模块三 平面向量（综合训练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块三 平面向量 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 3．如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 6．若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 7．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 . 11．若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ． 12．如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则 ；若点F为线段上的动点，则的取值范围为 ．    13．在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则 .若，点为线段上的动点，则的最小值为 . 14．如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ． 15．在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 17．（15分）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 18．（15分）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 19．（15分）在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于、两点． （1）求曲线的方程； （2）若，求的值． 20．（16分）已知点A(－1，0)，B(1，－1)和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图. （1）证明: 为定值; （2）若△POM的面积为，求向量与的夹角； （3）证明直线PQ恒过一个定点. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块三 平面向量 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由，则，解得. 故选：D. 2．已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为. 故选：B 3．如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 4．如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由 解得 ， 因为，所以，， 结合图象可得 与 方向相同，所以， 所以. 故选：C. 5．已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】抛物线的焦点，准线，， 由对称性，不妨令点在第一象限，设， 则，由B在线段AD上， 得，整理得，而， 则，由P，B，F共线， 得，整理得，解得， 于是，过作于，所以.    故选：B 6．若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】在中，， 所以， 所以，即， 即， 可得，因与均为非零向量， 则，即，是直角三角形. 故选：. 7．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又因为， 可得或或或， 此时，可得可行域为矩形及其内部的区域， 其中，区域的面积为. 故选：D. 8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． ②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 9．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示，    当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是． 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 . 【答案】 / 【详解】由条件可知， , 所以； 由，得， 得， 所以， 得，且，， 所以， 得,,所以. 故答案为： 11．若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，则， ， （ⅰ）当，则，故， （ⅱ）, 由于为相反向量，故， 所以， 由，故当时，取最小值， 而的最大值为， 因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为， 故答案为：， 12．如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则 ；若点F为线段上的动点，则的取值范围为 ．    【答案】 【详解】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 13．在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则 .若，点为线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】依题意 ， 又，且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，所以，， 所以， 因为点为线段上的动点，所以设，， 则，则， 所以，， 所以 ， 所以当时取得最小值，最小值为；    故答案为：； 14．如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ． 【答案】 / 【详解】由题设 ， 又三点共线，则，可得， 如下图，延长交于， 由， 若，则，而三点共线， 所以，即， 由， 分别过作，交于， 若，则，， 所以，， 即，， 综上，，则，为边长为1的正三角形， 所以. 故答案为：， 15．在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【答案】 【详解】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 故答案为：；. 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为.（5分） （2） 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为.（14分） 17．（15分）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为为BC的中点，， ， .（4分） （2）因为 , ， .（10分） （3）为中线的交点，为重心， ， ，， .（15分） 18．（15分）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，得，解得， ，则．（5分） （2）由题意， 又，，解得， 则，，， ， 即向量与的夹角的余弦值为．（15分） 19．（15分）在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于、两点． （1）求曲线的方程； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为点到两点、的距离之和等于， 所以结合椭圆定义易知，点的轨迹是以点、为焦点且的椭圆， 则，，，点的轨迹.（5分） （2）设，， 联立，整理得， 则，， 因为，所以， 即，整理得， 则，整理得，解得.（15分） 20．（16分）已知点A(－1，0)，B(1，－1)和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图. （1）证明: 为定值; （2）若△POM的面积为，求向量与的夹角； （3）证明直线PQ恒过一个定点. 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）直线PQ过定点E(1，－4). 【详解】（1）设点由P、M、A三点共线， 可得 ∴，， ， （4分） (2)设∠POM=α，则 又，即 ∴由此可得tanα=1，又 ；（9分） (3)设点，由、B、Q三点共线， 故， ∴即， ∴，即， ∵ ∴， 即 即， 由（*）式，代入上式，得 由此可知直线PQ过定点E(1，－4)（16分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $