精品解析：福建省厦门实验中学2024-2025学年高二下学期阶段性测试数学试题

厦门实验中学2024-2025学年下学期高二阶段性测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则依次求导即可判断． 【详解】对于A项，因为是常数，所以，故A项错误； 对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，由求导法则易得，故D项正确． 故选：D． 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令双曲线的为，从而得到方程，化简后即得渐近线方程． 【详解】令，整理得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查基本运算求解能力． 3. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，及焦半径的求法，分析即可得答案. 【详解】由题意，抛物线的准线方程为， 因为抛物线上点到直线的距离为5， 所以点到直线的距离为4， 由定义得，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以， 故选：B. 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦长公式即可求得结果. 【详解】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为. 故选：D 5. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数讨论函数的单调性和最值可得正确的选项. 【详解】定义域为：，又， 当时，，所以在上为增函数，故C、D错； 当时，，所以在上为减函数，故， 所以的图像恒在轴上方，故选A. 【点睛】对于函数的图像的问题，我们可先计算函数的定义域，然后研究函数的奇偶性，再研究函数在特殊点的函数值的大小和符号，必要时可依据导数的符号确定函数的单调区间、最值等，结合排除法可得正确的结果． 6. 已知函数，则的极大值点为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导后，根据导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值点. 【详解】由，得 ， 由，得或，由，得， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值点为， 故选：A 7. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得. 【详解】因为，所以，， 又因为，则，所以，， 所以，， 由空间向量的数量积可得， 因此， . 故选：B. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极大值 B. 函数在处取得极值 C. 在区间上单调递减 D. 的图象在处的切线斜率大于零 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的图象判断函数的区间单调性和极值、处切线斜率符号判断各项正误. 【详解】由题图知：上，上， 所以在上递增，上递减，即在处取得极大值，A对； 在处函数值不是极值，B错； 在区间上单调递减，C对； 由图知：，即在处的切线斜率小于零，D错. 故选：AC 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的前项和公式，利用，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义和性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，， 当时，也满足上式，所以数列的通项公式为， 所以， 所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误； 因为，所以当时，；当时，， 所以有最小值或，故C正确； 因为，所以， 所以，所以数列是等差数列，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的方法求解夹角余弦值. 对于B，要判断直线与平面平行，可根据直线与平面内一条直线平行且直线不在平面内来判断. 对于C，求点到直线的距离，可利用向量的投影等知识求解即可. 对于D，求向量在另一个向量上的投影向量，根据投影向量的定义进行计算. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 且，分别为棱，的中点，可知，， 可得，，，， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：，，设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以，，因为，所以平面，B选项正确； 对于选项C：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点到直线的距离为，故C正确； 对于选项D：在上的投影向量为，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某商品价格(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式，那么在第8个年头此商品价格的变化速度是________元/年． 【答案】 【解析】 【分析】函数求导，令代入导数即可得解. 【详解】由题知，， 所以， 所以 (元/年)． 故答案为： 13. 曲线过点的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即， 故答案为： 14. 已知为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据的周长为可得，利用椭圆定义得，在直角中利用勾股定理可得离心率的值. 【详解】 设，则. 由椭圆定义得，， ∴，即，解得， ∴. ∵为直角三角形，∴，即， 化简得，故椭圆的离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用焦点三角形的周长为建立等量关系，进而表示出线段的长，在直角中利用勾股定理求离心率的值. 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为，是等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得结果； （2）利用分组求和由等差数列和等比数列前项和公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 设的公比为． 因为，所以，故． 又，所以． 【小问2详解】 记和的前项和分别为，，则． 又， ， 所以． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线； （2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值． 【小问1详解】 对函数求导，， ， 所求得的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）有， 令，解得：或， 故函数在递增，在递减， 故函数在取最大值， ，， 故函数在的最大值为4，最小值为0． 17. 已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及即可求解，进而可得得解. （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据垂直关系求解，根据弦长公式以及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由已知得，，解得， 故， 即椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 设，，中点， 联立直线与椭圆，得 ①， 由韦达定理，，， 由题意，，因此的斜率为，解得， 此时①式为，， 点到直线的距离， 所以的面积 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且. （1）求证：； （2）若平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，求点A到平面DBE的距离. 【答案】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 又四边形ABCD为矩形，所以. 又，PD，平面PCD，所以平面PCD. 又平面PCD，所以. ∵，点E是PC的中点，所以. 又，PC，平面PBC，所以平面PBC. 又平面PBC，所以. 又，，DE，平面DEF，所以平面DEF， 又平面DEF，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）多次利用线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理即可证明； （2）设，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.利用面面角的向量法即可求出，再利用点到面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，，，. ∵点E是棱PC的中点，所以. 由平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量； 由（1）知，平面DEF，所以是平面DEF的一个法向量. 因为平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，解得或（舍）. 设平面BDE的一个法向量，又，， 所以，即，令，解得，， 所以平面BDE的一个法向量. 又， 所以点到平面DBE的距离. 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：函数有唯一的零点； （3）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）若，函数的减区间为，增区间为，且， 当时，由，有恒成立， 又，由零点存在性定理上存在唯一零点， 由上知，函数有唯一的零点； （3） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分，，与四种情况，解不等式，求出函数单调性； （2）在（1）的基础上得到函数单调性，结合零点存在性定理得到结论； （3）由（2）知，不合要求，故，由，可得，构造，求导，结合隐零点得到函数单调性，且，，，两式相加得到，，放缩得到不等式，求出，进而得到. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， ①当时，解不等式．有，令，得， 故函数的减区间为，增区间为； ②当时．，若，，，可得； 若，，，可得；若，可得． 故有，函数单调递增，增区间为，没有减区间； ③当时，解不等式，有或， 令，解得， 故函数的增区间为，，减区间为； ④当时，解不等式，有或，令得， 故函数的增区间为，，减区间为； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知．若，必有．又由，可得． 又由，不等式可化为， 设， 有， 当且时，，，可得， 当且时，，，可得， 当时，函数单调递增， 故存在正数m使得． 若，有，，有， 与矛盾，可得， 当时，；当时，， 可得函数的减区间为，增区间为， 若，必有， 有， 又由，有， 有，有． 又由，有，可得， 有，可得， 由，及，可得， 若．则实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门实验中学2024-2025学年下学期高二阶段性测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 6. 已知函数，则的极大值点为（　　） A. B. 2 C. D. 7. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极大值 B. 函数在处取得极值 C. 在区间上单调递减 D. 的图象在处的切线斜率大于零 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某商品价格(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式，那么在第8个年头此商品价格的变化速度是________元/年． 13. 曲线过点的切线方程为__________. 14. 已知为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则该椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为，是等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 17. 已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且. （1）求证：； （2）若平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，求点A到平面DBE的距离. 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：函数有唯一的零点； （3）若，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $