精品解析：甘肃省兰州市第五十八中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

兰州五十八中2025-2026学年12月月考试题 高一数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数式求函数值即可. 【详解】由. 故选：B. 2. 给定下列函数，其中在区间上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式逐项判断即可. 【详解】A. 为二次函数,对称轴是,开口向下,所以在区间上单调递减； B. 当时,,对称轴是,开口向下,所以在区间上单调递增； C. 在区间上单调递减； D.由对勾函数的单调性可知在区间上单调递减. 故选：B. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间. 【详解】对于函数有意义，可得，即，解得. 设，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为. 故选：D. 4. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按分类讨论，利用奇函数的性质以及指对运算法则解方程即可. 【详解】若，则 ，但 ，故 ； 若，则， 解得：， 但，与假设矛盾，故不成立； 若，则利用奇函数性质：， 由于，有，故， 因此：， 解得：. 综上：. 故选：A 5. 已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性得到，根据指数和对数函数单调性，可确定自变量的大小关系；根据函数单调性得到函数值的大小关系，即，，的大小关系. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为函数是增函数，所以； 因为函数是增函数，所以. 所以. 因为函数是定义在上的增函数，所以，即. 故选：D. 6. 已知，，则函数的最大值为（ ） A. 6 B. -3 C. 22 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数的定义域为确定函数的定义域，再通过换元法令将原函数转化为关于新变量t的二次函数，最后根据二次函数在闭区间上求出最大值. 【详解】 因为，的定义域为； 所以中，解得； 所以，的定义域是 令，，则，所以， 在上单调递增，当时，即时，取得最大值为. 故选：D 7. 已知，则（　　） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由，知；由，知，代入可求结果；或由，得，所以，代入可求得结果. 【详解】由，知； 由，知. 所以. 方法二：由，知，所以. 所以. 故选：A. 8. 若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（ ） A. 在上单调递增 B. C. 当时，的解集为 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合函数的奇偶性可得，再由给定区间上的解析式逐项判断即可. 【详解】由是定义在上的奇函数，得，， 由是偶函数，得，即， 对于A，当时，，则， 函数在上单调递减，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，即都是不等式的解，C错误； 对于D，当时，，因此，D正确. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数是定义在R上减函数，则a的取值可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据减函数的性质，结合分段函数单调性的性质、指数函数的单调性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的减函数， 所以， 因为，所以选项A不符合题意；显然选项B符合题意； 因为，所以选项，因此C符合题意； 因为，所以，因此选项D符合题意， 故选：BCD 10. 以下比较大小的结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可判断A和B；根据，可判断C；计算两个数的12次方即可判断D. 【详解】对于A，因为指数函数在上单调递增，且，所以，故A正确； 对于B，因为指数函数在上单调递减，且，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数图象关于原点成中心对称 B. 当时，函数在上单调递增 C. 当时，函数有最大值，且最大值为 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合复合函数单调性可判断各选项. 【详解】由已知， 则， 即函数为偶函数，关于轴对称，A选项错误； 当时，， 设，，则在上单调递减，在上单调递增， 则； 又，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 又函数为偶函数， 当时，函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增； 即B选项正确； 当时，函数在或处取得最大值，C选项正确； 由恒成立可知，且，解得，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由具体函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为：， 解得：. 故答案为：. 13. 若函数的值域是，则实数取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出当时，函数值的范围，然后根据已知条件列出不等式，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，， 要使得函数的值域为， 只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. （1）___________； （2）___________； 【答案】 ①. ②. -1 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简求值即可. （2）利用对数的运算性质化简求值即可. 【详解】（1） . （2） . 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式，并画出函数的图象． （2）根据函数图象写出函数的单调区间和当函数的值域． 【答案】（1）；作图见解析， （2）函数的单调递增区间为，无单调递减区间；， 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求得解析式，结合函数解析式及二次函数图象作法作出图象. （2）根据函数图象结合单调区间的定义确定函数的单调区间，再结合图象求当函数的值域； 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，故， 当时，，， 又当时，， 所以， 所以当时，， 所以， 当时，，函数在上单调递增， 且，， 因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称， 作函数图象如下， 【小问2详解】 由图象可知函数在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 所以当时，，又，， 所以函数的值域为， 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义结合函数单调性计算即可得； （2）结合二次函数性质，分、、、及讨论即可得. 【小问1详解】 由幂函数定义可得， 即，则或， 当时，在上单调递减，不符，故舍去； 当时，在上单调递增，符合题意； 故； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 当时，有，解得； 当时，令，解得或， 若，有，则，则原不等式解集为； 若，当，即时，有，解集为； 当，即时，原不等式解集为； 当，即时，原不等式解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集； 当时，解集为. 17. 已知函数，且. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数定义域解不等式组即可求出函数的定义域； （2）根据对数函数的单调性与二次函数的性质即可求出时函数在上的最大值. 【小问1详解】 依题意有解得， 故函数的定义域为. 【小问2详解】 当时，，其中， 令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故函数在上的最大值为. 18. 已知函数． （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）若，求时，的值域． 【答案】（1）为偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数奇偶性的定义即可证明； （2）结合指数函数及反比例函数单调性判断单调性，即可得函数值域． 【小问1详解】 当时，则， 所以，函数的定义域为， 则， 所以为偶函数； 【小问2详解】 ， 当时，因为函数为增函数，则函数在为减函数， 又时，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为. 19. 已知定义在上的函数满足，当时，． （1）求，并证明是奇函数 （2）存在，使得成立，求的取值范围． （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可求得，，可得结论. （2）由题意，进而利用单调性的定义可证在上单调递增，进而可得，参变分离，进而结合求解即可. （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再分类讨论求得使成立的实数的取值范围即可. 【小问1详解】 令，得， 所以，解得， 令，得， 所以，所以， 即，所以， 所以，所以是奇函数； 【小问2详解】 令，则由， 可得， ，且， 所以， 又因为，，所以，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，所以， 所以， 令， 因为，所以，所以，所以， 所以，所的取值范围． 【小问3详解】 若对任意的，存在，使得， 则， 又时，在上单调递增，所以，所以， 又的对称轴为， 当时，在上单调递增，， 解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，， 解得，所以； 综上可知，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州五十八中2025-2026学年12月月考试题 高一数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的） 1 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 10 2. 给定下列函数，其中在区间上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则函数的最大值为（ ） A. 6 B. -3 C. 22 D. 13 7. 已知，则（　　） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 8. 若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（ ） A. 在上单调递增 B. C. 当时，的解集为 D 当时， 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （ ） A. B. C. D. 10. 以下比较大小的结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数图象关于原点成中心对称 B. 当时，函数在上单调递增 C. 当时，函数有最大值，且最大值为 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为___________． 13. 若函数的值域是，则实数取值范围为__________. 14. （1）___________； （2）___________； 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时， （1）求解析式，并画出函数的图象． （2）根据函数图象写出函数单调区间和当函数的值域． 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 17. 已知函数，且. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上最大值. 18. 已知函数． （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）若，求时，的值域． 19. 已知定义在上的函数满足，当时，． （1）求，并证明是奇函数 （2）存在，使得成立，求的取值范围． （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $