精品解析：西藏拉萨市2026届高三上学期第一次联考数学试题

拉萨市2026届高三第一次联考 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】依题意，，，故. 故选：A. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由前项和以及等差中项的性质可知，进而求公差即可. 【详解】记等差数列的公差为，依题意，，故，则. 故选：B. 3. 若直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】由题意知， 又， 解得， 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，结合中间值法比较大小即可． 【详解】因为函数在上均为增函数，函数在上为减函数， 所以，，， 所以． 故选：D 5. “关于的方程的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义来确定答案. 【详解】充分性：当且时，方程的解集为，但此时，不满足，故充分性不成立；  必要性：当时，二次函数恒正，方程无解，因此的解集为，故必要性成立；  故选：B. 6. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为，高为，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作400片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由柱体体积公式，先计算单块瓦片的粘土体积，再推导400片瓦片的总粘土体积. 【详解】圆桶底面外圆半径cm，粘土层厚度为3 cm，包上粘土后形成的外圆柱半径  cm， 粘土层是一个空心圆柱壳，其底面积为 cm2， 则体积 cm3， 由于一个空心圆柱壳分成4片瓦，则400片需要100个空心圆柱壳， cm3 dm3. 故选：B. 7. 记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，则，再解方程即可． 【详解】易知， 则，即， 由，可知，于是． 故选：C． 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.令部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最小正周期为，则不可能是的零点的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的最小正周期求出，结合函数零点求出的范围，逐项验证即可. 【详解】由题意可知，，所以，因此. 令，则，即（）， 解得（）. A选项：令，解得（），故A选项为零点； B选项：令，解得（），故B选项不可能为零点； C选项：令，解得（），故C选项不可能为零点； D选项：令，解得（），故D选项不可能为零点； 故选：BCD. 10. 已知向量，，，则（ ） A. ， B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标运算判断C；利用向量线性坐标运算及模的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，向量，，则，即，，可知A正确； 对于B，， ，若，可得，即，所以时，，因此B正确； 对于C， ，，则，得， 平方化简得，此时，显然矛盾，所以不存在，使得，因此C错误； 对于D，若向量，，，则，可得； 当时，，平方化简得，因，所以方程有解， 即，使得，因此D正确. 故选：ABD 11. 把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（ ） A. 满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B. 满足，且的排法种数为20 C. 满足的排法种数为48 D. 满足的排法种数为360 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列组合逐选项分析求解即可. 【详解】A选项，6个数中分别选3个构成等差数列，有以下2种组合： 与，与， 对每组的两个等差数列，每个等差数列自身有2种排列方式，奇偶项也可交换， 则共有种，故A错误； B选项，任取三个数作为，则满足的排列只有1种， 而余下三个数作为，满足的排列也只有1种， 则满足，且的排法种数为种，故B正确； C选项，由于任取两数之差均不小于2，若满足， 则只能是，对于， 先全排列，再内部各自排列，共有种，C选项正确； D选项，类似B选项，先任取两个数作为，则满足的排列只有1种， 再任取两个数作为，满足的排列只有1种，最后两个数作为， 满足的排列只有1种，共有种，故D选项错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知2024年10月-2025年5月中国社会消费品零售总额同比增长速度（单位：%）依次为3.2，4.8，3.0，3.7，4.0，5.9，5.1，6.4，则这8个数据的中位数是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中位数的定义直接计算得解. 【详解】给定数据由小到大排列为：3.0，3.2，3.7，4.0，4.8，5.1，5.9，6.4， 所以这8个数据的中位数是. 故答案为： 13. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第_____象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 【答案】一 【解析】 【分析】先设，再根据复数相等列方程，解得，最后根据复数几何意义得到答案. 【详解】设，故，则 解得，，故在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限. 故答案为：一. 14. 若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，再设，计算可得、，再结合的范围计算即可得. 【详解】对于双曲线，有，，， 所以，设，则， 所以， ， 故，因为，所以， 所以，即的最小值为. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导得到切线斜率，从而得到切线方程； （2）由在区间上单调递增得，分离参数得，利用基本不等式求得，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以，所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 令，即，， 恒成立，所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以，即， 所以，即实数的取值范围为. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）证明：为等腰三角形； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）将利用正弦定理进行边化角，进行整理得到，利用两角和的正弦公式的逆用得到，利用三角形内角和，诱导公式和二倍角的正弦公式得到，结合三角形的内角的范围和正弦函数的图像及得到，利用三角形内角和得到，从而得到证明结论. （2）由和得到，利用余弦定理求出，由求出，利用三角形面积公式得解. 【小问1详解】 ，，， ， ，， ，，或， ，，，， ，为等腰三角形； 【小问2详解】 ，，，，， ，， ，，， 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， （1）求样本的相关系数；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【小问1详解】 ，， 故样本相关系数 . 【小问2详解】 X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 18. 如图，已知直三棱柱的体积为16，侧面是边长为4的正方形，点为棱的中点，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理进行证明； （2）利用向量法求面面夹角. 【小问1详解】 设与相交于点，连接，如图： 因为是正方形，所以， 又点为棱的中点，所以， 所以，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为直三棱柱的体积为16，侧面是边长为4的正方形， 所以， 设边上的高为，则，所以， 因为，所以， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的法向量为，平面的法向量为 则，， 令，则，令，则， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点. （1）若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求； （2）求的方程； （3）记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出过且垂直于轴的直线，此直线与抛物线联立方程组求出的值，即可得到的值，根据题中条件求出，从而得到的值； （2）设，，易知，的斜率存在且不为0.设的方程为，则的中垂线斜率为.联立 ，消去，得到关于的一元二次方程，由判别式大于0，得到的范围，根据根与系数的关系得到和，求出，从而得到的中点坐标，利用点斜式得到的中垂线方程，将代入直线计算得到的值，利用弦长公式求出，利用已知条件得到，从而得到的方程. （3）写出，，的坐标，，得到的外接圆圆心为的中点，从而得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出半径和圆心到的距离，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 联立，得，，故， 而，故. 【小问2详解】 设，，易知，的斜率存在且不为0. 设的方程为，则的中垂线斜率为. 联立，可得， 故，即， 且，，则， 故的中点为， 的中垂线方程为， 代入可得，即， 故， 可得，故的方程为. 【小问3详解】 依题意，，又，则， 故的外接圆圆心为的中点，即， 其半径， 而圆心到的距离. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 拉萨市2026届高三第一次联考 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. -2 3. 若直线与直线之间距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. “关于的方程的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为，高为，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作400片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.令部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最小正周期为，则不可能是的零点的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，，则（ ） A. ， B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 11. 把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（ ） A. 满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B. 满足，且的排法种数为20 C. 满足的排法种数为48 D. 满足的排法种数为360 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知2024年10月-2025年5月中国社会消费品零售总额同比增长速度（单位：%）依次为3.2，4.8，3.0，3.7，4.0，5.9，5.1，6.4，则这8个数据的中位数是_____ 13. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第_____象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 14. 若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）证明：为等腰三角形； （2）若，，求的面积. 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 138 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， （1）求样本的相关系数；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数， 18. 如图，已知直三棱柱的体积为16，侧面是边长为4的正方形，点为棱的中点，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点. （1）若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求； （2）求的方程； （3）记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $