专题03 一元一次方程（期末复习专项训练，10大题型）七年级数学上学期新教材苏科版

专题03 一元一次方程 题型1 一元一次方程的定义与解（常考点） 题型6 解一元一次方程（常考点） 题型2 等式的基本性质（常考点） 题型7 一元一次方程的应用——行程问题（难点） 题型3 列一元一次方程（常考点） 题型8 一元一次方程的应用——销售、利润问题（难点） 题型4 一元一次方程的应用——数字问题（常考点） 题型9 一元一次方程的应用——收费问题（难点） 题型5 一元一次方程的应用——工程问题（重点） 题型10 一元一次方程的新定义（难点） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元一次方程的定义与解（常考点） 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的方程的解，则代数式的值为（    ） A．7 B．11 C．12 D．13 3．关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值 0 1 2 3 1 3 5 则关于的方程的解为 ． 题型二 等式的基本性质（常考点） 1．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 3．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为 ． 题型三 列一元一次方程（常考点） 1．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 2．现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为 ． 题型四 一元一次方程的应用——数字问题（常考点） 1．一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（   ） A．54 B．72 C．45 D．63 2．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为 ． 3．一个三位数，从左到右的三个数字正好是从大到小排列的3个连续的正整数，这个数的比百位数字和个位数字交换位置后所得的新数小238，求原来的三位数． 题型五 一元一次方程的应用——工程问题（重点） 1．一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了 天假． 3．在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 题型六 解一元一次方程（常考点） 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 题型七 一元一次方程的应用——行程问题（难点） 1．甲、乙两车分别从相距260千米的两地同时出发，甲的速度为70千米/小时，乙的速度是50千米/小时，若相向而行，经过多少小时两人相距20千米？ 2．小明和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥小明刚好相遇了20次（出发时不算），求： (1)哥哥速度是小明速度的多少倍？ (2)哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？ 3．某高速公路上有一隧道长2110米．现有货车从隧道匀速通过．测得货车从开始进入隧道到完全通过隧道共用了106秒（即从车头进入隧道口到车尾离开隧道），整个货车完全在隧道内的时间为105秒．隧道内平均行驶速度不得低于，又不得高于． (1)如果设这辆货车的长度为米，填写下表（不需要化简）： 货车行驶过程 时间（秒） 路程（米） 速度（米/秒） 完全通过隧道 106 整辆车在隧道内 105 (2)求这辆货车的长度； (3)这辆货车是按规定的速度行驶的吗？请说明理由． 题型八 一元一次方程的应用——销售、利润问题（难点） 1．春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 2．某商场出售的甲种商品每件售价元，利润为元；乙种商品每件进价元，售价元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按售价打九折 超过元 按售价打八折 (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品的利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，恰好总进价为元，问购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小红第一天只购买甲种商品，实际付款元，第二天只购买乙种商品，实际付款元，问：小红这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 3．某商场销售一种夹克和T恤，夹克每件定价元，T恤每件定价元，商场在开展促销活动期间，向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一件夹克送一件T恤 方案二：夹克和T恤均按定价的付款 现有顾客要到该商场购买夹克件，T恤x件，（） (1)按方案一购买夹克和T恤共需付款______元，（用含x的式子表示）；按方案二购买夹克和T恤共需付款______元，（用含x的式子表示） (2)通过计算说明，购买多少件时，两种方案付款一样多．（用一元一次方程解答） (3)当时，方案一，方案二哪种方案更省钱？（列式回答） 题型九 一元一次方程的应用——收费问题（难点） 1．目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 2．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 3．某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 题型十 一元一次方程的新定义（难点） 1．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 2．规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“阳光方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“阳光方程”．请根据上述规定解答下列问题． (1)一元一次方程______（填“是”或“不是”）“阳光方程”． (2)若关于的一元一次方程是“阳光方程”，求的值． (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“阳光方程”，求代数式的值． 3．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． $专题03 一元一次方程 题型1 一元一次方程的定义与解（常考点） 题型6 解一元一次方程（常考点） 题型2 等式的基本性质（常考点） 题型7 一元一次方程的应用——行程问题（难点） 题型3 列一元一次方程（常考点） 题型8 一元一次方程的应用——销售、利润问题（难点） 题型4 一元一次方程的应用——数字问题（常考点） 题型9 一元一次方程的应用——收费问题（难点） 题型5 一元一次方程的应用——工程问题（重点） 题型10 一元一次方程的新定义（难点） 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元一次方程的定义与解（常考点） 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、左边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．若是关于的方程的解，则代数式的值为（    ） A．7 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值；根据题意将代入方程，得出，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， ∴， 故选：D． 3．关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值 0 1 2 3 1 3 5 则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；因此此题可根据表格中的数据进行求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知：当时，，， ∴关于的方程的解为； 故答案为：． 题型二 等式的基本性质（常考点） 1．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的基本性质，掌握 “等式两边同时加、减、乘同一个数（或式），等式仍成立；除以同一个数（或式）时需保证除数不为 0” 是解题的关键．根据等式的性质，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立进行判断即可． 【详解】 等式变形必须基于等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立． A．如果，那么，故选项不符合题意； B．如果，那么，故选项不符合题意； C．如果，两边同乘，得，故选项符合题意； D．如果，但可能为零，当时，不成立，故选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵天平①平衡， ∴， ∴，即， ∴天平一定平衡的是C， 故选：C． 3．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查列方程，等式的性质，根据题意，得到，根据等式的性质，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：7． 题型三 列一元一次方程（常考点） 1．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 2．现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程．根据实际售价-进价=利润，用代数式表示出售价，进价，利润即可解题． 【详解】解：设每件商品的进价为元，依题意得： ， 故选：C． 3．3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程，找到正确的等量关系是解题的关键. 【详解】解：由题意得八年级师生植树量可表示为， 则可列方程为：， 故答案为： ． 题型四 一元一次方程的应用——数字问题（常考点） 1．一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（   ） A．54 B．72 C．45 D．63 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设个位上的数为，则十位上的数为，根据个位上的数与十位上的数的和等于9，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为， 个位上的数与十位上的数的和等于9， ， 解得， 个位上的数为，十位上的数为， 则这个两位数是72； 故选：B． 2．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9，则原来的两位数为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设十位数字为，则个位数字为，表示原数和新数，根据新数比原数小9列方程求解即可． 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为；由题意得： ， 解得：， ∴个位数字为，故原数为54； 故答案为54． 3．一个三位数，从左到右的三个数字正好是从大到小排列的3个连续的正整数，这个数的比百位数字和个位数字交换位置后所得的新数小238，求原来的三位数． 【答案】654 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（数字问题），涉及三位数的表示方法；解题的关键是设十位数字表示原数与新数，按数量关系列方程求解． 设十位数字为，表示出百位和个位，进而写原数与新数；根据“原数的新数“列方程，求x后确定原三位数． 【详解】解：设原来三位数的十位数字为x ∵三个数字从大到小是连续正整数 ∴百位数字为，个位数字为 原三位数： 新三位数（交换百位与个位）： 根据题意列方程： 即 移项得 ，解得 ∴百位，十位，个位，原三位数为 答：原来的三位数是 题型五 一元一次方程的应用——工程问题（重点） 1．一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并正确找出等量关系．设还需要天完成这项工程，将工作总量视为单位“”，列方程求解即可． 【详解】解：设还需要天完成这项工程， 根据题意可得 解得， 即还需要天完成， 故选：A． 2．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合作期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了 天假． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲请了天假，则甲实际工作天，根据工作效率，甲、乙、丙的工作效率分别为、、，乙和丙工作6天，甲工作天，总工作量为1，列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设甲请了天假，则甲的工作量为，乙的工作量为，丙的工作量为， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：3． 3．在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【答案】(1)甲、乙两车队共同合作了3天 (2)乙车队每天的租金是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为y元，则甲车每天租金为元，据此根据“共需支付租金5740元”列出方程求解即可.； 【详解】（1）解：设甲、乙两车队共同合作了天， 由题意可得：， 解得：． 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）解：设乙车队每天的租金是元，则甲车队每天的租金是元，由题意可得： ， 解得：． 答：乙车队每天的租金是500元． 题型六 解一元一次方程（常考点） 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤，是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得： （2）解： ， ， ， ， 解得：． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可； 【详解】（1）解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得, 合并同类项，得． 题型七 一元一次方程的应用——行程问题（难点） 1．甲、乙两车分别从相距260千米的两地同时出发，甲的速度为70千米/小时，乙的速度是50千米/小时，若相向而行，经过多少小时两人相距20千米？ 【答案】2小时或小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是知道相距20千米时有两次以及知道路程等于速度乘以时间，以路程作为等量关系可列方程求解即可． 【详解】解：设经过x小时两人相距20千米， ①相遇前两车相距20千米， ， 解得：， ②相遇后两车相距20千米， ， 解得：， 答：经过2小时或小时两车相距20千米． 2．小明和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥小明刚好相遇了20次（出发时不算），求： (1)哥哥速度是小明速度的多少倍？ (2)哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？ 【答案】(1)哥哥速度是小明速度的2倍 (2)20圈 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明白同起点同方向跑时，每相遇一次，两者的路程差相差一圈，这是本题的难点所在． （1）设哥哥的速度为x米/秒，小明的速度为y米/秒，由“从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次”可得环形跑道的长；由“从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥小明刚好相遇了20次（出发时不算）”得两人路程差等于环形跑道的20倍建立方程即可； （2）由（1）知哥哥速度是小明速度的2倍，则哥哥跑的圈数是小明跑的圈数的2倍，根据两人相遇20次，则哥哥与小明的路程差为20圈，设小明跑了m圈，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设哥哥的速度为x米/秒，小明的速度为y米/秒， 由于两人从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次，则环形跑道长为：米； 由题意得：， 解得：， 即哥哥速度是小明速度的2倍； （2）解：由于哥哥速度是小明速度的2倍，则哥哥跑的圈数是小明跑的圈数的2倍， 设小明跑了m圈，则哥哥跑了圈， 由题意得：， 解得：， 即小明跑了20圈． 3．某高速公路上有一隧道长2110米．现有货车从隧道匀速通过．测得货车从开始进入隧道到完全通过隧道共用了106秒（即从车头进入隧道口到车尾离开隧道），整个货车完全在隧道内的时间为105秒．隧道内平均行驶速度不得低于，又不得高于． (1)如果设这辆货车的长度为米，填写下表（不需要化简）： 货车行驶过程 时间（秒） 路程（米） 速度（米/秒） 完全通过隧道 106 整辆车在隧道内 105 (2)求这辆货车的长度； (3)这辆货车是按规定的速度行驶的吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)这辆货车的长度为10米． (3)这辆货车是按规定的速度行驶的． 【分析】（1）设货车的长度为x米，一列货车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了106秒，所行的路程为米，则速度为 米/秒；整列货车完全在隧道内的时间是105秒，所行的路程为米，则速度为米/秒，从而可得答案； （2）由于货车的速度是不变的，所以可得，解方程即可求得货车的长度， （3）先求得货车的速度，再与条件速度比较即可． 【详解】（1）解：设这辆货车的长度为米， 货车行驶过程 时间（秒） 路程（米） 速度（米/秒） 完全通过隧道 106 整辆车在隧道内 105 （2）由（1）结合速度不变可得： ， 解得：， 答：这辆货车的长度为10米． （3）由（1）可得：货车的速度为（米/秒） ， 而， ∴这辆货车是按规定的速度行驶的． 【点睛】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系列出正确的方程是解本题的关键． 题型八 一元一次方程的应用——销售、利润问题（难点） 1．春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 【答案】(1)甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元 (2)甲种商品打了七五折出售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程并求解． （1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元，由“甲种商品的件数甲种商品的单价乙种商品的件数乙种商品的单价总金额”建立方程，再求解即可． （2）设甲种商品打了y折，根据“售出6件商品获得的利润与售出12件商品获得的利润相同”建立方程，求解即可． 【详解】（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元， 由题意可得，， 解得， ∴元， ∴甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元． （2）∵甲种商品的进价80元，甲种商品按标价出售，则每件可获利40元， ∴甲种商品在标价元 设甲种商品打了y折， 由题意可得，， 解得， ∴甲种商品打了七五折出售． 2．某商场出售的甲种商品每件售价元，利润为元；乙种商品每件进价元，售价元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按售价打九折 超过元 按售价打八折 (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品的利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，恰好总进价为元，问购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小红第一天只购买甲种商品，实际付款元，第二天只购买乙种商品，实际付款元，问：小红这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2) (3)件或件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数除法运算的应用，正确列出方程和算式是解答本题的关键． （1）利用“进价售价利润，利润率”，即可求得答案； （2）设该商场购进甲种商品件，利用等量关系“甲商品的总进价乙商品的总进价两种商品的总进价”列出方程求解即可； （3）第一天购买甲种商品，有享受优惠和不享受优惠两种情况，分别计算得到优惠的情况成立，第二天购买乙种商品，有打九折优惠和打八折优惠两种情况，分别计算得购买乙商品8件和9件，由此即得答案． 【详解】（1）（元）， ， 故答案为：，． （2）设该商场购进甲种商品件， 根据题意得 ， 解得　， 乙种商品购进 （件）， 答：该商场购进甲种商品件． （3）（3）根据题意得，第一天购买甲种商品，有以下两种情况： 情况一，不享受优惠，除以，结果不是整数，不合题意，舍去， 情况二，享受9折优惠， 件， 第二天只购买乙种商品，有以下两种情况： 情况一，购买乙种商品打九折，件， 情况二，购买乙种商品打八折，件， 所以一共可购买甲、乙两种商品件或件， 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共件或件． 3．某商场销售一种夹克和T恤，夹克每件定价元，T恤每件定价元，商场在开展促销活动期间，向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一件夹克送一件T恤 方案二：夹克和T恤均按定价的付款 现有顾客要到该商场购买夹克件，T恤x件，（） (1)按方案一购买夹克和T恤共需付款______元，（用含x的式子表示）；按方案二购买夹克和T恤共需付款______元，（用含x的式子表示） (2)通过计算说明，购买多少件时，两种方案付款一样多．（用一元一次方程解答） (3)当时，方案一，方案二哪种方案更省钱？（列式回答） 【答案】(1)，； (2)购买件时两个方案费用一样； (3)当时，方案一更省钱． 【分析】（1）根据方案等量关系直接可得到答案； （2）根据（1）列方程即可得到答案； （3）代入求解，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 方案一购买夹克和T恤共需付款：元， 方案二购买夹克和T恤共需付款元； 故答案为：，； （2）解：由题意可得， ， 解得， 答：购买件时两个方案费用一样； （3）解：由（1）得， 当时， 方案一：， 方案二：， ， ∴当时，方案一更省钱． 【点睛】本题考查一元一次方程解决销售利润问题的方案选择，解题的关键是根据题意找到费用等量关系式． 题型九 一元一次方程的应用——收费问题（难点） 1．目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【答案】(1)元 (2)立方米 (3)元 【分析】本题考查的是分段计费的问题，同时考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解分段计费的区间，理解超过部分的含义是解本题的关键． （1）分两部分计费，400立方米的部分的单价为每立方米元，超过部分立方米的单价为每立方米元，再利用单价乘以数量即可； （2）先判断小王家全年用气量大于400立方米，小于800立方米，设全年用气量为立方米，列出相应方程再求解即可； （3）先按老政策计算小李一家应缴费为2812元，再按新政策，小李一家应缴费为2724元，从而可得答案． 【详解】（1）解：用气量立方米立方米， 前立方米按第一档气价元立方米计费，超过部分立方米按第二档气价元立方米计费． 费用元 答：需要缴纳的费用是元 （2）解：当用气量为立方米时，费用元 当用气量为立方米时，费用元 而， 用气量在立方米到立方米之间． 设全年用气量为立方米，则 ． 答：全年用气量是立方米． （3）解：政策出台前：用气量立方米立方米， 费用元 政策后：家庭人口人，超过人，增加人数为人，每增加人，各档基数增加立方米， 第一档基数变为立方米，第二档基数变为立方米， ∵全年用气量立方米，， 费用元 节省费用元 答：审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出之前能节省元． 2．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 3．某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 题型十 一元一次方程的新定义（难点） 1．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程“和解方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． (3)若关于x的一元一次方程是“和解方程”，求a的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“和解方程”的定义是解题的关键． （1）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义判断即可； （2）先求出对应方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （3）分和两种情况，分别解原方程求出原方程的解，再根据“和解方程”的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； （3）解：当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 当，即时， ∵， ∴， 解得， ∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得； 综上所述，或． 2．规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“阳光方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“阳光方程”．请根据上述规定解答下列问题． (1)一元一次方程______（填“是”或“不是”）“阳光方程”． (2)若关于的一元一次方程是“阳光方程”，求的值． (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“阳光方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义——“阳光方程”．熟练掌握方程的解的定义，新定义，整体代入（或加减）法求代数式的值，解含参数的一元一次方程，是解题的关键． （1），由“阳光方程”的定义得，即可得解； （2）解得，由“阳光方程”的定义得，即可求解； （3）由“阳光方程”得，，即得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴不是“阳光方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， ∴①， ∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， ∴②， ∴． 3．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． $