专题03 一元一次方程（期末复习知识清单，3知识&9题型&3易错&3方法清单）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学一元一次方程专题知识清单系统整合了等式与方程概念、解法及应用，涵盖等式性质、方程定义、解法步骤、实际问题类型等核心范畴，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以“3知识清单+9题型分类+3易错警示+3方法技巧”四维架构呈现，如解法步骤标注去分母漏乘等注意事项，应用题分类配行程、工程等等量关系，培养运算能力与模型意识。设易错点对比（如无解与无数解判断）及方法技巧总结（如绝对值方程分类讨论），助力学生精准突破，教师可据此设计分层教学，提升复习效率。

专题03 一元一次方程 （3知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】等式与方程 一、等式的概念与性质 1. 等式的定义：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。例如：，等。 2. 等式的性质： o 性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果，那么，。 o 性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。如果，那么，。 二、方程的相关概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。例如：，等。 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。例如：方程的解是。 3. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【清单02】一元一次方程及其解法 一、一元一次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 2. 标准形式：（其中(a)、(b)是常数，且）。例如：是一元一次方程，而（未知数次数是2）、（不是整式方程）都不是一元一次方程。 二、解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，约去分母。注意：不要漏乘不含分母的项。例如：解方程，两边乘6得。 2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。遵循去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例如：，。 3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。移项要变号。例如：方程，移项得。 4. 合并同类项：把方程化成的形式。例如：合并同类项得。 5. 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数(a)，得到方程的解。例如：，两边除以(-2)得。 三、解一元一次方程的注意事项 1. 每一步变形都要依据等式的性质，确保变形后的方程与原方程同解。 2. 去分母和去括号时要注意符号和漏乘问题。 3. 移项时必须改变符号，不移的项不变号。 【清单03】用一元一次方程解决问题 一、列一元一次方程解决问题的一般步骤 1. 审：审题，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。 2. 设：设未知数，一般有直接设元（设所求的量为未知数）和间接设元（设与所求量相关的其他量为未知数）两种方法。 3. 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。这是列方程的关键。 4. 列：根据相等关系列出方程。 5. 解：解所列的方程，求出未知数的值。 6. 验：检验方程的解是否符合实际意义。 7. 答：写出答案（包括单位名称）。 二、常见的实际问题类型及等量关系 1. 行程问题： o 相遇问题：速度和×相遇时间=总路程。例如：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过(t)小时相遇，A、B两地距离为(s)，则。 o 追及问题：速度差×追及时间=路程差。例如：甲、乙两人同向而行，甲在后追乙，甲的速度为，乙的速度为（），两人相距(s)，经过(t)小时甲追上乙，则。 o 路程=速度×时间：。 2. 工程问题： o 工作总量=工作效率×工作时间。 o 通常把工作总量看作单位“1”，则工作效率=1÷工作时间。例如：一项工程，甲单独做需(a)天完成，乙单独做需(b)天完成，两人合作(x)天完成，则。 3. 利润问题： o 利润=售价 - 成本价（进价）。 o 利润率。 o 售价=成本价×(1 + 利润率)。例如：一件商品进价为(a)元，按利润率(20%)定价销售，则售价为(a(1 + 20%))元。 4. 数字问题： o 一个两位数，十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数可表示为(10a + b)。例如：两位数35，十位数字3，个位数字5，可表示为(10×3 + 5=35)。 5. 和差倍分问题： o 较大量=较小量 + 多余量。 o 总量=倍数×倍量。例如：甲数是乙数的3倍，且甲数比乙数大10，设乙数为(x)，则甲数为(3x)，可列方程。 6. 行程问题中的其他类型： o 航行问题：顺水速度=静水速度 + 水流速度；逆水速度=静水速度 - 水流速度。例如：一艘船在静水中速度为(v)，水流速度为(u)，则顺水速度为(v + u)，逆水速度为(v - u)。 7. 调配问题：从调配后的数量关系中找出相等关系。例如：甲仓库有粮食(a)吨，乙仓库有粮食(b)吨，从甲仓库调出(x)吨到乙仓库后，两仓库粮食相等，则可列方程。 三、列方程解决问题的关键 准确找出题目中的等量关系，这需要对题目进行仔细分析，明确哪些量是已知的，哪些量是未知的，以及它们之间存在怎样的数量关系。可以通过画示意图、列表格等方法帮助理解题意，找出等量关系。 【题型一】列一元一次方程 【例1】根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列方程，将文字描述转化为数学方程，注意“y的7倍”为，“x减去y的7倍”即，列出方程即可 【详解】解：的7倍为，x减去y的7倍为，等于8，即， 方程为， 故选：A 【变式1-1】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 【变式1-2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 【题型二】含参数的一元一次方程求解 【例2】如果单项式与可以合并，则关于的方程的解为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项与一元一次方程的解法，熟练掌握同类项的概念是解题关键． 两个单项式可以合并的条件是它们为同类项，即相同字母的指数相等，由此求出a和b的值，再代入方程求解． 【详解】解：∵ 单项式 与 可以合并， ∴ 它们为同类项，相同字母的指数相等， 对于x：，即， 对于y：，即 ， 代入方程得， ， 解得，， 因此，方程的解为． 故选：D． 【变式2-1】已知，．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了互为相反数的意义，解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 与互为相反数，得，代入a和b的表达式后解方程求m． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 代入得： 通分后乘以 4： 简化： 展开： 合并同类项： ∴ ∴的值为， 故选：B． 【变式2-2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2，分别求出两个方程的解，再列方程求解m． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； ， ， ； 由题意，方程的解之和为2， 即， 整理，得， 移项，得， 解得 ； 故答案为：18． 【题型三】解一元一次方程 【例3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， （2）． 去分母（两边同时乘以12），得 ， 去括号，得 ， 合并同类项，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【变式3-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号法解方程即可． （2）利用去分母法解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 整理，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式3-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，最后未知数系数化为1即可 （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ． 【题型四】一元一次方程的应用——调配问题 【例4】一种农药，用药液和水按配制而成．要配制这种农药505千克，需要药液多少千克？ 【答案】5千克 【分析】首先设需要药液千克，根据条件“用药液和水按配制而成．”可得需要水千克，根据题意可得等量关系：药液的质量水的质量千克，由等量关系可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设需要药液千克，则需要水千克，由题意得： ， 解得：， 答：需要药液5千克． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【变式4-1】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？ 最多能制成多少台仪器？ 【答案】应用4立方米钢材做A部件，2立方米钢材做B部件，最多能制成160台仪器． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设用立方米钢材做A部件，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设用立方米钢材做A部件，则立方米钢材做B部件， 由题意得：， 解得：， ， ； 答：应用4立方米钢材做A部件，2立方米钢材做B部件，最多能制成160台仪器． 【变式4-2】某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 【题型五】一元一次方程的应用——数字问题 【例5】观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍，则设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为，根据题意有，再解方程求出，再由第一行的第n个数是即可求解． 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． 所以第一行的第7个数为， 故答案为：； （2）解：能，理由如下： 观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为， 根据题意有， 解得， ， ， n的值为5． 【变式5-1】列方程解决问题：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为13，若把十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新两位数比原两位数大27，求这个两位数． 【答案】58 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设原两位数十位上的数字为x，则其个位上的数字为，依题意，列方程，计算求解即可． 【详解】解：设原两位数十位上的数字为x，则其个位上的数字为． 所以原两位数为， 新两位数为． 依题意，列方程： ， 解方程，得： ， ∴， 答：这个两位数是58． 【变式5-2】有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【答案】57 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设原来的两位数为，根据“这两个三位数相差414”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来的两位数为，根据题意得： 解得：， 答：原来的两位数为57． 【题型六】一元一次方程的应用——工程问题 【例6】一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 【答案】还需天完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设还需要天完成，根据工作量关系列方程求解． 【详解】解：设还需要天完成， 甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为， 根据题意，得， ， ， ， 解得． 答：还需天完成． 【变式6-1】一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成．甲、乙两人合做3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成．那么，乙还需要几天才能完成全部工程？ 【答案】乙还需要5天才能完成全部工程 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设乙还需要x天完成全部工程，工作总量为单位1，根据“甲、乙合作3天的工作量乙单独完成的工作量工作总量”建立方程求解． 【详解】解：设乙还需要x天完成全部工程，工作总量为单位1， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意，得方程：， 解得． 答：乙还需要5天才能完成全部工程． 【变式6-2】某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 【题型七】一元一次方程的应用——行程问题 【例7】周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两人相遇时，x为1 (3)当甲、乙两人相距时，x的值为或 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，行程问题、相遇问题和分段行程的分析．分阶段分析路程关系：相遇时用“路程和总距离”列方程；相遇后根据“路程差间距”列方程是解题关键． （1）根据公式“路程速度时间”列式即可； （2）根据公式“两人路程和总距离”和（1）的计算结果列方程即可； （3）首先计算甲、乙与相遇点的距离，再分乙未追上甲和乙超过甲两种情况分类讨论． 【详解】（1）解：根据题意， 甲骑行的时间为，乙骑行的时间为， 甲的平均速度是，乙的平均速度是， 甲骑行的路程为，乙骑行的路程为， 答：，． （2）设：根据题意， 当两人相遇时，甲、乙路程之和为， ， 解得， 当两人相遇时，骑行时间为1h． 答：当甲、乙两人相遇时，为1． （3）解：两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口， ∴甲与相遇点的距离为， 乙与相遇点的距离为， ①当乙未追上甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得； ②当乙超过甲时，且甲、乙两人相距时， ，解得． 综上所述，x的值为或． 答：当甲、乙两人相距时，x的值为或． 【变式7-1】甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 【答案】(1)甲船顺水速度：，乙船逆水速度： (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减运算．正确列出代数式是解题的关键． （1）直接根据公式写出代数式，即可； （2）先计算小时后两船的路程，在求差，即可求解； （3）根据路程差为60千米列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲船顺水速度静水速度水流速度； 乙船逆水速度静水速度水流速度． （2）解：小时后甲船航行路程：，即使 小时后乙船航行路程：， 甲船比乙船多航行的路程：． （3）解：∵甲船比乙船多航行千米， 故， 解得． 【变式7-2】已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数，且设运动的时间为． (1)______，______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟有？ 【答案】(1)，16 (2)或 (3) 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系，根据数形结合的思想理解和解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求出； （2）根据路程、速度和时间的关系，列式计算即可求解； （3）根据点表示的数和绝对值的几何意义可以表示出，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：与互为相反数， ． （2）解：由题意，点表示的数分别是： 、， ， 解得或， 则再行驶2秒或4秒，两列火车行驶到车头相距8个单位长度． （3）解：由题意， 即或， 解得或（舍去）， 则再行驶4秒有． 【题型八】一元一次方程的应用——利润问题 【例8】第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼-20和歼-35为主题的飞机模型，成为畅销品．某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．将B品牌飞机模型按进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元． (1)设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价________________元，根据题意可列方程________________． (2)由（1）求得每个A品牌飞机模型进价________元，每个B品牌飞机模型进价________元． (3)利用一元一次方程求出B品牌飞机模型的打折数． 【答案】(1)， (2)60，100 (3)打折数为9折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利润问题的基本公式及方程的解法． （1）根据题意设每个A品牌飞机模型的进价为x元，因为B品牌飞机模型比A品牌每个贵40元，所以每个B品牌飞机模型的进价即为元，然后根据购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元列出方程：； （2）根据（1）列出的方程解此方程即可； （3）设B品牌飞机模型打a折，根据进价提高后标价，再打a折出售，仍获利35元可先算出标价，然后打a折即为标价乘以，再根据售价−进价=利润，列出方程解这个方程即可求出a的值，从而得出打折数． 【详解】（1）解：∵每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元， ∴每个B品牌飞机模型进价为元， 则根据题意列出方程为：， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知：，解得， ∴， 故答案为：60，100． （3）解：设B品牌飞机模型打a折， 由题意可得：， 解得， 即B品牌飞机模型打9折． 【变式8-1】青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 【答案】(1)40； (2)购进A种商品40件 (3)690元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件进价为元，根据的利润率为，求出的值； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件进价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进种商品40件． （3）解：设小华打折前应付款为元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：； ,舍去， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付690元． 【变式8-2】学校七年级举行数学说题比赛，计划购买笔记本作为奖品．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．已知种笔记本的单价是10元，种笔记本的单价是8元． 型号 单价（元／本） 数量（本） 费用（元） 笔记本 10 笔记本 8 (1)若学校购买，两种笔记本作为奖品，设购买种笔记本本． ①根据信息填表（用含有的式子表示，需化简）． ②若购买种笔记本9本，求购买笔记本的总费用？ (2)为缩减经费，学校最终购买，，三种笔记本共30本作为奖品，其中种笔记本的单价为6元，，两种笔记本单价不变．若购买种笔记本本，种笔记本本． ①则购买种笔记本______本，购买三种笔记本的费用为______元；（请用含有，的式子表示，需化简） ②若学校购买三种笔记本的费用一共为220元，其中购买种笔记本5本，求购买种笔记本的数量． 【答案】(1)①，；②258元． (2)①，；②15本． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． （1）①设买A种笔记本x本，则B种笔记本的数量为本，购买A种笔记本的费用为元，B种笔记本的费用为元，据此即可解答；②先列代数式表示出总费用，然后将代入计算即可解答； （2）①购买笔记本的总数减去购买A、B两种笔记本的数即可得到购买种笔记本的数量，然后用三种笔记本费用之和表示总费用即可；②利用①中费用总和代数式等于220以及，易求n的值，进而求得购买种笔记本的数量． 【详解】（1）解：①由题意，得： 型号 单价（元／本） 数量（本） 费用（元） 笔记本 10 笔记本 8 故答案为：，； ②根据题意得：购买笔记本的总费用：， 当时，购买笔记本的总费用为． 答：购买笔记本的总费用258元． （2）解：①∵购买A种笔记本m本，B种笔记本n本， ∴购买C种笔记本为本， 购买三种笔记本的总费用为：元； 故答案为：，； ②∵学校购买三种笔记本的费用一共为220元，其中购买种笔记本5本， ∴，解得：， ∴购买种笔记本的数量为：本． 【题型九】一元一次方程的应用——收费问题 【例9】为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【答案】(1)47 (2)， (3)12 【分析】本题考查了根据题意列代数式，一元一次方程的应用等知识． （1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列式，并化简即可求解； （3）根据题意列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：若每月用水量16立方米，需交水费（元）． 故答案为：47； （2）解：当不超过10立方米，需交水费元；当超过10立方米，需交水费元． 故答案为：，； （3）解：∵， ∴由题意得， 解得． 答：小颖家11月份共用水12立方米． 【变式9-1】某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式，阶梯计价问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用应缴纳气费超出立方米的部分，可用含a的代数式表示出应缴纳气费，结合该年度缴纳气费元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米，分及两种情况考虑，根据小钟家今年共缴纳气费元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当小依家年度用气立方米时，应缴纳气费元， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：，； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米， 当时，， 解得：， ∴（元）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小钟家今年采暖期用气费用为元． 【变式9-2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 3元/ 超出不超出的部分 5元/ 超出的部分 7元/ (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元（用含a的式子表示，并化简）？ (3)若该户居民4月份交水费元，该户居民4月份用水多少立方米？ 【答案】(1)12，25； (2)应收水费元 (3)该户居民4月用水 【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）月份用水，则按第一档缴费；月份用水，则按第二档缴费； （2）由于月份用水量(其中)，根据缴费的形式得到化简即可； （3）设月份用水，根据题意可得，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：1月份用水，不超过，水费为（元）； 2月份用水，超过不超出，水费为（元）； 故答案为：12，25； （2）解：∵， ∴应收水费为元． 答：应收水费元； （3）解：设4月份用水， 当时，水费为（元）； 当时，水费为（元）； ∵， ∴． 则水费为． ∴， ， ， ． 答：该户居民4月用水． 【题型一】方程定义与解的概念混淆 【例1】已知，为任意有理数． ①关于的方程的解为 ②关于的方程可能是一元一次方程 ③当时，关于的方程的解是 ④当时，关于的方程的解是 以上说法正确的是(   ) A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】利用方程的解的定义及解方程分析结论即可． 【详解】①若，关于的方程的解为，故选项错误； ②若，关于的方程是一元一次方程，故选项正确； ③当时，关于的方程的解是，故选项正确； ④当，时，关于的方程的解是，故选项错误． ∴综上所述，正确的有②③． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的解的定义：使方程中等号两边都成立的未知数的值，以及解方程，解题的关键是掌握方程解的定义，会解方程． 【变式1-1】下列说法，其中正确的个数是（   ） ①方程中只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、绝对值、有理数的加法和乘法、有理数的概念等知识，解题关键是理解相关概念．根据相关概念依次判断即可求解． 【详解】解：①方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程，故错误； ②绝对值是它本身的数为正数和0，故错误； ③∵， ∴两数之和不一定大于每个加数，故错误； ④正确； ⑤没有最小的有理数，比0小的还有负有理数，故错误； ∴正确的有1个； 故选：A ． 【变式1-2】下列说法：①最大的负整数是；②若，则；③倒数等于本身的数是1；④若，则或；⑤是二次二项式；⑥关于x的方程是一元一次方程，则k值为任意实数．其中一定正确的是 （只需填写序号）． 【答案】①④ 【分析】根据负整数、倒数、一元一次方程、多项式相关定义一一判断即可； 【详解】最大的负整数是，①正确； 若，则或，②不一定正确； 倒数等于本身的数是1或，③不正确； 若，则或，④正确； 是二次三项式，⑤不正确； 若关于x的方程是一元一次方程，则，⑥不正确． 故正确的是：①④， 故答案为：①④． 【点睛】该题主要考查了多项式的项数“几个单项式相加减即为几项”和次数“最高的单项式次数即为多项式的次数”，一元一次方程的定义“只有一个未知数且未知数最高次数为一的方程为一元一次方程”，绝对值化简，倒数的概念，有理数分类，解题的关键是掌握多项式的项数和次数以及绝对值化简． 【题型二】含小数、分数系数的方程化简错误 【例2】把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 【详解】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 【变式2-1】将方程中分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的转化．将方程中的分母由小数化为整数，需对每个分数分别处理，分子分母同乘适当倍数，保持等式成立． 【详解】解：原方程为：， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 则原方程变形为， 故选：C． 【变式2-2】将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 【题型三】无解与无数解的判断 【例3】若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程．首先解方程，可得：，再根据方程有两个解的条件可得到a，b的值，然后代入方程中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程， 可得：， ∵有至少两个不同的解， ∴，， 即，， 把，代入中得： ， ∴方程无解． 故选：D． 【变式3-1】阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，对进行化简，得，根据该方程无解，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， 约分，得， ∵该方程无解， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-2】(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是得且，将代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【详解】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 【题型一】一元一次方程中的绝对值问题 方法技巧 一、核心概念与解题依据 1. 绝对值的代数定义：|a|=a（a≥0）；|a|=-a（a<0）。这是去掉绝对值符号的根本依据，体现了"分类讨论"的核心思想 2. 方程的同解原理：在等式两边进行相同运算（加、减、乘、除非零数）时，方程解不变，是变形求解的基础 二、基本题型与解题策略 （一）|ax+b|=c型方程（c≥0） 解题步骤： 1. 判断方程是否有解：当c<0时，方程无解；当c=0时，方程化为ax+b=0 2. 去绝对值符号：转化为两个一元一次方程 o ax+b = c 或 ax+b = -c 3. 分别求解：解上述两个方程得x=(c-b)/a和x=(-c-b)/a 4. 结果验证：将解代入原方程检验绝对值内表达式的符号是否符合假设 示例：解方程|2x-1|=5 解：2x-1=5 ⇒ x=3；2x-1=-5 ⇒ x=-2 验证：当x=3时，|2×3-1|=5成立；当x=-2时，|2×(-2)-1|=5成立 （二）|ax+b|=|cx+d|型方程 转化策略： 1. 平方去绝对值法：两边同时平方得(ax+b)²=(cx+d)² 2. 因式分解求解：[(a+c)x+(b+d)][(a-c)x+(b-d)]=0 3. 分类讨论法：转化为ax+b=cx+d或ax+b=-(cx+d)两个方程 关键提醒：平方后可能产生增根，必须代入原方程检验 （三）|ax+b|+|cx+d|=e型方程 区间分段法： 1. 求零点：令ax+b=0和cx+d=0，解得x1=-b/a，x2=-d/c 2. 分区间：将数轴分为x<x1、x1≤x<x2、x≥x2（假设x1<x2）三个区间 3. 分段去绝对值：在每个区间内根据绝对值内表达式的符号去绝对值符号 4. 求解并检验：在各区间内求解方程，保留符合区间范围的解 示例：解方程|x-1|+|x+2|=5 零点：x=1和x=-2，分三段讨论： x<-2时：-(x-1)-(x+2)=5 ⇒ x=-3（符合区间） -2≤x<1时：-(x-1)+(x+2)=5 ⇒ 3=5（无解） x≥1时：(x-1)+(x+2)=5 ⇒ x=2（符合区间） 综上：x=-3或x=2 【例1】（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 【变式1—1】小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 【变式1—2】阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 【题型二】一元一次方程中的数值动点问题 方法技巧 一、核心思路与解题步骤 1. 审清题意，标注关键信息 o 明确动点运动的起点、方向、速度（单位时间内移动的单位长度） o 确定运动时间范围（注意是否会到达端点停止或折返） o 找出题目中的不变量（如线段总长、固定点位置）和等量关系 2. 用含t的代数式表示动点位置 o 设运动时间为t（通常以秒为单位） o 若动点P从点A出发，速度为v，沿直线向点B运动： 当点A表示的数为a，点B表示的数为b（b>a）时，t秒后P点表示的数为：a + vt 当运动方向为从大到小（b<a）时，t秒后P点表示的数为：a - vt 3. 根据等量关系列方程 o 利用距离公式：数轴上两点M（m）、N（n）的距离为|m-n| o 常见等量关系类型： 两点重合：位置数相等（无需绝对值） 两点距离等于定值：|位置1 - 位置2| = 定值 线段倍数关系：|位置1 - 位置2| = k×|位置3 - 位置4|（k为倍数） 中点问题：位置1 = （位置2 + 位置3）/2 4. 解方程并验证 o 解一元一次方程求出t的值 o 检验t值是否在运动时间范围内 o 计算对应时刻的动点位置，验证是否满足题目所有条件 二、典型问题分类解析 （一）单点运动型 例：数轴上点A表示-3，点B表示5，动点P从A出发以每秒2个单位长度向正方向运动，设运动时间为t秒。 1. 用含t的代数式表示P点位置：-3 + 2t 2. 何时P到原点距离为3？ 解：|-3 + 2t| = 3 ① -3 + 2t = 3 → t=3（此时P表示3） ② -3 + 2t = -3 → t=0（初始位置，需根据题意判断是否计入） （二）双点运动型 例：点A表示0，点B表示10，动点P从A以1单位/秒向右运动，动点Q从B以2单位/秒向左运动，同时出发。 1. 相遇问题：何时P、Q相遇？ 解：P位置：t，Q位置：10 - 2t 相遇时t = 10 - 2t → t = 10/3秒（位置为10/3） 2. 距离不变问题：何时PQ距离为4？ 解：|t - (10 - 2t)| = 4 → |3t - 10|=4 ① 3t-10=4 → t=14/3（P在Q右侧） ② 3t-10=-4 → t=2（P在Q左侧） （三）含折返/变速运动 处理技巧： 1. 分段表示位置（以折返点为分界） 例：动点从0出发，速度2单位/秒向右运动，到达5后立即以原速返回 o 0≤t≤2.5秒：位置=2t o t>2.5秒：位置=5 - 2=10 - 2t 2. 注意时间分段计算，每段内速度方向恒定 （四）中点与线段和差问题 关键公式： 中点坐标：M = (x₁ + x₂)/2 三点共线时，线段和差：若点B在A、C之间，则AC=AB+BC 例：A表示-2，B表示4，P从A以1单位/秒向右，Q从B以2单位/秒向左，何时PQ中点为原点？ 解：P位置=-2 + t，Q位置=4 - 2t 中点位置=(-2 + t + 4 - 2t)/2 = (2 - t)/2 令(2 - t)/2 = 0 → t=2秒 【例2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项． 【综合运用】 (1)填空：，线段的中点表示的数______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于，则___； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)为数轴上一动点，若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)运动秒后，点可以追上点 (4)不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，中点公式，数轴上的动点问题，单项式的系数，多项式的次数、系数的定义，一元一次方程的应用等； （1）由单项式的系数，多项式的次数、系数的定义得，，，由数轴上两点之间的距离及中点公式，即可求解； （2）由数轴上点的平移得点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，，，根据点到、、之间的距离和等于，列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）设运动秒后，点可以追上点，根据秒后表示的数相同，列方程，即可求解； （4）设的运动后表示的数为，由数轴上中点公式得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项， ，，， ， 线段的中点表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：点表示的数为， ， ， ， ， ， 当时，，解得：（舍去） 当时，，解得：（舍去） 当时，，解得：， 综上所述，， 故答案为：． （3）解：设运动秒后，点可以追上点，由题意得 ， 解得：， 答：运动秒后，点可以追上点； （4）解：不发生变化； 设的运动后表示的数为， 为中点，为中点，为中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ， ． 【变式2—1】如图，在数轴上点，，表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)请直接写出，，的长度； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点、、同时出发，运动时间为秒， ①七秒后，表示的数为 ，表示的数为 　　，表示的数为 　　． ②试探索：的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． (3)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点、同时出发，运动时间为秒．试探究：经过多少秒后，点、两点间的距离为14个单位． 【答案】(1)，， (2)①，15，41；②不变化，理由见解析 (3)秒或22秒或秒或6秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系列出方程，对点M、N运动的方向进行分类讨论． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①根据运动方向、速度以及时间，求解即可；②用t表示出、，计算即可求解； （3）分四种情况：①当点向右运动，点向左运动时；②当点、点都向右运动时；③当点向左运动，点向右运动时；④当点、点都向左运动时；根据等量关系点M、N两点间的距离为14个单位，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：根据题意，点、、表示的数分别为、、， ①当时，， ， ， ∴点、、表示的数分别为、15、41， 故答案为：，15，41． ②不变化，理由如下： 根据题意可知，，， ∴，， ∴， ∴的值不随时间的变化而变化． （3）解：①当点向右运动，点向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， ∵点的运动速度大于点的运动速度，且， ∴当点、两点间的距离为14个单位时，点在点的右侧， ∴， 解得； ②当点、点都向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ③当点向左运动，点向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ④当点、点都向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得， 综上所述，经过秒或22秒或秒或6秒，点、两点间的距离为14个单位． 【变式2—2】在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点，数轴上两点之间的距离，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关点运动后所表示的数． （1）①求出，，可得；②由，设，则，分两种情况可得为或； （2）当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为，可得，，故，解得；求出时，点与点相遇；当点与点相遇后，即时，可得，解得． 【详解】（1）解：①∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴； 故答案为：； ②∵，故设，则， 当，在原点两侧时，， ∴； 当，在原点同侧时，， ∴； 综上所述，为或； （2）解：存在某一时刻，使得，理由如下： 当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：； 当，即时，点与点相遇； 当点与点相遇后，即时，运动后表示的数为，运动后表示的数为， ∴，， ∴， 解得：； ∴的值为或． 【题型三】一元一次方程中的新定义问题 方法技巧 一、精准理解新定义是前提 1. 逐字逐句研读定义：拿到新定义问题后，必须耐心细致地阅读题目中给出的新定义描述，圈点勾画出其中的关键信息，如定义名称、核心运算规则、限制条件（包括适用范围、运算顺序、特殊规定等）。例如，若定义“a※b = 3a - 2b”，则“※”是新定义的运算符号，其核心规则是第一个数的3倍减去第二个数的2倍，这是后续解题的根本依据，绝不能凭主观臆断或与已学运算混淆。 2. 通过举例验证理解：很多新定义问题会配有示例，要认真分析示例的运算过程和结果，将其与新定义描述对应起来，通过具体实例加深对抽象定义的理解，确保完全掌握新定义的内涵和外延，明确在何种情况下使用该定义以及如何正确运用。 二、将新定义转化为数学表达式是关键 1. 用字母或代数式替换定义中的元素：根据新定义的规则，把题目中涉及的具体数字、字母或代数式，按照新定义给定的运算顺序和关系，准确地代入到新定义所描述的运算结构中，将文字描述的新定义关系转化为用数学符号表示的代数式。例如，若定义“对于任意有理数m，n，规定m⊕n = m² - mn + 1”，当遇到“x⊕2”时，就应按照规则转化为“x² - x×2 + 1 = x² - 2x + 1”。 2. 明确运算顺序与优先级：若新定义中涉及多种运算，或与常规四则运算混合，要特别注意题目中是否明确了运算顺序或优先级。如果没有明确说明，通常遵循常规的数学运算顺序（先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），但必须以新定义的具体描述为准，不能想当然。 三、根据题意建立一元一次方程是核心 1. 分析问题中的等量关系：在理解新定义并完成初步转化后，仔细分析题目要求，找出其中蕴含的等量关系。这种等量关系可能是新定义运算的结果等于某个已知数，也可能是两个新定义运算表达式之间相等，或者是新定义运算满足某种特定条件（如结果为正数、负数、零，或与某个量成倍数关系等）。 2. 设未知数并列出方程：根据找到的等量关系，设出合适的未知数（通常设题目中要求的未知量为x），然后将前面转化得到的代数式代入等量关系中，从而列出一元一次方程。例如，若题目中说“若a△b = 4a + b，且（x△2）△3 = 42，求x的值”，首先将“x△2”转化为“4x + 2”，再将其结果与3进行“△”运算，即“(4x + 2)△3 = 4×(4x + 2) + 3”，然后根据等量关系“4×(4x + 2) + 3 = 42”列出方程。 四、求解方程并检验是保障 1. 规范求解一元一次方程：按照解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）对方程进行求解。在求解过程中，要注意每一步的运算准确性，避免因粗心导致计算错误。 2. 代入新定义进行检验：解出未知数的值后，务必将其代入到原新定义问题中进行检验。检验不仅要验证方程的解是否正确（即代入方程左右两边是否相等），更要确保所求出的未知数的值在新定义的适用范围内，以及满足题目中的所有限制条件，避免出现增根或不符合题意的解。例如，若新定义中规定“a☆b = (a + b)/(a - b)”，则必须保证“a - b ≠ 0”，在求解后要检验分母是否为零。 五、典型例题解析与方法应用 例题：定义一种新运算“”：对于任意有理数a，b，有ab = 2a - b + 1。若3*x = 1，求x的值。 解析： 1. 理解新定义：“*”运算的规则是“2a - b + 1”，即第一个数的2倍减去第二个数再加上1。 2. 转化新定义表达式：将“3x”按照规则转化，这里a = 3，b = x，所以3x = 2×3 - x + 1 = 6 - x + 1 = 7 - x。 3. 建立方程：题目中给出3*x = 1，即转化后的表达式7 - x等于1，由此可列出方程：7 - x = 1。 4. 求解方程：解上述方程，移项可得 -x = 1 - 7，即 -x = -6，系数化为1得x = 6。 5. 检验：将x = 6代入3*x中，按照新定义计算：2×3 - 6 + 1 = 6 - 6 + 1 = 1，与题目中给出的结果一致，且x = 6为有理数，符合新定义的适用范围，所以x = 6是正确的解。 【例3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 【变式3—1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 【变式3—2】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程 （3知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】等式与方程 一、等式的概念与性质 1. 等式的定义：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。例如：，等。 2. 等式的性质： o 性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果，那么，。 o 性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。如果，那么，。 二、方程的相关概念 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。例如：，等。 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。例如：方程的解是。 3. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【清单02】一元一次方程及其解法 一、一元一次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 2. 标准形式：（其中(a)、(b)是常数，且）。例如：是一元一次方程，而（未知数次数是2）、（不是整式方程）都不是一元一次方程。 二、解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，约去分母。注意：不要漏乘不含分母的项。例如：解方程，两边乘6得。 2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。遵循去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例如：，。 3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。移项要变号。例如：方程，移项得。 4. 合并同类项：把方程化成的形式。例如：合并同类项得。 5. 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数(a)，得到方程的解。例如：，两边除以(-2)得。 三、解一元一次方程的注意事项 1. 每一步变形都要依据等式的性质，确保变形后的方程与原方程同解。 2. 去分母和去括号时要注意符号和漏乘问题。 3. 移项时必须改变符号，不移的项不变号。 【清单03】用一元一次方程解决问题 一、列一元一次方程解决问题的一般步骤 1. 审：审题，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。 2. 设：设未知数，一般有直接设元（设所求的量为未知数）和间接设元（设与所求量相关的其他量为未知数）两种方法。 3. 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。这是列方程的关键。 4. 列：根据相等关系列出方程。 5. 解：解所列的方程，求出未知数的值。 6. 验：检验方程的解是否符合实际意义。 7. 答：写出答案（包括单位名称）。 二、常见的实际问题类型及等量关系 1. 行程问题： o 相遇问题：速度和×相遇时间=总路程。例如：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过(t)小时相遇，A、B两地距离为(s)，则。 o 追及问题：速度差×追及时间=路程差。例如：甲、乙两人同向而行，甲在后追乙，甲的速度为，乙的速度为（），两人相距(s)，经过(t)小时甲追上乙，则。 o 路程=速度×时间：。 2. 工程问题： o 工作总量=工作效率×工作时间。 o 通常把工作总量看作单位“1”，则工作效率=1÷工作时间。例如：一项工程，甲单独做需(a)天完成，乙单独做需(b)天完成，两人合作(x)天完成，则。 3. 利润问题： o 利润=售价 - 成本价（进价）。 o 利润率。 o 售价=成本价×(1 + 利润率)。例如：一件商品进价为(a)元，按利润率(20%)定价销售，则售价为(a(1 + 20%))元。 4. 数字问题： o 一个两位数，十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数可表示为(10a + b)。例如：两位数35，十位数字3，个位数字5，可表示为(10×3 + 5=35)。 5. 和差倍分问题： o 较大量=较小量 + 多余量。 o 总量=倍数×倍量。例如：甲数是乙数的3倍，且甲数比乙数大10，设乙数为(x)，则甲数为(3x)，可列方程。 6. 行程问题中的其他类型： o 航行问题：顺水速度=静水速度 + 水流速度；逆水速度=静水速度 - 水流速度。例如：一艘船在静水中速度为(v)，水流速度为(u)，则顺水速度为(v + u)，逆水速度为(v - u)。 7. 调配问题：从调配后的数量关系中找出相等关系。例如：甲仓库有粮食(a)吨，乙仓库有粮食(b)吨，从甲仓库调出(x)吨到乙仓库后，两仓库粮食相等，则可列方程。 三、列方程解决问题的关键 准确找出题目中的等量关系，这需要对题目进行仔细分析，明确哪些量是已知的，哪些量是未知的，以及它们之间存在怎样的数量关系。可以通过画示意图、列表格等方法帮助理解题意，找出等量关系。 【题型一】列一元一次方程 【例1】根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【题型二】含参数的一元一次方程求解 【例2】如果单项式与可以合并，则关于的方程的解为（　　）． A． B． C． D． 【变式2-1】已知，．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．若关于x的方程与方程互为“成双方程”，m的值为 ． 【题型三】解一元一次方程 【例3】解方程： (1)； (2)． 【变式3-1】解方程： (1)； (2)． 【变式3-2】解方程： (1)； (2)． 【题型四】一元一次方程的应用——调配问题 【例4】一种农药，用药液和水按配制而成．要配制这种农药505千克，需要药液多少千克？ 【变式4-1】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？ 最多能制成多少台仪器？ 【变式4-2】某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【题型五】一元一次方程的应用——数字问题 【例5】观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【变式5-1】列方程解决问题：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为13，若把十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到的新两位数比原两位数大27，求这个两位数． 【变式5-2】有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【题型六】一元一次方程的应用——工程问题 【例6】一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做2天后，甲因事离去，乙加入丙一起工作，问还需几天完成？ 【变式6-1】一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成．甲、乙两人合做3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成．那么，乙还需要几天才能完成全部工程？ 【变式6-2】某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【题型七】一元一次方程的应用——行程问题 【例7】周末，甲、乙两人相约去某自行车道骑车，甲从A入口进入自行车道，向B入口方向骑行，甲出发后乙从B入口进入自行车道，向A入口方向骑行．已知A，B两地相距，甲的平均速度是，乙的平均速度是．设甲骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为___________，乙骑行的路程为___________．(用含x的代数式表示) (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值． (3)两人相遇后，甲继续以原速度向B入口骑行，乙休息后掉头按原速度返回B入口．在乙返回途中，当甲、乙两人相距时，求x的值． 【变式7-1】甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 【变式7-2】已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数，且设运动的时间为． (1)______，______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟有？ 【题型八】一元一次方程的应用——利润问题 【例8】第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海成功举行．期间，各类珠海航展文创纪念品深受广大军迷热情追捧，尤其是以歼-20和歼-35为主题的飞机模型，成为畅销品．某商场从厂家购进了A品牌飞机模型7个，B品牌飞机模型5个，共付款920元，已知每个B品牌飞机模型比每个A品牌飞机模型进价贵40元．将B品牌飞机模型按进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B品牌飞机模型仍可获利35元． (1)设每个A品牌飞机模型进价x元，则每个B品牌飞机模型进价________________元，根据题意可列方程________________． (2)由（1）求得每个A品牌飞机模型进价________元，每个B品牌飞机模型进价________元． (3)利用一元一次方程求出B品牌飞机模型的打折数． 【变式8-1】青竹湖商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于 450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ． (2)商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件? (3)在“春节”期间，商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款543元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元? 【变式8-2】学校七年级举行数学说题比赛，计划购买笔记本作为奖品．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．已知种笔记本的单价是10元，种笔记本的单价是8元． 型号 单价（元／本） 数量（本） 费用（元） 笔记本 10 笔记本 8 (1)若学校购买，两种笔记本作为奖品，设购买种笔记本本． ①根据信息填表（用含有的式子表示，需化简）． ②若购买种笔记本9本，求购买笔记本的总费用？ (2)为缩减经费，学校最终购买，，三种笔记本共30本作为奖品，其中种笔记本的单价为6元，，两种笔记本单价不变．若购买种笔记本本，种笔记本本． ①则购买种笔记本______本，购买三种笔记本的费用为______元；（请用含有，的式子表示，需化简） ②若学校购买三种笔记本的费用一共为220元，其中购买种笔记本5本，求购买种笔记本的数量． 【题型九】一元一次方程的应用——收费问题 【例9】为鼓励市民节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户居民每月用水不超过10立方米的按每立方米元计费；超过10立方米的部分按每立方米元计费． (1)若每月用水量16立方米，需交水费__________元． (2)若某户居民在某个月份用水立方米，思考并回答： 当不超过10立方米，需交水费__________元；当超过10立方米，需交水费__________元（用含有的式子表示）． (3)小颖家11月份共交水费33元，请问她家11月共用水多少立方米． 【变式9-1】某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【变式9-2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 3元/ 超出不超出的部分 5元/ 超出的部分 7元/ (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元（用含a的式子表示，并化简）？ (3)若该户居民4月份交水费元，该户居民4月份用水多少立方米？ 【题型一】方程定义与解的概念混淆 【例1】已知，为任意有理数． ①关于的方程的解为 ②关于的方程可能是一元一次方程 ③当时，关于的方程的解是 ④当时，关于的方程的解是 以上说法正确的是(   ) A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【变式1-1】下列说法，其中正确的个数是（   ） ①方程中只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列说法：①最大的负整数是；②若，则；③倒数等于本身的数是1；④若，则或；⑤是二次二项式；⑥关于x的方程是一元一次方程，则k值为任意实数．其中一定正确的是 （只需填写序号）． 【题型二】含小数、分数系数的方程化简错误 【例2】把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】将方程中分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【题型三】无解与无数解的判断 【例3】若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【变式3-1】阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【题型一】一元一次方程中的绝对值问题 方法技巧 一、核心概念与解题依据 1. 绝对值的代数定义：|a|=a（a≥0）；|a|=-a（a<0）。这是去掉绝对值符号的根本依据，体现了"分类讨论"的核心思想 2. 方程的同解原理：在等式两边进行相同运算（加、减、乘、除非零数）时，方程解不变，是变形求解的基础 二、基本题型与解题策略 （一）|ax+b|=c型方程（c≥0） 解题步骤： 1. 判断方程是否有解：当c<0时，方程无解；当c=0时，方程化为ax+b=0 2. 去绝对值符号：转化为两个一元一次方程 o ax+b = c 或 ax+b = -c 3. 分别求解：解上述两个方程得x=(c-b)/a和x=(-c-b)/a 4. 结果验证：将解代入原方程检验绝对值内表达式的符号是否符合假设 示例：解方程|2x-1|=5 解：2x-1=5 ⇒ x=3；2x-1=-5 ⇒ x=-2 验证：当x=3时，|2×3-1|=5成立；当x=-2时，|2×(-2)-1|=5成立 （二）|ax+b|=|cx+d|型方程 转化策略： 1. 平方去绝对值法：两边同时平方得(ax+b)²=(cx+d)² 2. 因式分解求解：[(a+c)x+(b+d)][(a-c)x+(b-d)]=0 3. 分类讨论法：转化为ax+b=cx+d或ax+b=-(cx+d)两个方程 关键提醒：平方后可能产生增根，必须代入原方程检验 （三）|ax+b|+|cx+d|=e型方程 区间分段法： 1. 求零点：令ax+b=0和cx+d=0，解得x1=-b/a，x2=-d/c 2. 分区间：将数轴分为x<x1、x1≤x<x2、x≥x2（假设x1<x2）三个区间 3. 分段去绝对值：在每个区间内根据绝对值内表达式的符号去绝对值符号 4. 求解并检验：在各区间内求解方程，保留符合区间范围的解 示例：解方程|x-1|+|x+2|=5 零点：x=1和x=-2，分三段讨论： x<-2时：-(x-1)-(x+2)=5 ⇒ x=-3（符合区间） -2≤x<1时：-(x-1)+(x+2)=5 ⇒ 3=5（无解） x≥1时：(x-1)+(x+2)=5 ⇒ x=2（符合区间） 综上：x=-3或x=2 【例1】（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【变式1—1】小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【变式1—2】阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【题型二】一元一次方程中的数值动点问题 方法技巧 一、核心思路与解题步骤 1. 审清题意，标注关键信息 o 明确动点运动的起点、方向、速度（单位时间内移动的单位长度） o 确定运动时间范围（注意是否会到达端点停止或折返） o 找出题目中的不变量（如线段总长、固定点位置）和等量关系 2. 用含t的代数式表示动点位置 o 设运动时间为t（通常以秒为单位） o 若动点P从点A出发，速度为v，沿直线向点B运动： 当点A表示的数为a，点B表示的数为b（b>a）时，t秒后P点表示的数为：a + vt 当运动方向为从大到小（b<a）时，t秒后P点表示的数为：a - vt 3. 根据等量关系列方程 o 利用距离公式：数轴上两点M（m）、N（n）的距离为|m-n| o 常见等量关系类型： 两点重合：位置数相等（无需绝对值） 两点距离等于定值：|位置1 - 位置2| = 定值 线段倍数关系：|位置1 - 位置2| = k×|位置3 - 位置4|（k为倍数） 中点问题：位置1 = （位置2 + 位置3）/2 4. 解方程并验证 o 解一元一次方程求出t的值 o 检验t值是否在运动时间范围内 o 计算对应时刻的动点位置，验证是否满足题目所有条件 二、典型问题分类解析 （一）单点运动型 例：数轴上点A表示-3，点B表示5，动点P从A出发以每秒2个单位长度向正方向运动，设运动时间为t秒。 1. 用含t的代数式表示P点位置：-3 + 2t 2. 何时P到原点距离为3？ 解：|-3 + 2t| = 3 ① -3 + 2t = 3 → t=3（此时P表示3） ② -3 + 2t = -3 → t=0（初始位置，需根据题意判断是否计入） （二）双点运动型 例：点A表示0，点B表示10，动点P从A以1单位/秒向右运动，动点Q从B以2单位/秒向左运动，同时出发。 1. 相遇问题：何时P、Q相遇？ 解：P位置：t，Q位置：10 - 2t 相遇时t = 10 - 2t → t = 10/3秒（位置为10/3） 2. 距离不变问题：何时PQ距离为4？ 解：|t - (10 - 2t)| = 4 → |3t - 10|=4 ① 3t-10=4 → t=14/3（P在Q右侧） ② 3t-10=-4 → t=2（P在Q左侧） （三）含折返/变速运动 处理技巧： 1. 分段表示位置（以折返点为分界） 例：动点从0出发，速度2单位/秒向右运动，到达5后立即以原速返回 o 0≤t≤2.5秒：位置=2t o t>2.5秒：位置=5 - 2=10 - 2t 2. 注意时间分段计算，每段内速度方向恒定 （四）中点与线段和差问题 关键公式： 中点坐标：M = (x₁ + x₂)/2 三点共线时，线段和差：若点B在A、C之间，则AC=AB+BC 例：A表示-2，B表示4，P从A以1单位/秒向右，Q从B以2单位/秒向左，何时PQ中点为原点？ 解：P位置=-2 + t，Q位置=4 - 2t 中点位置=(-2 + t + 4 - 2t)/2 = (2 - t)/2 令(2 - t)/2 = 0 → t=2秒 【例2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】已知，在数轴上点、、表示的数分别为、、，已知是单项式的系数，、分别是多项式的次数和常数项． 【综合运用】 (1)填空：，线段的中点表示的数______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．若点到、、之间的距离和等于，则___； (3)动点、分别从点、同时出发沿数轴向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？ (4)为数轴上一动点，若为中点，为中点，为中点，点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的长． 【变式2—1】如图，在数轴上点，，表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)请直接写出，，的长度； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点、、同时出发，运动时间为秒， ①七秒后，表示的数为 ，表示的数为 　　，表示的数为 　　． ②试探索：的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． (3)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点、同时出发，运动时间为秒．试探究：经过多少秒后，点、两点间的距离为14个单位． 【变式2—2】在数轴上，点O表示原点，对于不重合的两点A，T，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点A在数轴上表示的数是2， ①如图1，若点表示的数是， ； ②数轴上的点满足，求； (2)点T，点A分别从表示0和的点同时向右运动，点T的速度为每秒1个单位，点A的速度为每秒2个单位；当点A与点T相遇时，点T与点A的速度立刻交换并继续向右运动．设点A的运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【题型三】一元一次方程中的新定义问题 方法技巧 一、精准理解新定义是前提 1. 逐字逐句研读定义：拿到新定义问题后，必须耐心细致地阅读题目中给出的新定义描述，圈点勾画出其中的关键信息，如定义名称、核心运算规则、限制条件（包括适用范围、运算顺序、特殊规定等）。例如，若定义“a※b = 3a - 2b”，则“※”是新定义的运算符号，其核心规则是第一个数的3倍减去第二个数的2倍，这是后续解题的根本依据，绝不能凭主观臆断或与已学运算混淆。 2. 通过举例验证理解：很多新定义问题会配有示例，要认真分析示例的运算过程和结果，将其与新定义描述对应起来，通过具体实例加深对抽象定义的理解，确保完全掌握新定义的内涵和外延，明确在何种情况下使用该定义以及如何正确运用。 二、将新定义转化为数学表达式是关键 1. 用字母或代数式替换定义中的元素：根据新定义的规则，把题目中涉及的具体数字、字母或代数式，按照新定义给定的运算顺序和关系，准确地代入到新定义所描述的运算结构中，将文字描述的新定义关系转化为用数学符号表示的代数式。例如，若定义“对于任意有理数m，n，规定m⊕n = m² - mn + 1”，当遇到“x⊕2”时，就应按照规则转化为“x² - x×2 + 1 = x² - 2x + 1”。 2. 明确运算顺序与优先级：若新定义中涉及多种运算，或与常规四则运算混合，要特别注意题目中是否明确了运算顺序或优先级。如果没有明确说明，通常遵循常规的数学运算顺序（先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），但必须以新定义的具体描述为准，不能想当然。 三、根据题意建立一元一次方程是核心 1. 分析问题中的等量关系：在理解新定义并完成初步转化后，仔细分析题目要求，找出其中蕴含的等量关系。这种等量关系可能是新定义运算的结果等于某个已知数，也可能是两个新定义运算表达式之间相等，或者是新定义运算满足某种特定条件（如结果为正数、负数、零，或与某个量成倍数关系等）。 2. 设未知数并列出方程：根据找到的等量关系，设出合适的未知数（通常设题目中要求的未知量为x），然后将前面转化得到的代数式代入等量关系中，从而列出一元一次方程。例如，若题目中说“若a△b = 4a + b，且（x△2）△3 = 42，求x的值”，首先将“x△2”转化为“4x + 2”，再将其结果与3进行“△”运算，即“(4x + 2)△3 = 4×(4x + 2) + 3”，然后根据等量关系“4×(4x + 2) + 3 = 42”列出方程。 四、求解方程并检验是保障 1. 规范求解一元一次方程：按照解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）对方程进行求解。在求解过程中，要注意每一步的运算准确性，避免因粗心导致计算错误。 2. 代入新定义进行检验：解出未知数的值后，务必将其代入到原新定义问题中进行检验。检验不仅要验证方程的解是否正确（即代入方程左右两边是否相等），更要确保所求出的未知数的值在新定义的适用范围内，以及满足题目中的所有限制条件，避免出现增根或不符合题意的解。例如，若新定义中规定“a☆b = (a + b)/(a - b)”，则必须保证“a - b ≠ 0”，在求解后要检验分母是否为零。 五、典型例题解析与方法应用 例题：定义一种新运算“”：对于任意有理数a，b，有ab = 2a - b + 1。若3*x = 1，求x的值。 解析： 1. 理解新定义：“*”运算的规则是“2a - b + 1”，即第一个数的2倍减去第二个数再加上1。 2. 转化新定义表达式：将“3x”按照规则转化，这里a = 3，b = x，所以3x = 2×3 - x + 1 = 6 - x + 1 = 7 - x。 3. 建立方程：题目中给出3*x = 1，即转化后的表达式7 - x等于1，由此可列出方程：7 - x = 1。 4. 求解方程：解上述方程，移项可得 -x = 1 - 7，即 -x = -6，系数化为1得x = 6。 5. 检验：将x = 6代入3*x中，按照新定义计算：2×3 - 6 + 1 = 6 - 6 + 1 = 1，与题目中给出的结果一致，且x = 6为有理数，符合新定义的适用范围，所以x = 6是正确的解。 【例3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【变式3—1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【变式3—2】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $