)求线段长； (3)若（与在平面的两侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且．求平面与平面所成夹角的余弦值． 17．（15分） 如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，长轴长为．    (1)求的方程； (2)过焦点的直线交于，两点，过焦点的直线交于，两点，且轴，. （i）求的值； （ii）设线段的中点为为坐标原点，求的取值范围． 18．（17分） 已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 19．（17分） 经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； (2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：时，． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得到，即，所以， 由，因为时， 所以得到，所以， 所以， 故选：D. 2．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, 故的实部为， 故选：B. 3．对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 4．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 5．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 【答案】C 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故C正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：C 6．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：C 7．已知正三棱锥的体积为，高为2，点是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正三棱锥的底面边长为，则正三角形的面积为， 因为正三棱锥，所以. 过点作平面的垂线，垂足为，则， 所以正三棱锥的体积为， 即，解得， 连接并延长交于点，则点是的中点， 所以，，连接，则， 则， 所以的面积为， 设点到平面的距离为，所以，解得， 因为点是的中点，所以点到平面的距离为， 在中，，由余弦定理得， 在中，，，由余弦定理得， 解得， 设与平面所成的角为，则.    故选：D. 8．已知，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，令，则，，， 令，，和，则a，b，c可分别视为函数， ，的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系中画出函数，，和的图像，如图， 观察图象得：当时，，当时，，当时，， 显然不可能， 所以不可能成立的是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（    ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确； 对于B，由可得， 又为互斥事件，则，又，即B错误； 对于C，若相互独立，则, 所以，即C正确； 对于D，若，所以； 可得， 所以，即D正确. 故选：ACD 10．若动直线与圆相交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．的最小值为 C．的最小值为 D．过直线上一点作圆C的切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【详解】对于A，由，可得，故直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，圆心为，半径为3， 由圆的性质可得当时，最小， 此时，故B正确； 对于C，取的中点，则， 又，则圆心到直线的距离，所以， 则的最大值为，故C错误； 对于D，设为直线上任意一点， 过点作圆的切线，则切线长为， 要使切线长取最小值，则有最小值， 即圆心到直线距离最短， 当与直线垂直时，有最小值，即， 所以切线长取最小值为，故D正确. 故选：ABD． 11．在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（　　） A．表面积为 B．体积为 C．外接球的半径为 D．内切球的半径为 【答案】BD 【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为， 两个等腰三角形的面积为， 所以四面体的表面积为，故A错误； 取的中点，由等边三角形的性质可得：， 由于平面，所以平面， 由此可得等腰三角形面积为， 所以四面体的体积为，故B正确； 设内切球半径为，根据等体积公式可得：，故D正确； 由两个等边三角形的外心分别为，可得， 过分别作两个平面平面的垂线，相交于点， 根据球心的性质可知，点为四面体的外接球球心， 由于三角形是等腰三角形，可知点在等腰三角形的底边角平分线上， 则有，即， 又因为，所以， 所以外接球半径为，故C不正确； 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即，解得. 故答案为： 13．若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 【答案】100 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 14．在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，解得， ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 有750粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一，将750粒种子分种在250个坑内，每坑3粒；方案二，将750粒种子分种在375个坑内，每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次，且补种的种子同第一次).假定每个坑第一次播种需要2元，补种(按相应方案补种相应粒数)1个坑需1元，每个成活的坑可收获125粒试验种子，每粒试验种子收益1元. （1）用X元表示播种费用，分别求出两种方案的数学期望； （2）如果在某块试验田对该种子进行试验，你认为应该选择哪种方案？ 15．（13分） 【详解】解：（1）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为，所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率 用元表示一个坑的播种费用，则的可能取值是2，3， 所以， 所以的分布列为： 2 3 P 所以， 所以； 方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为，所以一个坑内至少有一粒种子发芽的概率； 用元表示一个坑的播种费用，则的可能取值为2，3， 所以， 所以的分布列为： 2 3 P 所以， 所以； （2）设收益为Y元， 方案一：用元表示一个坑的收益，则Y1的可能取值为0，125， 的分布列为： 0 125 P 所以， 所以； 方案二：用元表示一个坑的收益，则Y2的可能取值为0，125， 的分别列为： 0 125 P 所以， 所以， 因为方案二所需的播种费用比方案一只多了294元，但是收益比方案一多14553元，故应该选择方案二. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，为矩形，且 (1)求证：平面； (2)求线段长； (3)若（与在平面的两侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且．求平面与平面所成夹角的余弦值． 16．（15分） 【解析】（1）在中，，，解得，，， 又为矩形，，， 平面，平面， 平面； （2）由（1）知，平面，，平面，平面，，在三角形中，，， 又，； （3）取的中点，平面，平面，平面平面 ，，平面平面，平面平面,平面内，平面，又，，， 如图建立空间直角坐标系， 易得 ，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则，得到， 令，得，，则； 设平面的法向量，则，得到，解得，令，，则， 设平面与平面所成夹角为，则，即平面与平面所成夹角的余弦值. 17．（15分） 如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，长轴长为．    (1)求的方程； (2)过焦点的直线交于，两点，过焦点的直线交于，两点，且轴，. （i）求的值； （ii）设线段的中点为为坐标原点，求的取值范围． 17．（15分） （1）由椭圆的长轴长为，得，由离心率为，得椭圆的半焦距， 则，所以椭圆的方程为. （2）（i）设，则，且，而， 依题意，，直线方程为， 由消去得， 则，解得，由，得； 直线方程为，由，得， 则，解得，由，得， 所以. （ii）由（i）得， 则线段的中点，， 令，则，， 所以的取值范围是. 18．（17分） 已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 18．（17分） 【解析】（1）由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； （2）当时，， 记，则， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，则， ①令，则， 记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需， 又时，，时，， 所以时，与只有一个交点， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为， 所以； ②由上知， 不妨设，显然， 令， 则， 所以在上单调递增，所以当时，， 即，所以， 又， 时，单调递减，所以，即，证毕. 19．（17分） 经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； (2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.参考公式：时，． 19．（17分） 【解析】（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，，，，， 则， 故. （2）由题知，1，2，由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵. （3）由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][Cg[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 1 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B F M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）