精品解析：上海市闵行区2025-2026学年高三上学期学业质量调研数学试卷

闵行区2026届高三一模数学试卷 2025.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，集合，则. 故答案为：. 2. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为二次不等式，即可得解. 【详解】不等式等价于， 的解集为. 故答案为：. 3. 若复数的实部为1，虚部为正数，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的相关概念，以及复数的模长公式，建立方程，可得答案. 【详解】由复数的实部为1，虚部为正数，设，其中， 由，则，解得，所以. 故答案为： 4. 的展开式中，项的系数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数． 【详解】的展开式的通项公式为，令，求得， 可得展开式中项的系数为. 故答案为：10. 5. 某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，即可求解. 【详解】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是人. 故答案为：. 6. 过点的直线被圆截得的最短弦长为________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆的圆心与半径，计算点到圆心的距离，利用“直线与圆心和点的连线垂直时弦长最短”的结论，结合弦长公式计算最短弦长. 【详解】圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离为. 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大（等于），此时弦长最短. 最短弦长为. 故答案为：. 7. 若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则其侧面展开图的扇形的圆心角弧度数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设圆锥的母线长为，求得底面圆的半径，求得底面圆的周长为，结合弧长公式列出方程，即可求解. 【详解】由题意，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，可设圆锥的母线长为， 则圆锥的底面圆的直径为，即， 所以底面圆的周长为， 设侧面展开图的扇形的圆心角弧度数为，可得，解得. 即侧面展开图的扇形的圆心角弧度数是. 故答案为：. 8. 已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用韦达定理可得，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知 ， 所以， 因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意）， 所以  与  同号，故 ,又因为 ， 综上可得 . 故答案为：. 9. 若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】以的外心O为原点建系，设，根据坐标运算即可求出. 【详解】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 故答案为： 10. 某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 【答案】 【解析】 【分析】将甲、乙相邻的排列种数减去甲、乙相邻且甲站在两端的排列种数，即可得到答案. 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 11. 草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息确定照射面积最大时情况，再利用正弦定理、三角形面积公式列式，利用基本不等式求出最大值. 【详解】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过AB、AC边，如图， 在正中，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， 当且仅当，即，亦即时取等号， 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为. 故答案为： 12. 已知集合，；如果存在，对于属于且不属于任意（）的所有元素，都有成立，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题目得到，构造函数利用导数分析单调性，求出，从而得到 【详解】因为所以， ，设则， 令 ， 所以在单调递增， 在单调递减； ， 故 故答案为： 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程求出准线方程. 【详解】解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，， 抛物线的准线方程为． 故选：B． 14. 已知非零实数、，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】取判断充分性，取判断必要性. 【详解】取，满足，但不成立，充分性不成立； 取，满足，但不成立，必要性不成立. 由题意可知：“”是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 15. 从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（ ） A. 6 B. 990 C. 999 D. 1000 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到的通项公式，即可求解. 【详解】由题知：， 则，， 所以的最后一项是990， 故选：B. 16. 如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（    ） A. ：对任意都有 B. ：对任意都有 C. ：对任意都有 D. ：对任意都有 【答案】C 【解析】 【分析】由为偶函数，得，结合“－关系”的定义可得出答案． 【详解】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而由对任意恒成立，将替换为，得对任意恒成立， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：当时，，，此时不成立，只有非负的情况下才会成立，即“”为假命题， 而由：，用替换得，又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题， 故D错误； 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形， 为AC中点． （1）求证： （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）证明：因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 因为平面，所以平面POB， 因平面，所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出平面POB，再根据线面垂直的性质定理求证； （2）取边中点H，求证为二面角的平面角，在中计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取边中点H， 因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 设，则， 因，则，所以， 所以，则为二面角的平面角， 因平面，则平面， 因平面，则， 又，则，则， 所以二面角的大小为. 【点睛】 18. 已知函数，（，，），其部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【答案】（1） （2）等边三角形 【解析】 【分析】（1）由图可知，，，将数值代入函数解析式即可求得相关参数； （2）根据求得，再利用正弦定理将化为，进一步化简得到，从而求出，即可求出答案. 【小问1详解】 由图知：， ，因为，所以， ，所以，解得， 由得，所以， 所以. 【小问2详解】 因为且，所以， 因为成等差数列，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 将代入得， 展开得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以为等边三角形. 19. 小闵同学某一天进行了10次100米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午集训6次的成绩（单位：s）：、、、、、. （1）求这6次成绩的中位数； （2）参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率； （3）若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s，方差是0.75，求他这一天10次训练成绩的平均值和方差. 【答案】（1）； （2）； （3）均值，方差. 【解析】 【分析】（1）将数据由小到大排列，然后由中位数定义求解可得； （2）根据上午的成绩，由频率估计概率的方法求出用时小于13s的概率，然后由相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解可得； （3）利用分层平均数和分层方差公式求解即可. 【小问1详解】 将这6次成绩从小到大排列为: 12.9、13.3、13.7、13.9、14.9、15.3， 这6次成绩的中位数为：； 【小问2详解】 用时小于13s的概率为：，所以该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率为： ； 【小问3详解】 上午六次的成绩平均数为： ， 上午六次的方差为： ， 设下午四次成绩平均数为 ，下午四次的方差为 ， 总的平均数为： ， 总的方差为： 20. 已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． （1）求的两条渐近线的夹角； （2）若为的右焦点，求的面积的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）2 （3）. 【解析】 【分析】（1）求得渐近线方程，得到倾斜角即可求解； （2）设直线方程为：，联立渐近线方程求得坐标，结合直角三角形面积公式即可求解； （3）由，得到，即，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； 【小问2详解】 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； 【小问3详解】 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 因为， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. 21. 已知函数的定义域为，对于，若，且 ，则称为的一个“点”，记为的所有“点”构成的集合． （1）若，分别判断与1是否正确； （2）证明：“”的一个充要条件为“当时，”； （3）已知，，其中、，记，．若，求的取值范围． 【答案】（1）0，正确；不正确； （2）充分性：因为， 故当时，，当时，，所以； 必要性：当时， 由得； 由 得； 所以时，恒成立； 综上，命题得证； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，当时，，根据“点”的定义即可判断； （2）分别从充分性和必要性讨论，的情况即可得证； （3）分类讨论，下的不存在“点”，得出，再分类讨论，，，下的的“点”的情况，得出，求出，从而求出，即可求出 ，从而求出 的取值范围． 【小问1详解】 由题意可知，当时，， 当时， ， 当时，，所以，正确； 由，故，即1不正确； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， ， ；， ， 此时不存在点； 当时，，；，， 此时不存在“点”；所以； 所以，， ①当时， ，不存在“点”； ②当时， ，不存在“点”； ③当时，，， 此时， 故， ⅰ．当 时，，此时在R上单调递增，故与矛盾； ⅱ．当时，由0得， 由得 所以在，上单调递增，在上单调递减； 此时 所以或，解得； ⅲ．当时，由0得， 由，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 此时， 所以或，解得， 所以； 综上， 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行区2026届高三一模数学试卷 2025.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，则________ 2. 不等式的解集为________ 3. 若复数的实部为1，虚部为正数，且，则________ 4. 的展开式中，项的系数为______． 5. 某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是________ 6. 过点的直线被圆截得的最短弦长为________ 7. 若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则其侧面展开图的扇形的圆心角弧度数是__________. 8. 已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ 9. 若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 10. 某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 11. 草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为________ 12. 已知集合，；如果存在，对于属于且不属于任意（）的所有元素，都有成立，则的取值范围是________ 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知非零实数、，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（ ） A. 6 B. 990 C. 999 D. 1000 16. 如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（    ） A. ：对任意都有 B. ：对任意都有 C. ：对任意都有 D. ：对任意都有 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形， 为AC中点． （1）求证： （2）若，求二面角的大小． 18. 已知函数，（，，），其部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 19. 小闵同学某一天进行了10次100米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午集训6次的成绩（单位：s）：、、、、、. （1）求这6次成绩的中位数； （2）参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率； （3）若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s，方差是0.75，求他这一天10次训练成绩的平均值和方差. 20. 已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． （1）求的两条渐近线的夹角； （2）若为的右焦点，求的面积的最小值； （3）若，求的取值范围． 21. 已知函数的定义域为，对于，若，且 ，则称为的一个“点”，记为的所有“点”构成的集合． （1）若，分别判断与1是否正确； （2）证明：“”的一个充要条件为“当时，”； （3）已知，，其中、，记，．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $