清单03 一元一次方程（考点清单，5个考点清单+12种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单03 一元一次方程（考点清单，5个考点清单+12种题型解读） 【清单01】一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【清单02】等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 【清单03】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【清单04】一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点题型一 方程的相关概念】 【例1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】本题考查了方程的定义，判断一个式子是方程必须同时具备两点，一是等式，二是含有未知数． 方程就是含有未知数的等式，据此定义逐个判断即可得出案． 【分析】解：根据方程的定义可得①③④⑤⑥是方程； ②是不等式，不是方程； 故有5个式子是方程． 故选：C． 【变式1-1】已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 【变式1-2】若是方程的解，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程，得，将变形为：，即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：13． 【变式1-3】关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方程有解，可得一次项的系数不等于零． 【详解】解：由，可得， 关于的一元一次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 【变式1-4】检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 【考点题型二 等式的性质】 【例2】下列等式变形中，一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，正确记忆等式的性质是解题关键．性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故该选项是符合题意的； B、若，则或0，故该选项是不符合题意的； C、若，则，故该选项是不符合题意的； D、若，则，故该选项是不符合题意的； 故选：A 【变式2-1】下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质．解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数仍是等式． 【详解】解：A选项：已知，根据等式的基本性质两边同时减去可得：，故A选项正确； B选项：已知，根据等式的基本性质两边同时乘以可得：，故B选项错误； C选项：，把的两边同时除以可得：，故C选项正确； D选项：已知，移项可得：，故D选项正确． 故选：B． 【变式2-2】已知，用含x的式子表示 ． 【答案】 【分析】此题主要考查等式的性质变形， 根据等式的性质进行变形即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-3】（1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （3）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ． 【答案】 1 都减1 3 2 都除以 2 2 都除以2 【分析】题目考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的性质1，2是解题的关键． （1）中应用的是等式的性质1；（2）、（3）中应用的是等式的性质2． 【详解】（1）若，则，应用的是等式的性质1，变形的方法是等式两边同减1； 故答案为：1；都减1； （2）若，则，应用的是等式的性质2，变形的方法是等式两边同除以； 故答案为：3；2；都除以  ； （3）若，则，应用的是等式的性质2，变形的方法是等式两边同除以2. 故答案为：2；2；都除以2． 【变式2-4】利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】 本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的基本性质解各个方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6） 解： ． 【考点题型三 一元一次方程的相关概念】 【例3】下列各式中，是一元一次方程的有（   ） ①，②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且． 【详解】解：①的未知数的最高次数是2，所以它不是一元一次方程，故①错误； ②由得到，符合一元一次方程的定义，故②正确； ③中含有两个未知数，所以它不是一元一次方程，故③错误； ④中含有2个未知数，且次数是2，所以它不是一元一次方程，故④错误； ⑤由得到，符合一元一次方程的定义，故⑤正确； 综上所述，是一元一次方程的是②⑤，共有2个． 故选：B． 【变式3-1】在以下的式子中：；；；；；；其中是一元一次方程的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程概念，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0的整式方程是一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐一进行判断即可得． 【详解】解：和符合一元一次方程的定义，共2个； 不是等式，不符合一元一次方程的定义； 含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义； 未知数的次数是2次，不符合一元一次方程的定义； 不含未知数，不符合一元一次方程的定义； 故选：A． 【变式3-2】若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的次数是一次的方程；根据此概念得：，再求解即可． 【详解】解：由于方程是关于的一元一次方程， 所以， 解得：； 故答案为：． 【变式3-3】如果方程是关于x的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程，得：， 解得， 故答案为：1． 三、解答题 【变式3-4】已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义． （1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可； （2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解a的值． 【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，原方程为， 解得． 方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数， 关于的一元一次方程的解为， 将，代入方程中，得， 解得． 【考点题型四 解一元一次方程】 【例4】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． （1）方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 【变式4-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【变式4-2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． （1）根据移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 解得： 【变式4-3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出； （2）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出； 本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 【变式4-4】解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，， 移项， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 【考点题型五 一元一次方程的拓展解法】 【例5】阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 【变式5-1】定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 【变式5-2】若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程” (1)判断方程是否为方程的“后移方程”； (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 【答案】(1)方程是方程的后移方程 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判定即可． （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】（1）解：方程的解是， 方程的解是， 两个方程的解相差1， 方程是方程的后移方程； （2）解：， ， ，， 关于的方程是关于的方程的“后移方程”， 的解为， 把代入得：， ． 【变式5-3】我们规定x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则________． (2)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查定义新运算，解方程的综合，理解“差解方程”的概念及计算方法，掌握解方程，整式的混合运算是解题的关键． （1）根据“差解方程”的概念及计算方法，解方程的方法的综合运用即可求解； （2）根据“差解方程”的概念及计算方法，分别求出的值，代入式子计算即可． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴得，， ∵中，， ∴， 解得，， 故答案为：． （2）解：∵是“差解方程”， ∴， ∴， 同理，， ∴ ． 【变式5-4】已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程． （1）将代入可得关于的方程，解出即可得出的值； （2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解，列式求解即可； （3）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得：， 整理得， 当时，，解得． 当时，，解得， 故或时，方程的解是； （2）解：整理得， 当且时，方程无解， 解得， 故时，方程无解； （3）解：整理得， 当且时，方程有无穷多个解， 解得， 故时，方程有无穷多个解． 【考点题型六 行程问题】 【例6】甲、乙两人骑自行车分别从、两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇．相遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达地．甲每小时行多少千米？ 【答案】12千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用行程问题，审清题意找到等量关系是解决问题的关键． 设甲每小时行千米，根据“甲行驶1.5小时的路程千米甲继续行驶1小时的路程千米”列出方程并解答． 【详解】解：设甲每小时行千米，则： ． 解得． 答：甲每小时行12千米． 【变式6-1】现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 【答案】从车头相遇到车尾相离需要6秒． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒，先求出快、慢车的车长，再根据两车的路程之和=两车的车长之和列方程求解即可． 【详解】解：设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒， 由题意知，快车长为：（米）， 慢车长为：（米）， ∴， 解得， 答：从车头相遇到车尾相离需要6秒． 【变式6-2】某汽车油箱中有油，汽车匀速行驶，每小时汽车耗油，行驶时间为t小时． (1)用含t的代数式表示汽车油箱中的剩余油量； (2)当时，求油箱中的剩余油量； (3)当油箱中的剩余油量为时，汽车已行驶多长时间？ 【答案】(1) (2) (3)5小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，代数式求值： （1）汽车油箱中的剩余油量等于汽车油箱中原有的油量减去行驶时间乘以每小时的油耗，据此列式计算即可； （2）把代入（1）所求式子中求解即可； （3）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，汽车油箱中的剩余油量为； （2）解：当，， ∴当时，求油箱中的剩余油量为； （3）解：由题意得，， 解得， 答：当油箱中的剩余油量为时，汽车已行驶5小时． 【变式6-3】某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【答案】(1)从救生圈落水到被发现用了； (2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （1）根据时间=路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，根据时间的等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 答：从救生圈落水到被发现用了； （2）解：设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，依题意有 ， 解得, 答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【变式6-4】周末，小明和爸爸在的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如图所示的对话． (1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度； (2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意找准等量关系列出一元一次方程是解题关键． （1）设小明的骑行速度，则爸爸的骑行速度，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）设在第二次相遇前，再经过，小明和爸爸在跑道上相距，分两种情况讨论，再根据题意列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小明的骑行速度为，则爸爸的骑行速度为 根据题意，得： 解得： 答：小明的骑行速度为． （2）解：设在第二次相遇前，再经过，小明和爸爸在绿道上相距 ①爸爸又比小明多骑了 根据题意，得： 解得：； ②爸爸又比小明多骑了 根据题意，得： 解得：． 答：在第二次相遇前，再经过或，小明和爸爸在跑道上相距． 【考点题型七 配套问题】 【例7】在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． (1)初一（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)初一（2）班有男生人、女生人 (2)应该分配剪筒身的学生为人，分配剪筒底的为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）设初一（2）班有女生人，则利用男生的人数比女生人数的倍少人，得出等式方程求出即可； （2）利用每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个以及筒身配两个筒底，得出等式方程求出即可． 【详解】（1）解：设初一（2）班有女生人， 依据题意得出：， 解得：，则， 答：初一（2）班有男生人、女生人； （2）解：设分配剪筒身的学生为人， 依据题意得出：， 解得：，则． 答：应该分配剪筒身的学生为人，分配剪筒底的为人． 【变式7-1】某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板， 由题意，得， 解得， （人）． 答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【变式7-2】机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】安排12名工人加工大齿轮，安排20名工人加工小齿轮． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设生产大齿轮的人数为x，则生产小齿轮的人数为，再由1个大齿轮与2个小齿轮配成一套列出比例式，求出x的值即可． 【详解】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排名工人加工小齿轮， 依题意得： 解得， 则． 答：安排12名工人加工大齿轮，安排20名工人加工小齿轮． 【变式7-3】在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【答案】(1)女23人，男21人 (2)24人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设七年级（2）班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设七年级（2）班有男生x人，依题意得 ， 解得， 所以，七年级（2）班有男生21人，女生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， 所以，应该分配24名学生剪筒身． 【变式7-4】学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 【答案】需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【详解】解：设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿， 由题意得， 解得， ， 答：需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 【考点题型八 工程问题】 【例8】整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？ 【答案】女生单独完成还需要工作小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设女生单独完成还需要工作小时．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设女生单独完成还需要工作小时．根据题意得， 解得： 答：女生单独完成还需要工作小时． 【变式8-1】一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 【变式8-2】列一元一次方程解应用题 新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？ 【答案】(1)2.4 (2)2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设工作总量为1，根据工作时间工作总量工作效率和，列式即可求解． （2）设乙先做1天，再两人一起做，还需天完成这项工作，根据等量关系：甲完成的工作量乙完成的工作量工作总量，列出方程即可求解． 【详解】（1）（天． 答：两个人一起做，需要2.4天可以完成． 故答案为2.4； （2）设乙先做1天，再两人一起做，还需天完成这项工作， 由题意可得：， 解得：． 答：还需2天可以完成这项工作． 【变式8-3】课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个报告而离开教室． (1)调皮的小刘说：“让我试一试．”于是，上去添了：两人合作需要几天完成？请解答小刘所添加的问题； (2)小张说：“我也来试试”，他添了：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？ 请解答小张所添加的问题； (3)请你也提出一个可解答的问题： ． 【答案】(1)2天 (2)师傅分报酬300元，徒弟分报酬240元 (3)现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成？（答案不唯一） 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，工作效率×工资时间=工作总量的运用，解答时灵活运用工程问题的数量关系建立方程是关键． （1）设两人合作需要x天完成，由工程问题的数量关系师徒二人的工作量之和等于工作总量建立方程求出其解即可； （2）设徒弟先做1天，两人再合作y天完成，根据工作总量为1，列出方程，解方程即可得出y的值，然后求出结果即可； （3）根据题意提出一个问题即可． 【详解】（1）解：设两人合作需要x天完成， 根据题意，得， 解得：， 经检验，符合题意， 答：两人合作需要2天完成． （2）解：设徒弟先做1天，两人再合作y天完成， 根据题意，得， 解得， 经检验，符合题意， 师傅完成的工作量为：， （元）；（元）， 答：师傅分报酬300元，徒弟分报酬240元． （3）解：现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成？（答案不唯一） 【变式8-4】“要致富，先修路”，某村为了更方便的运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为50天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程? 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要30天，乙工程队单独完成此项工程需要20天 (2)甲、乙还需合作10天才能完成此项工程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据等量关系，列出方程． （1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，列出方程，解方程即可； （2）设甲、乙还需合作y天才能完成此项工程，将整个工程量看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ， 解得：， （天）， 答：甲工程队单独完成此项工程需要30天，乙工程队单独完成此项工程需要20天． （2）解：设甲、乙还需合作y天才能完成此项工程，根据题意得： ， 解得：， 答：甲、乙还需合作10天才能完成此项工程 【考点题型九 销售盈亏】 【例9】某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装10吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资一次性运完，现有A型、B型车共25辆可调用，并且恰好能把物资一次性运完，则A型车有多少辆？ 【答案】A型车有5辆，B型车有20辆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设A型车有x辆，B型车有辆，根据题意，得：，即可解答，解决本题的关键是根据等量关系列出方程组． 【详解】解：设A型车有x辆，B型车有辆， 根据题意，得：， 解得：． （辆） 答：A型车有5辆，B型车有20辆． 【变式9-1】在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可； （2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为60元； 答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元． （2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得：． 【变式9-2】为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 【答案】(1)， (2)该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键正确分析等量关系． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元），（元） ∴该企业第一次捐赠元，第二次捐赠（元）； （2）根据题意得， 解得 （个）． ∴该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 【变式9-3】某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价如下表所示： A型 B型 进价（元/台） 150 350 标价（元/台） 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台？ (2)若A型净水器按标价的8折出售，B型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共获利多少元？ 【答案】(1)A种净水器购进100台，B种净水机购进60台 (2)商场共获利28400元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）设A种净水器购进x台，B种净水机购进台，根据总金额36000元，列方程即可求解； （2）根据题意列出算式进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种净水器购进x台，B种净水机购进台， 依题意可得：， 解得：， ． 答：A种净水器购进100台，B种净水机购进60台； （2）解：（元）． 答：商场共获利28400元． 【变式9-4】请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)求一个暖水瓶与一个水杯的价格分别是多少元？ (2)某商场出售这样的暖水瓶和水杯，为了迎接新年，商场搞促销活动，规定：暖水瓶打八折．若某单位想要买5个暖水瓶和20个水杯，总共要花多少钱？ 【答案】(1)一个暖水瓶的价格20元，一个水杯的价格10元 (2)280元 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数四则混合运算的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程是解答的关键． （1）设一个暖水瓶的价格为x元，则一个水杯的价格为元，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据题意列算式求解即可． 【详解】（1）解：设一个暖水瓶的价格为x元，则一个水杯的价格为元， 由题意列方程为，解得， ， 答：一个暖水瓶的价格20元，一个水杯的价格10元； （2）解：需花费用为（元）， 答：总共要花280元． 【考点题型十 比赛积分】 【例10】列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 【答案】该班级胜负场数分别是场和场； 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键，设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为41分，再建立方程求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：该班级胜负场数分别是场和场； 【变式10-1】为开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动间进行九年级篮球比赛，每场比赛决出胜负，每队胜一场得分，负一场扣分．已知九年级一班在场比赛中得到分，问九年级一班胜、负场数分别为多少？ 【答案】九年级一班胜、负场数分别、 【分析】本题考查一元一次方程应用，考查了学生的理解题意能力，先设出胜的场数，以总分作为等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设胜了，那么负了场，根据题意得： 解得， ∴， 答：九年级一班胜、负场数分别、 【变式10-2】某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 【答案】(1)A队胜4场，平8场 (2)出场费加奖金一共17600元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜利场，列出方程求解是解题的关键． （1）设队胜利场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜利场， 一共打了12场， 平了场， ， 解得：； ， 队胜4场，平8场； （2）解：每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为元， 平了8场，奖金为元， 奖金加出场费一共17600元； 答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元． 【变式10-3】某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场记2分，负一场记1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用， （1）设胜一场记分，则负一场记分，根据表格列方程求解即可； （2）设胜场数是，负场数是，根据题意算出的值，结合实际情况即可求解． 【详解】（1）解：设胜一场记分，则负一场记分， 根据题意得：， 解得， ， 答：胜一场记2分，负一场记1分； （2）解：胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数是，负场数是， 依题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴不符合题意， ∴胜场总积分不能等于负场总积分． 【变式10-4】某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)6，； (2)他答对了道题； (3)不可能，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）根据参赛者A和B的得分情况即可求解； （2）设答对道题，列方程或即可求解； （3）解方程，即可判断； 【详解】（1）解：由参赛者A的得分情况可知：参赛者答对1道题得：（分）； 参赛者B的得分情况可知：参赛者答错1道题得：（分）； 故答案为：6，； （2）解：设答对道题，根据题意得： 或 答：他答对了道题 （3）解：不可能，理由如下： 不是整数 他不可能得分 【考点题型十一 方案选择】 【例11】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 【变式11-1】小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【答案】(1)元，元 (2)年 (3)折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意计算出两种冰箱一年的用电费用即可； （2）设使用x年时，两种冰箱用去的总费用相同，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设需要打y折才能使购买两种冰箱的总费用一样，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：型冰箱：元， 型冰箱：元； （2）解：设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：使用年时，两种冰箱用去的总费用相同； （3）解：设需要打折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 根据题意得：， 解得：， 答：需要打折． 【变式11-2】某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案二获利最多，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，先分别求出两种方案的获利多少，然后进行比较即可． 【详解】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为：（元）； 方案二：设生产x天奶片，则生产天酸奶， 根据题意得：， 解得：， 3天生产酸奶，加工的鲜奶（吨）， 则利润为：（元）； ∵， ∴第二种方案获利最多． 【变式11-3】根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)求杯子和暖瓶的单价． (2)甲、乙两家超市同时出售这样的杯子和暖瓶，并开展促销活动．甲超市的促销方式为两种商品都打九折，乙超市的促销方式为购买一个暖瓶赠送一个杯子．某饭店需要购买10个暖瓶和50个杯子，选择哪家超市购买更合算，请说明理由． 【答案】(1)杯子的单价为8元，暖瓶的单价为35元； (2)选择乙超市购买合算，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买1个暖瓶、2个水杯共需51元，购买2个暖瓶、3个水杯共需94元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据两超市的促销方案，分别求出到两超市购买所需的费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设暖瓶每个元，杯子每个元， 则， 解得， 答：杯子的单价为8元，暖瓶的单价为35元． （2）解：若选择甲超市： 则费用为：（元）， 若选择乙超市： 则费用为：（元）， ， 选择乙超市购买合算． 【变式11-4】有两种移动电话手机卡，其收费方式如表： 全球通卡 神州行卡 月租费 元月 元月 通话费 元分钟 元分钟 (1)一个月的通话时间是多少分钟，两种收费方式交费相同？ (2)一个月内在本地通话分钟，则选择 卡更划算：一个月内在本地通话分钟，则选择 卡更划算． 【答案】(1)一个月的通话时间是分钟，两种收费方式交费相同 (2)本地通话分，选择神州行；本地通话分，选择全球通卡 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）设一个月的通话时间是分钟时，两种收费方式相同，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到答案． （2）根据表格中两种收费方式计算即可，进而比较费用即可求解； 【详解】（1）设一个月的通话时间是分钟时，两种收费方式相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月的通话时间是200分钟，两种收费方式交费相同． （2）解：本地通话100分，全球通卡收费（元）； 神州行收费（元）； ∵， ∴本地通话分，选择神州行； 本地通话300分，全球通卡收费（元）； 神州行收费（元）； ∵ ∴本地通话分，选择全球通卡 【考点题型十二 几何问题】 【例12】如图，O为数轴的原点，面积为12的长方形的边在数轴上，的长为．    (1)点A表示的数为______；（直接写结果） (2)将长方形在数轴上水平移动，移动后的长方形记为，若移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是4，求点表示的数． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，解一元一次方程的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据几何的面积可得，由此即可求解； （2）根据图形的平移，分类讨论：当长方形在数轴上水平向右移动时，根据题意可得；当长方形在数轴上水平向左移动时，根据题意可得；由此即可求解． 【详解】（1）解：长方形的边在数轴上，的长为，面积为， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：4； （2）解：当长方形在数轴上水平向右移动时，如图所示，    ∵移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是4， ∴， 解得，， ∴点表示的有理数为：， ∴点表示的有理数为：； 当长方形在数轴上水平向左移动时，如图所示，    ∵移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是4， ∴， 解得，， ∴点表示的有理数为：； 综上所述，点表示的数为或． 【变式12-1】如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． (1)______． (2)当点在运动时，用含的代数式表示的长． (3)请直接写出当为何值时，的面积等于6． 【答案】(1)4 (2) (3)t的值为或4或6或时，的面积等于6 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据点是的中点，求出即可； （2）分P在E的左侧和右侧两种情况讨论即可； （3）分P在，，，上讨论即可． 【详解】（1）解：∵点是的中点，， ∴； （2）解：P在上运动的时间为， P从C运动到E需要， P从C运动到B需要， 当P在E的左侧时，即，； 当P在E的右侧时，即，； 综上分析可知：； （3）解：当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时，过点E作于G， ∵， ∴， 即， 解得， 根据题意，得， 解得； 综上，当t的值为或4或6或时，的面积等于6． 【变式12-2】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）： (1)当P、Q两点相遇时，求t的值； (2)在整个运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）； 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】本题考查了动点问题及全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用． （1）当P、Q两点相遇时，它们运动的路程之和为，据此列方程并求解即可解答； （2）根据题意，分情况列代数式表示即可． 【详解】（1）解：运动t秒时，点P的运动路程为t，点Q的运动路程为， 当它们相遇时，则， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为秒． （2）由题意可知，点运动的路线长为， 当时，点P在上，． 当时，点P在上，． 【变式12-3】将长为1，宽为a的长方形纸片如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止， (1)第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为______；（用含a的代数式表示） (2)若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则求a的值，写出解答过程； (3)若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，如图，试求a的值． 【答案】(1)a， (2)，见解析 (3)或 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解． （1）根据题意求出经过第一次操作后可知剩下的长方形的边长即可； （2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则第一次操作后剩下的长方形的的长为宽的2倍，由此可得一元一次方程，即可进行求解； （3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则第二次操作后剩下的长方形的的长为宽的2倍，由此可得一元一次方程，即可进行求解． 【详解】（1）解：第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为a，． （2）解：若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则或， 解得：或（舍去）． （3）解：若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形， 则或， 解得：或． 【变式12-4】如图，已知数轴上有A．B．C三个点，它们表示的数分别是，，10．    (1)填空：________，________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点B以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒7个单位长度向左运动．问： ①点A运动多少秒时追上点B？ ②点A运动多少秒时与点C相遇？ 【答案】(1)； (2)①7秒；②秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据两点之间的距离的概念可以计算； （2）①设点A运动t秒时追上B，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；②设点A运动m秒时与点C相遇，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：∵数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，，10， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①设点A运动t秒时追上点B， 由题意得，， 解得， ∴点A运动7秒时追上点B， ②点A运动m秒时与点C相遇， 由题意得，， 解得， ∴点A运动秒时与点C相遇． 【考点题型十三 水电费问题】 【例13】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)元 (2) (3)立方米 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系， （1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可； （2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可； （3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过立方米，把代入（2）的式子计算即可． 【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：（元），超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费， ∵小丽家某月用煤气量为80立方米， ∴超过部分的费用为（元）， ∴丽家该月应交煤气费为（元）； （2）解：∵每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元， ∴； （3）解：∵， ∴小丽家4月份的煤气超过立方米， 把代入（2）中的式子得，， 解得，， ∴她家4月份所用煤气为立方米． 【变式13-1】某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【答案】(1)； (2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样． 【变式13-2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)小明家3月份的用水量是25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元）； （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元） 如果一个月用水18吨，则需水费：（元） 3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为吨， 依题意可得： 解得： 答：小明家3月份的用水量是25吨． 【变式13-3】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，与之间的关系式； (2)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ (3)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)小丽家4月份用煤气90立方米 (3)6月份小丽家用了80立方米的煤气 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据题意计算即可； （2）设小丽家4月份所用煤气量为x立方米，先判断x是否大于50，然后代入对应的关系式中求值即可； （3）设6月份小丽家用了a立方米的煤气，先判断a是否大于50，然后根据题意列方程，并解方程即可； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：设小丽家4月份用煤气立方米， （元），而88元＞40元， 根据题意得：， 解得：， 答：小丽家4月份用煤气90立方米； （3）解：设6月份小丽家用了立方米的煤气， 根据题意得：， 解得：， 答：6月份小丽家用了80立方米的煤气． 【变式13-4】综合与实践 为提倡节约用水，某地实施价格调控．该地自来水公司的收费价格如下表：（水费按月结算，表示立方米） 价 目 表 每月用水量 价格 不超过的部分 3元/ 超过不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 根据表中的内容，解答下列问题： (1)小张家四月份的用水量为，应缴水费________元． (2)若小张家某月的用水量为，试用含a的式子表示应缴水费． (3)已知小张家八月份缴纳水费30元，求小张家八月份的用水量． 【答案】(1) (2)当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元； (3)小张家八月份的用水量为吨 【详解】（1）解：元， ∴小张家四月份的用水量为，应缴水费元； 故答案为：； （2）解：当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； （3）解：∵， ∴小张家八月份用水量超过不超过， ∴， 解得， ∴小张家八月份的用水量为吨． 【考点题型十四 一元一次方程的新定义问题】 【例14】已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且，现将A、B之间的距离记作，定义． (1)①求的值； ②求的值． (2)设点P在数轴上对应的数是x，且求x的值． (3)设点Q在数轴上对应的数是m，当时，请直接写出m的值． 【答案】(1)①2014；②5 (2)3或 (3)3或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数， （1）根据绝对值和平方的非负性，可求出a，b的值，即可解答； （2）根据点A的位置和可知点P有两种可能，进而求出答案； （3）分两种情况，根据两点之间的距离求出答案即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得． 当时，； ； （2）∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）∵， ∴点Q不在线段上． 当点Q在点A左侧时，， 解得； 当点Q在点B右侧时，， 解得． 所以m的值是或3． 【变式14-1】定义：数轴上有，两点，若点到原点的距离为点到原点的距离的两倍，则称点为点的2倍原距点．已知互不重合的三点，，在数轴上表示的数分别为4，，． (1)若点是点的2倍原距点， ①当点在数轴正半轴上时，则______； ②当点在数轴负半轴上，且点与点的距离等于点与点的距离，判断点是否是点的2倍原距点，并说明理由； (2)若点，分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点每秒运动速度为2个单位长度，点每秒运动速度为个单位长度．若点为点的2倍原距点时，点恰好也是点的2倍原距点，请求出所有可能的值． 【答案】(1)①；②点是点的2倍原距点，理由详见解析； (2)或8或或． 【分析】本题考查了数轴中的距离，解一元一次方程，绝对值等知识．解题的关键在于根据数量关系列等式并正确的求解． （1）①根据，且，可得；②求出，再利用得出n的值，表示距离确定关系即可． （2）设t秒时，点M为点A的倍原距点，点A恰好也是点N的倍原距点；由求出t的值，将t值代入求出a的所有可能值即可． 【详解】（1）①解：点是点的2倍原距点， ∴， 又∵点在数轴正半轴上时， ∴， 故答案为：； ②， ． 点与点的距离等于点与点的距离， ，解得． ，， 故点是点的2倍原距点． （2）设运动时间为秒，因为点为点的2倍原距点，所以秒时点表示的数为8或， 或， 解得或9． 因为点恰好也是点的2倍原距点， 所以秒时点表示的数为2或， 当时，或， 解得或， ②当时，或， 解得或， 综上所述，a的值为或8或或． 【变式14-2】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可； （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可． 【详解】（1）∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴，． 【变式14-3】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及新定义运算： （1）根据“友好方程”的定义，结合的解为，得的解为。代数列式，即可作答． （2）根据“友好方程”的定义，先表达某“友好方程”的两个解分别为，再列式计算，即可作答． （3）先表达某“友好方程”的两个解分别为，，根据“友好方程”的定义再列式计算，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的解为 因为关于的方程与方程是“友好方程”， 所以关于的方程的解为， 所以， 所以 （2）解：∵某“友好方程”的一个解为， ∴“友好方程”的另一个解为， 所以或， 所以或 （3）解：对于方程， 解为， 对于方程， 解为， 由题意可知：， 解得 【变式14-4】定义：若，则称m与n是关于3的巧数．. (1)1与 　　是关于3的巧数，与 　　是关于3的巧数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的巧数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的巧数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1)2，； (2)a与b是关于3的巧数，理由见解析； (3)k的值为0或1或3或7． 【分析】（1）根据“关于3的巧数”定义列式计算即可； （2）求出，再根据“关于3的巧数”的定义判断； （3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：， 1与2是关于3的巧数， ， 与是关于3的巧数， 故答案为：2，； （2） ， ∴a与b是关于3的巧数； （3）c与d是关于3的巧数， ， x为正整数，k是非负整数， 或或或， k的值为0或1或3或7． 【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义和一元一次方程，解题的关键读懂“关于3的巧数”的定义． 【考点题型十五 整体思想解决问题】 【例15】若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，将代入可得到，再整体代入，即可得出答案．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ， ， 故答案为：． 【变式15-1】阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式15-2】用整体思想解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 【变式15-3】数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 【答案】见解析 【分析】本题考查解一元一次方程．按照两人的方法，逐一进行求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算． 【详解】解：小亮：原方程可化为 ； 小颖：原方程可化为 【考点题型十六 分类讨论解决问题】 【例16】阅读理解： 定义：在数轴上表示x和y的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有A、B、C三点，A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6，C为的中点，则点C所对应的数是______． (2)直接写出的最小值，并求相应的x的值或取值范围； (3)若数轴上点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点P到点M的距离是到点N距离的2倍？ 【答案】(1)或； (2)最小值1时，x的取值范围； (3)或8秒． 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据两点之间距离的计算方法，当表示数的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，由此即可求解； （3）根据题意，设运动时间为，则点表示的数为，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6， ∴当B点在A点的右边时，， ∴点B表示的数的为2， ∴点C表示的数为：； 当B点在A点的左边时，， ∴点B表示的数的为， ∴点C表示的数为：； 故答案为：或； （2）解：根据题意，表示的是表示数的点与表示数的点距离，加上表示数的点与表示数的点距离， ∴当表示数的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，最小值为， ∴x的取值范围； （3）解：点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，设运动时间为， ∴点表示的数为， ∴当点在之间时，， 解得，； 当点在点右边时，， 解得，； 综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒． 【变式16-1】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数x到原点的距离为4，x可能在原点左边4个单位，此时x的值为 ，x也可能在原点右边4个单位，此时x的值为 ． (2)x与3之间的距离表示为 ，结合上面的理解，若，则 ． (3)当x是 时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，4 (2)，5或1 (3)0或7 (4)2或3秒 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）去绝对值符号解方程即可； （3）分当时，当时，当时三种情况分析即可； （4）设运动时间为t秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，然后分①当P在Q左侧时，②当P在Q右侧时两种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上数x到原点的距离为4， ∴x在原点左边4个单位时，x的值为，x在原点右边4个单位时，x的值为4， 故答案为：，4； （2）解：根据题意：x与3之间的距离表示为， 当时，；当时，； 故答案为：，5或1； （3）解：当时，， 解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 解得：， 综上可知：当或7时，代数式， 故答案为：0或7； （4）解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数4， 设运动时间为t秒， ∵P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴①当P在Q左侧时， ， 解得：； ②当P在Q右侧时， ， 解得：； ∴运动2或3秒后，． 【变式16-2】如图，点A表示的数是，点表示的数是4，点P从点A出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动 (1)t秒后，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ，（用含t的代数式表示） (2)在运动过程中，当点P与点Q重合时，求t的值； (3)在运动过程中，当线段时，求t的值； (4)在运动过程中，当或时，直接写出t的值． 【答案】(1)点P表示的数是，点Q表示的数是 (2) (3)或 (4)或或或． 【分析】本题考查利用数轴表示数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可直接得出点P表示的数是，点Q表示的数是； （2）当点P与点Q重合时，即点P与点Q表示同一个数，即可列出关于t的等式，求解即可； （3）由题意可知，即可列出关于t的等式，求解即可； （4）由题意可知，，结合题意列出关于t的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵点P从点A出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴t秒后，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：，； （2）解：当点P与点Q重合时，即， 解得：； （3）解：当时，即， 解得：或； （4）解：由题意可知，． 当时，即， 解得：或； 当时，即， 解得：或． 综上可知或或或． 【变式16-3】数轴上，，三点对应的有理数分别为，和，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为． 初步探究： (1)线段的长度为 个单位长度；线段的长度为 个单位长度． 归纳总结： (2)若数轴上有，两点，对应的有理数分别为，，且，则线段长度为 个单位长度（用含，的代数式表示） 新知应用： (3)①当时，点表示的有理数为 ，线段的长度为 个单位长度；（用含的代数式表示） ②当为 时，点到点与到点的距离相等； ③当为 时，点到点的距离为个单位长度． 【答案】(1)； (2) (3)①；；②；③或 【分析】本题考查了数轴上的数之间的距离，解题的关键在于会求数轴上两点间的距离． （1）直接利用两点之间的距离可得答案； （2）根据第（1）问得出数轴上求两点间距离用右侧减左侧，即大数减小数； （3）①向右移动后对应的数为起点对应的数加上移动距离可得答案； ②用代数式表示点到点的距离与点到点的距离，利用等量关系列出方程即可求解； ③用代数式表示点到点的距离，利用等量关系列出方程即可求解，点到点的距离需要注意分类讨论． 【详解】（1）解：数轴上，两点对应的有理数分别为和， 线段的长度为， 故答案为：； 数轴上，两点对应的有理数分别为，， 线段的长度为， 故答案为：； （2）解：数轴上有，两点，对应的有理数分别为，，且， 线段长度为， 故答案为：； （3）解：①动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动且运动时间为， 点运动距离为， 点表示的有理数为， 故答案为：； 点表示的有理数为，数轴上点对应的有理数为，点在的左侧， 线段的长度为， 故答案为：； ②点到点与到点的距离相等， ， 数轴上， 三点对应的有理数分别为，，点表示的有理数为， ， 解得， 故答案为：； ③动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，运动时间为， 点运动距离为， 点表示的有理数为， 点到点的距离为个单位长度， ， 点表示的有理数为， ， ， 解得或， 故答案为：或． 【变式16-4】小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1)6 (2)①1秒；②的值为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置结合数轴上两点距离计算公式可得长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求出面积即可； （2）①从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，据此计算重叠面积不变的时长即可；②分当点在之间，当点在之间，两种情况根据重叠部分为长方形结合长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的长为，宽为， ∴一个长方形的面积为， 故答案为：6； （2）解：①∵左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动， ∴从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，为； ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4， ∴，， （秒），（秒），（秒）， ∴在移动的过程中，两个长方形重叠部分面积保持不变的时间为1秒．             ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，分两种情况： 当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得．             当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得． ∴当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元一次方程（考点清单，5个考点清单+12种题型解读） 【清单01】一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个，未知数的次数为 ②未知数所在的式子是即分母中不含 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 【清单02】等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 【清单03】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去，再去，最后去 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，移到方程另一边． (4)合并：逆用分配律，分别合并含有未知数的及，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的代入原方程，若方程左右两边的值，则是方程的；若方程左右两边的值则不是方程的解． 【清单04】一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点题型一 方程的相关概念】 【例1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】若是方程的解，则的值为 ． 【变式1-3】关于x的一元一次方程有解，则m的值为 ． 【变式1-4】检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【考点题型二 等式的性质】 【例2】下列等式变形中，一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】已知，用含x的式子表示 ． 【变式2-3】（1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （3）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ． 【变式2-4】利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点题型三 一元一次方程的相关概念】 【例3】下列各式中，是一元一次方程的有（   ） ①，②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】在以下的式子中：；；；；；；其中是一元一次方程的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【变式3-3】如果方程是关于x的一元一次方程，那么 ． 三、解答题 【变式3-4】已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 【考点题型四 解一元一次方程】 【例4】解方程： (1)； (2)． 【变式4-1】解方程： (1)； (2)． 【变式4-2】解方程： (1) (2) 【变式4-3】解方程： (1)； (2)． 【变式4-4】解方程： (1)； (2)； 【考点题型五 一元一次方程的拓展解法】 【例5】阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【变式5-1】定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【变式5-2】若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程是方程的“后移方程” (1)判断方程是否为方程的“后移方程”； (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 【变式5-3】我们规定x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则________． (2)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【变式5-4】已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【考点题型六 行程问题】 【例6】甲、乙两人骑自行车分别从、两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇．相遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达地．甲每小时行多少千米？ 【变式6-1】现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 【变式6-2】某汽车油箱中有油，汽车匀速行驶，每小时汽车耗油，行驶时间为t小时． (1)用含t的代数式表示汽车油箱中的剩余油量； (2)当时，求油箱中的剩余油量； (3)当油箱中的剩余油量为时，汽车已行驶多长时间？ 【变式6-3】某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【变式6-4】周末，小明和爸爸在的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如图所示的对话． (1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度； (2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距？ 【考点题型七 配套问题】 【例7】在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． (1)初一（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式7-1】某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【变式7-2】机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【变式7-3】在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【变式7-4】学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 【考点题型八 工程问题】 【例8】整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成．现在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？ 【变式8-1】一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【变式8-2】列一元一次方程解应用题 新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？ 【变式8-3】课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个报告而离开教室． (1)调皮的小刘说：“让我试一试．”于是，上去添了：两人合作需要几天完成？请解答小刘所添加的问题； (2)小张说：“我也来试试”，他添了：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？ 请解答小张所添加的问题； (3)请你也提出一个可解答的问题： ． 【变式8-4】“要致富，先修路”，某村为了更方便的运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少10天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为50天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程? 【考点题型九 销售盈亏】 【例9】某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装10吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资一次性运完，现有A型、B型车共25辆可调用，并且恰好能把物资一次性运完，则A型车有多少辆？ 【变式9-1】在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 【变式9-2】为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 【变式9-3】某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价如下表所示： A型 B型 进价（元/台） 150 350 标价（元/台） 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台？ (2)若A型净水器按标价的8折出售，B型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共获利多少元？ 【变式9-4】请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)求一个暖水瓶与一个水杯的价格分别是多少元？ (2)某商场出售这样的暖水瓶和水杯，为了迎接新年，商场搞促销活动，规定：暖水瓶打八折．若某单位想要买5个暖水瓶和20个水杯，总共要花多少钱？ 【考点题型十 比赛积分】 【例10】列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 【变式10-1】为开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动间进行九年级篮球比赛，每场比赛决出胜负，每队胜一场得分，负一场扣分．已知九年级一班在场比赛中得到分，问九年级一班胜、负场数分别为多少？ 【变式10-2】某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 【变式10-3】某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． 【变式10-4】某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【考点题型十一 方案选择】 【例11】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【变式11-1】小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【变式11-2】某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【变式11-3】根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)求杯子和暖瓶的单价． (2)甲、乙两家超市同时出售这样的杯子和暖瓶，并开展促销活动．甲超市的促销方式为两种商品都打九折，乙超市的促销方式为购买一个暖瓶赠送一个杯子．某饭店需要购买10个暖瓶和50个杯子，选择哪家超市购买更合算，请说明理由． 【变式11-4】有两种移动电话手机卡，其收费方式如表： 全球通卡 神州行卡 月租费 元月 元月 通话费 元分钟 元分钟 (1)一个月的通话时间是多少分钟，两种收费方式交费相同？ (2)一个月内在本地通话分钟，则选择 卡更划算：一个月内在本地通话分钟，则选择 卡更划算． 【考点题型十二 几何问题】 【例12】如图，O为数轴的原点，面积为12的长方形的边在数轴上，的长为．    (1)点A表示的数为______；（直接写结果） (2)将长方形在数轴上水平移动，移动后的长方形记为，若移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积是4，求点表示的数． 【变式12-1】如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． (1)______． (2)当点在运动时，用含的代数式表示的长． (3)请直接写出当为何值时，的面积等于6． 【变式12-2】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F．设点P的运动时间为t（秒）： (1)当P、Q两点相遇时，求t的值； (2)在整个运动过程中，求的长（用含t的代数式表示）； 【变式12-3】将长为1，宽为a的长方形纸片如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止， (1)第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为______；（用含a的代数式表示） (2)若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则求a的值，写出解答过程； (3)若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，如图，试求a的值． 【变式12-4】如图，已知数轴上有A．B．C三个点，它们表示的数分别是，，10．    (1)填空：________，________； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点B以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒7个单位长度向左运动．问： ①点A运动多少秒时追上点B？ ②点A运动多少秒时与点C相遇？ 【考点题型十三 水电费问题】 【例13】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【变式13-1】某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【变式13-2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【变式13-3】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，与之间的关系式； (2)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ (3)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 【变式13-4】综合与实践 为提倡节约用水，某地实施价格调控．该地自来水公司的收费价格如下表：（水费按月结算，表示立方米） 价 目 表 每月用水量 价格 不超过的部分 3元/ 超过不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 根据表中的内容，解答下列问题： (1)小张家四月份的用水量为，应缴水费________元． (2)若小张家某月的用水量为，试用含a的式子表示应缴水费． (3)已知小张家八月份缴纳水费30元，求小张家八月份的用水量． 【考点题型十四 一元一次方程的新定义问题】 【例14】已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且，现将A、B之间的距离记作，定义． (1)①求的值； ②求的值． (2)设点P在数轴上对应的数是x，且求x的值． (3)设点Q在数轴上对应的数是m，当时，请直接写出m的值． 【变式14-1】定义：数轴上有，两点，若点到原点的距离为点到原点的距离的两倍，则称点为点的2倍原距点．已知互不重合的三点，，在数轴上表示的数分别为4，，． (1)若点是点的2倍原距点， ①当点在数轴正半轴上时，则______； ②当点在数轴负半轴上，且点与点的距离等于点与点的距离，判断点是否是点的2倍原距点，并说明理由； (2)若点，分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点每秒运动速度为2个单位长度，点每秒运动速度为个单位长度．若点为点的2倍原距点时，点恰好也是点的2倍原距点，请求出所有可能的值． 【变式14-2】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【变式14-3】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值． 【变式14-4】定义：若，则称m与n是关于3的巧数．. (1)1与 　　是关于3的巧数，与 　　是关于3的巧数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的巧数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的巧数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【考点题型十五 整体思想解决问题】 【例15】若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【变式15-1】阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【变式15-2】用整体思想解方程． 【变式15-3】数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 【考点题型十六 分类讨论解决问题】 【例16】阅读理解： 定义：在数轴上表示x和y的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有A、B、C三点，A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6，C为的中点，则点C所对应的数是______． (2)直接写出的最小值，并求相应的x的值或取值范围； (3)若数轴上点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点P到点M的距离是到点N距离的2倍？ 【变式16-1】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数x到原点的距离为4，x可能在原点左边4个单位，此时x的值为 ，x也可能在原点右边4个单位，此时x的值为 ． (2)x与3之间的距离表示为 ，结合上面的理解，若，则 ． (3)当x是 时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【变式16-2】如图，点A表示的数是，点表示的数是4，点P从点A出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动 (1)t秒后，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ，（用含t的代数式表示） (2)在运动过程中，当点P与点Q重合时，求t的值； (3)在运动过程中，当线段时，求t的值； (4)在运动过程中，当或时，直接写出t的值． 【变式16-3】数轴上，，三点对应的有理数分别为，和，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为． 初步探究： (1)线段的长度为 个单位长度；线段的长度为 个单位长度． 归纳总结： (2)若数轴上有，两点，对应的有理数分别为，，且，则线段长度为 个单位长度（用含，的代数式表示） 新知应用： (3)①当时，点表示的有理数为 ，线段的长度为 个单位长度；（用含的代数式表示） ②当为 时，点到点与到点的距离相等； ③当为 时，点到点的距离为个单位长度． 【变式16-4】小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$