2026年高考数学二轮信息必刷卷04（天津卷）2026年高考数学二轮复习讲练测

2026年高考二轮信息必刷卷04 数 学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C C C C D B B B D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 2 11．672 12． 13． 14． 0 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分） 【解析】（1）由正弦定理得， 可得， 得到，即， 显然，则， 又，可得.（5分） （2）， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， .（9分） （3）由正弦定理得，则， ，即，则，故为锐角， ， ，， .（14分） 17．（15分） 【解析】（1）因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，， 又，，且，AB、平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，且、平面， 所以平面，且平面， 所以．（5分） （2）设，由及勾股定理得， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    得，，，，，， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 设平面与平面BCE的夹角为， 则二面角余弦值．（12分） （3）平面的法向量为，， 所以点到平面BCE的距离为.（15分） 18．（15分） 【解析】（1）依题意可得，所以，则， 所以椭圆的方程为，离心率；（4分） （2）如图所示： 由题可知，直线的斜率存在且为负数，设直线：. 则有，，所以直线的方程为，（6分） 将与椭圆方程联立，消去并整理得，，由题意直线与椭圆相切于点，则，即，所以 ，， 即点的坐标为，（9分） 所以直线的方程为，将其与直线的方程联立，解得，，即点的坐标为，由题意得，整理得.又，且，解得，，即满足题意的直线的方程为.（15分） 19．（15分） 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由，（3分） 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，.（5分） （2）由（1）得，，所以，（7分） 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得.（10分） （3）由，，得， 所以，（12分） 设， 则 设， 则 所以．（15分） 20．（16分） 【解析】（1）（ⅰ）当时，， 则切线斜率，又因为， 所以切线方程为，即（5分） （ⅱ）当时，所以 令，， ， 所以在单调递增，在单调递减 ，时且 所以，（9分） （2）设，由得， 则，∵，∴， 即，， 又，，（12分） 设，则，令（）， 则，且， 由题意可知，函数在区间上有零点， ，函数在上有一个实根， 所以，，解得. 当，，单调递增，， 当，，单调递减，，，（15分） 由零点存在定理得存在，使得. 综上，实数的取值范围为（16分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷04 数 学 考情速递 高考·新动向：试卷结构稳定，设问方式创新 ：2025年试卷延续“9道选择题+6道填空题+5道解答题”的固定结构与分值分布，传统小题有转为大题的趋势，像以往常作为填空压轴的函数零点题，2026年大概率变为解答题，还会和导数结合考查。 高考·新考法：1. 多选题策略化：选项设计更灵活，注重概念辨析与多维度思考，训练“宁缺毋滥”的漏选策略，避免错选全失。2. 新定义/信息迁移题常态化：以即时学习与知识迁移为目标，可能涉及新运算、新图形、新概念，考查快速理解与应用能力。3. 跨模块深度融合：函数与导数+数列、解析几何+平面向量、概率统计+递推/不等式等复合题型增多，告别“单章突击”时代。4. 解答题逻辑链评分：步骤分细化，强调“因为—所以”完整推理，逻辑链缺失直接扣分，规范书写成为提分关键。5. 压轴题多元综合：函数零点与导数结合、解析几何与立体几何交汇、概率统计与数学建模融合，突出思维深度与计算复杂度。 高考·新情境：1. 现实生活情景：物流优化、成本控制、体育赛事（如跑步、球类比分）、环境治理（碳中和）等，要求将“最省钱/省时”转化为“求最值”，建立函数或数列模型求解。2. 跨学科融合情景：与物理（运动轨迹、激光测速）、信息技术（大模型训练时间、算法效率）、生物（医疗诊断列联表）等结合，考查跨领域建模能力。3. 数学文化情景：融入古代数学问题（如割圆术、杨辉三角）、现代数学进展（如大数据分析、人工智能），体现数学的文化价值与应用价值。4. 开放探究情景：增设“补充条件使结论成立”“多结论判断”等开放性问题，考查创新思维与批判性思考。。 命题·大预测：函数与导数（15-22分）：导数应用题强化建模，含生活优化问题；压轴题结合零点、不等式与参数讨论，注重逻辑链完整。解析几何（15-20分）：椭圆、抛物线与向量、斜率、角平分线融合，强调几何直观与代数运算结合。 立体几何（15-20分）：球的切接问题、空间向量与动态几何结合，考查空间想象与运算能力。 概率统计（15-20分）：列联表、二项分布与递推/不等式复合，结合实际数据（如医疗、教育）进行分析与决策。 三角函数与数列（各15-22分）：三角函数侧重解三角形与实际测量；数列与函数、不等式结合，考查通项与求和的综合应用。备考重点：夯实基础，突破高频模块；加强多选题与新定义题训练；限时模拟全国卷真题，提升答题速度与心态；注重步骤规范与逻辑表达。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法错误的是（    ） A．数据的第75百分位数为11 B．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断与不独立 D．用简单随机抽样的方法从10个个体中抽取3个个体，则每个个体被抽到的概率都是 6．在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 9．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则 ． 11．二项式的展开式中，含项的系数为 . 12．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 13．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则 ．    14．如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为 ；当点为圆弧上的动点时，的最小值为 ． 15．若任意的，恒成立，则的最大值等于 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求． 17．（15分）如图所示，直三棱柱，，．      (1)求证：； (2)若E为中点，求平面与平面BCE夹角的余弦值； (3)求点到平面BCE的距离． 18．（15分）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程. 19．（15分）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 20．（16分）已知函数（）. (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷04 数 学 考情速递 高考·新动向：试卷结构稳定，设问方式创新 ：2025年试卷延续“9道选择题+6道填空题+5道解答题”的固定结构与分值分布，传统小题有转为大题的趋势，像以往常作为填空压轴的函数零点题，2026年大概率变为解答题，还会和导数结合考查。 高考·新考法：1. 多选题策略化：选项设计更灵活，注重概念辨析与多维度思考，训练“宁缺毋滥”的漏选策略，避免错选全失。2. 新定义/信息迁移题常态化：以即时学习与知识迁移为目标，可能涉及新运算、新图形、新概念，考查快速理解与应用能力。3. 跨模块深度融合：函数与导数+数列、解析几何+平面向量、概率统计+递推/不等式等复合题型增多，告别“单章突击”时代。4. 解答题逻辑链评分：步骤分细化，强调“因为—所以”完整推理，逻辑链缺失直接扣分，规范书写成为提分关键。5. 压轴题多元综合：函数零点与导数结合、解析几何与立体几何交汇、概率统计与数学建模融合，突出思维深度与计算复杂度。 高考·新情境：1. 现实生活情景：物流优化、成本控制、体育赛事（如跑步、球类比分）、环境治理（碳中和）等，要求将“最省钱/省时”转化为“求最值”，建立函数或数列模型求解。2. 跨学科融合情景：与物理（运动轨迹、激光测速）、信息技术（大模型训练时间、算法效率）、生物（医疗诊断列联表）等结合，考查跨领域建模能力。3. 数学文化情景：融入古代数学问题（如割圆术、杨辉三角）、现代数学进展（如大数据分析、人工智能），体现数学的文化价值与应用价值。4. 开放探究情景：增设“补充条件使结论成立”“多结论判断”等开放性问题，考查创新思维与批判性思考。。 命题·大预测：函数与导数（15-22分）：导数应用题强化建模，含生活优化问题；压轴题结合零点、不等式与参数讨论，注重逻辑链完整。解析几何（15-20分）：椭圆、抛物线与向量、斜率、角平分线融合，强调几何直观与代数运算结合。 立体几何（15-20分）：球的切接问题、空间向量与动态几何结合，考查空间想象与运算能力。 概率统计（15-20分）：列联表、二项分布与递推/不等式复合，结合实际数据（如医疗、教育）进行分析与决策。 三角函数与数列（各15-22分）：三角函数侧重解三角形与实际测量；数列与函数、不等式结合，考查通项与求和的综合应用。备考重点：夯实基础，突破高频模块；加强多选题与新定义题训练；限时模拟全国卷真题，提升答题速度与心态；注重步骤规范与逻辑表达。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得. 综上，，即的取值范围是. 故选：C. 2．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，由，得平面中存在直线与直线n平行，所以，有可能平行，所以①错误； 对于②，由平面平行的性质可判断②正确； 对于③，若，，则，因为，所以，所以③正确； 对于④，若，，所以，又，所以，所以④错误； 对于⑤，若，，则，又，所以，所以⑤正确. 故正确的个数是3. 故选：C. 5．下列说法错误的是（    ） A．数据的第75百分位数为11 B．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断与不独立 D．用简单随机抽样的方法从10个个体中抽取3个个体，则每个个体被抽到的概率都是 【答案】D 【详解】A：由，得第75百分位数为第5个数，即11，故A正确． B：根据标准差定义，一组数据的标准差 时，显然有，故B正确． 由，结合独立性检验的基本思想，在显著性水平下可判断与不独立，C正确． D：用简单随机抽样的方法从10个个体中抽取3个个体，则每个个体被抽到的概率都是，故D错误． 故选：D. 6．在等差数列中，公差是与的等比中项．已知数列成等比数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，即，解得，故． 新数列，记为，则为等比数列， 所以公比， 所以， 又因为， 所以． 故选：B 7．已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 8．已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】因为， 设函数的最小正周期为，由可得， 所以，解得； 当时，， 因为在区间内至少存在两个零点， 所以，即； 所以当时取最小值，综上，的最小值为. 故选：B. 9．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则 ． 【答案】2 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 故答案为：2. 11．二项式的展开式中，含项的系数为 . 【答案】672 【详解】因为， 则的展开式的通项公式为， 令，解得， 故项的系数为. 故答案为：672. 12．如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 13．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则 ．    【答案】 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 14．如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为 ；当点为圆弧上的动点时，的最小值为 ． 【答案】 0 【详解】如图，以中点为坐标原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以，，，， 当为圆弧的中点时，， 此时，， 则，， 所以在上的投影向量的模长为； 当点为圆弧上的动点时，设，，， 所以满足，则，所以， 所以，， 则， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为：；. 15．若任意的，恒成立，则的最大值等于 ． 【答案】 【详解】设，此时．则转化为在恒成立， 设， (1)当时，此时，则， 解得，所以当时，取最大值0； (2)当时，此时或， 化简得或， 设，即， 对于，其可行域如图1，联立，解得， 则当经过时截距最大，取最大值； 此时， 对于，其可行域如图2，当经过时截距最大， 此时直线与椭圆相切， 设，， 则．解得．从而，此时值最大为． 综上可得最大值为 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由正弦定理得， 可得， 得到，即， 显然，则， 又，可得.（5分） （2）， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， .（9分） （3）由正弦定理得，则， ，即，则，故为锐角， ， ，， .（14分） 17．（15分）如图所示，直三棱柱，，．      (1)求证：； (2)若E为中点，求平面与平面BCE夹角的余弦值； (3)求点到平面BCE的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，， 又，，且，AB、平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，且、平面， 所以平面，且平面， 所以．（5分） （2）设，由及勾股定理得， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    得，，，，，， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 设平面的法向量，而，， 所以可得，令，得， 设平面与平面BCE的夹角为， 则二面角余弦值．（12分） （3）平面的法向量为，， 所以点到平面BCE的距离为.（15分） 18．（15分）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题意可得，所以，则， 所以椭圆的方程为，离心率；（4分） （2）如图所示： 由题可知，直线的斜率存在且为负数，设直线：. 则有，，所以直线的方程为，（6分） 将与椭圆方程联立，消去并整理得，，由题意直线与椭圆相切于点，则，即，所以 ，， 即点的坐标为，（9分） 所以直线的方程为，将其与直线的方程联立，解得，，即点的坐标为，由题意得，整理得.又，且，解得，，即满足题意的直线的方程为.（15分） 19．（15分）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由，（3分） 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，.（5分） （2）由（1）得，，所以，（7分） 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得.（10分） （3）由，，得， 所以，（12分） 设， 则 设， 则 所以．（15分） 20．（16分）已知函数（）. (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若存在两个不等正实数，，使且，求实数的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）(2) 【详解】（1）（ⅰ）当时，， 则切线斜率，又因为， 所以切线方程为，即（5分） （ⅱ）当时，所以 令，， ， 所以在单调递增，在单调递减 ，时且 所以，（9分） （2）设，由得， 则，∵，∴， 即，， 又，，（12分） 设，则，令（）， 则，且， 由题意可知，函数在区间上有零点， ，函数在上有一个实根， 所以，，解得. 当，，单调递增，， 当，，单调递减，，，（15分） 由零点存在定理得存在，使得. 综上，实数的取值范围为（16分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $