模块五 数列（综合训练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块五 数列 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为等比数列的前项和，且，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要. B．必要不充分. C．充分必要. D．既不充分也不必要. 2．设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 3．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 4．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 5．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 7．在数列中，，，记为数列的前项和，则（    ） A．0 B．18 C．10 D．9 8．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1033 B．2057 C．1034 D．2058 9．数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为 . 11．在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 12．已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为 . 13．已知为等差数列，为其前项和..若．则的值为 ． 14．已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式 .设，则数列的前项和 . 15．函数，若方程有三个根，且是和的等差中项，则a= . 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和. 17．已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 18．（15分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 19．（15分）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 20．（16分）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块五 数列 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为等比数列的前项和，且，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要. B．必要不充分. C．充分必要. D．既不充分也不必要. 【答案】B 【详解】因为，当时，则，所以， 当时，，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 3．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 4．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 5．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 6．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 7．在数列中，，，记为数列的前项和，则（    ） A．0 B．18 C．10 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以，，， ，，，，…， 故数列为周期数列，周期为4， 所以. 故选：C. 8．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（    ） A．1033 B．2057 C．1034 D．2058 【答案】A 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，因此， 所以. 故选：A 9．数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题知，， 又，所以，是周期为3的周期数列. 对于A，若，，则，则或 若，则，得， 又， 由周期性可知，当时，满足，A不满足题意； 对于B，若，，则，即， 又，消元整理得， 即，无实数解，故B满足题意； 对于C，若，，则， 解得，显然恒成立，C不满足题意； 对于D，若，，则， 解得，显然此时恒成立，D不满足题意. 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为 . 【答案】 / 【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到， 则，， 则； 设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 即，，且， 则， 即是以为首项，为公比的等比数列， 则， 即， 故答案为：；. 11．在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 【答案】 【详解】设数列的公差为， 由，得，且， 所以，得， 得或（舍）， 所以. 故答案为： 12．已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由得， 解得（舍去），∴， 由得，∴， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 故答案为：． 13．已知为等差数列，为其前项和..若．则的值为 ． 【答案】60 【详解】设数列的公差为，则，解得， 所以． 故答案为：60． 14．已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式 .设，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】因为，所以当 时，， 当时，，符合的情况，所以； 因为， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，，所以， 综上可知. 故答案为：；. 15．函数，若方程有三个根，且是和的等差中项，则a= . 【答案】 【详解】令，， 则方程有三个根即为图象的3个不同交点的横坐标. 又， 令，则或， 解得或. 令，则或， 解得或即. ，而当时，， 所以，其图象如图（1）所示： 因为图象有3个不同交点，故两个函数图象的位置关系仅如图（2）所示： 其中为函数的图象与的图象的交点的横坐标且. 为的图象与的图象的交点的横坐标， 令，两边平方后得到， 解得. 令，故. 因为是和的等差中项，故， 解得或 （舍）. 当时，， . 故符合题意. 故答案为： 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时， 又也满足上式，所以. 又.（4分） （2）∵① ∴② ②－①得：，，故．（9分） （3）， ∴， 令，① 则② ①－②得： ， ∴ ∴． ∴数列的前项和.（14分） 17．已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【答案】(1)，. (2) (3)证明见解析. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，.（5分） （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即.（10分） （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以.（15分） 18．（15分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1) ， (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，得， 解得(舍去)，或，则， ，.（5分） （2）由 (1) 可知，， 则， ， .（10分） （3）由 (1) 可得， ， ， 令， 两式相减，可得 ， ， 令 , .（15分） 19．（15分）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，．（5分） （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以.（10分） （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 .（15分） 20．（16分）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ）不存在，理由见解析 【详解】（1）（1）方法一： 当时，， 则， 为等比数列，等比数列的公比为3， 当时， 解得：． 方法二： 设公比为为等比数列 解得或3 ，，， （5分） （2）（2）（ⅰ） 设 两式相减得 方法二： 设 两式相减得 （12分） （ⅱ）假设存在满足题意的3项， 成等比数列，，即 成等差数列，， 整理可得：，又， 即，解得：，则，与题设矛盾。 假设错误，即不存在满足题意的3项．（16分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $