专题05 平面向量与复数（7年汇编）（天津专用）2020-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合天津高考2020-2026年真题及2026年模拟题，聚焦平面向量与复数两大必考考点，呈现考情规律与命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|多题，分双空（平面向量）/单空（复数）|平面向量：线性运算、数量积、模长、几何意义；复数：四则运算、模长、共轭复数|平面向量双空题融合三点共线与最值求解，复数单空题稳定考查基础运算，适配高考命题规律|

专题05 平面向量与复数 7年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2020-2026） 命题规律 考点01平面向量的线性运算及数量积运算 2026天津：平面向量数量积的坐标运算、模长综合计算 2025天津：平面向量线性运算、基底表示与三点共线判定 2024天津：平面向量数量积的几何意义、投影与夹角计算 2023天津：平面向量线性运算与数量积的综合应用 2022天津：平面向量模长、夹角的数量积公式求解 2021天津：平面向量线性运算、三点共线的参数求解 2020天津：平面向量数量积的坐标运算、向量垂直的判定 该考点为天津高考必考基础题型，常年设置双空题，难度中等，命题结构稳定。核心围绕线性运算、数量积两大主干展开，早年以基础坐标运算、垂直判定为主，近年逐步融合几何意义、投影、三点共线等综合考点，设问更灵活。解题核心依托向量运算法则、数量积公式，侧重考查数学运算与直观想象素养，是必拿基础分值。 考点02复数 2026天津：复数的四则混合运算、共轭复数的概念与应用 2025天津：复数的模长计算、四则运算的综合化简 2024天津：复数的几何意义、复平面内对应点的坐标判定 2023天津：复数的四则运算、纯虚数的概念与参数求解 2022天津：复数的模长、共轭复数的综合运算求解 2021天津：复数的四则运算、虚部的概念与数值判定 2020天津：复数的几何意义、模长的公式计算与应用 该考点为天津高考必考送分题型，固定设置填空第一题位置，难度低，命题高度稳定。核心考查复数的四则运算、基本概念、几何意义三大板块，早年以基础运算、概念判定为主，近年偶尔融合几何意义、参数求解的简单综合设问，无复杂变形。解题核心依托复数运算法则、基本概念，侧重考查基础运算熟练度，是必须稳拿的5分基础题。 考点01 平面向量的线性运算及数量积运算 1．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 5．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 7．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 考点02 复数运算 1．（2026·天津·高考真题）化简__________． 2．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 3．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______． 4．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________． 5．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______． 6．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________． 7．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数_________． 1．（2026·天津和平·三模）i为虚数单位，复数满足，则__________． 2．（2026·天津北辰·二模）已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数______． 4．（2026·天津西青·三模）i是虚数单位，若复数满足，则______． 5．（2026·天津·三模）复数（其中为虚数单位），则的模为________． 6．（2026·天津东丽·二模）已知是虚数单位，则______． 7．（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 9．（2026·天津河西·三模）已知是虚数单位，则_________． 10．（2026·天津宝坻·三模）已知是虚数单位，复数______． 11．（2026·天津·二模）在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________． 12．（2026·天津和平·三模）已知中，点为边上一点，且，则__________（用与表示）；若点为内的一点，，满足，则__________． 13．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 14．（2026·天津河西·三模）已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 15．（2026·天津滨海新区·三模）已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 16．（2026·天津红桥·二模）已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 17．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 18．（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 19．（2026·天津宝坻·三模）在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 20．（2026·天津武清·模拟预测）在平面四边形中，，，，则_____；点E是边的中点，延长线段至点F，使得，若点H为线段上的动点，则的最小值为_____． 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面向量与复数 7年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2020-2026） 命题规律 考点01平面向量的线性运算及数量积运算 2026天津：平面向量数量积的坐标运算、模长综合计算 2025天津：平面向量线性运算、基底表示与三点共线判定 2024天津：平面向量数量积的几何意义、投影与夹角计算 2023天津：平面向量线性运算与数量积的综合应用 2022天津：平面向量模长、夹角的数量积公式求解 2021天津：平面向量线性运算、三点共线的参数求解 2020天津：平面向量数量积的坐标运算、向量垂直的判定 该考点为天津高考必考基础题型，常年设置双空题，难度中等，命题结构稳定。核心围绕线性运算、数量积两大主干展开，早年以基础坐标运算、垂直判定为主，近年逐步融合几何意义、投影、三点共线等综合考点，设问更灵活。解题核心依托向量运算法则、数量积公式，侧重考查数学运算与直观想象素养，是必拿基础分值。 考点02复数 2026天津：复数的四则混合运算、共轭复数的概念与应用 2025天津：复数的模长计算、四则运算的综合化简 2024天津：复数的几何意义、复平面内对应点的坐标判定 2023天津：复数的四则运算、纯虚数的概念与参数求解 2022天津：复数的模长、共轭复数的综合运算求解 2021天津：复数的四则运算、虚部的概念与数值判定 2020天津：复数的几何意义、模长的公式计算与应用 该考点为天津高考必考送分题型，固定设置填空第一题位置，难度低，命题高度稳定。核心考查复数的四则运算、基本概念、几何意义三大板块，早年以基础运算、概念判定为主，近年偶尔融合几何意义、参数求解的简单综合设问，无复杂变形。解题核心依托复数运算法则、基本概念，侧重考查基础运算熟练度，是必须稳拿的5分基础题。 考点01 平面向量的线性运算及数量积运算 1．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 2．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    5．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 【答案】 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 【答案】 1 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 7．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 考点02 复数运算 1．（2026·天津·高考真题）化简__________． 【答案】 【详解】. 2．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 3．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 4．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】/ 【详解】由题意可得. 故答案为：. 5．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______． 【答案】/ 【详解】． 故答案为：． 6．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 7．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数_________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 1．（2026·天津和平·三模）i为虚数单位，复数满足，则__________． 【答案】 【详解】由，等式两边同乘以，可得， 则. 2．（2026·天津北辰·二模）已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 【答案】 【详解】因为，故的虚部为. 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数______． 【答案】 【详解】由，得. 故 4．（2026·天津西青·三模）i是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【详解】,得，所以. 5．（2026·天津·三模）复数（其中为虚数单位），则的模为________． 【答案】/ 【详解】， 所以． 6．（2026·天津东丽·二模）已知是虚数单位，则______． 【答案】1 【详解】由， 则. 7．（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 【答案】 【详解】由题意，复数为实数， 则，解得， 所以. 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 【答案】 【详解】； 又，因此； 则 因此； 故的虚部为. 9．（2026·天津河西·三模）已知是虚数单位，则_________． 【答案】 【详解】. 10．（2026·天津宝坻·三模）已知是虚数单位，复数______． 【答案】 【详解】 11．（2026·天津·二模）在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________． 【答案】 / 【详解】设，其中， 则 ， 由于， 所以，则为正数， 且. ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 12．（2026·天津和平·三模）已知中，点为边上一点，且，则__________（用与表示）；若点为内的一点，，满足，则__________． 【答案】 【详解】; 取的中点，则，因为，所以， . 13．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 14．（2026·天津河西·三模）已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 【答案】 / 【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由题意，故得，，，。 由，可得, 即,即， 由， 则,因此 因，设， 则，即， 又是的中点，，则 ,, 故. 15．（2026·天津滨海新区·三模）已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 【答案】 【详解】设. ，， . . 又，所以，解得. 此时. . 所以 . 16．（2026·天津红桥·二模）已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 【答案】 /0.5 【详解】由题意可知； 所以 因为，所以， 得，解得， 则. 17．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 【答案】 6 【详解】由题意可得， 所以,则. 设，， 则        所以 当时，；当或1时，， 综上： 18．（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【答案】 / 【详解】在中，由， 得， 设，则， 得到， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 则，如图，作出符合题意的图形， 设，， 且得到， ， 当且仅当时取等号，所以的取值范围为. 19．（2026·天津宝坻·三模）在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 【答案】 1 / 【详解】以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 所以， 所以， ，则， 所以当时，最小值为． 20．（2026·天津武清·模拟预测）在平面四边形中，，，，则_____；点E是边的中点，延长线段至点F，使得，若点H为线段上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】 【详解】已知，所以四边形是平行四边形，则， 即， 设，，则， 由平面向量基本定理可得即，所以， 已知，则， 所以， 又因为，所以. 以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 由，，可得，， 因为四边形是平行四边形，所以， 又因为点E是边的中点，所以， 由，得， 设，则， 即，解得，所以， ， 因为点H为线段上的动点，可设， 所以，， 则， 当时，取得最小值. 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05平面向量与复数 7年真题1年模拟 七年真题分类园 考点01平面向量的线性运算及数量积运算 2 [1,3] a+26 1 2. 3； -15 3. 43 18 1.1 13 4 qa+-B 2 24 5. 石 11 6 20 1-6 3-2 考点02复数 1.8+6i 2.0 3.7-5 4.4+i/i+4 1/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.1-5i/-5i+1 6.4-i 7.3-2i V一年模拟练测园 1.② 2.-4 4. 5 21 5.2/2 6.1 ?6 5 8.2 9.V10 10V6 5555 11. 5 2/2 12. a 3 4 13. V3 2 14. 616 213 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 3-4 1-3 16 3-2 17. 6 [6 2万2万 2816 18 3/3 39 19. 1 40.75 20. 写（或60） 9 2 3/3