湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高二上学期第2次月考数学试卷

武汉六中2025~2026学年度高二上学期第2次月考 数学试题 命题教师：程吉夫 审题教师：刘大岱 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 ★沉着冷静规范答题端正考风严禁舞弊★ 一、单选题 1.下列结论中，正确的是() A.数列12,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B.数列的通项公式的形式是唯一的 C.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{包，2,3，…，）上的函数 D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式 2.已知数列o,}满足a=Lan+,则满足a,>对的n的最大取值为() A.6 B.7 C.8 D.9 3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中不可能是S.所对应的图象的是() A. 012 D 1234 .1234 3 .已知等差数列a,6的前n项和分别为S,,若产=2g则满足受≤的正整数“有(） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.若数列{Van}是公比为9的等比数列，且a,+4=16,则a+g的最小值为() A.10 B.9 C.8 D.7 5.过抛物线)y=2x(p>0)的焦点F作直线1与抛物线在第一象限交于点A,与抛物线的准线在第三 象限交于点B,过点A作准线的垂线，垂足为以，若m乙1=3，则 BF =() A B.2 C.3 D.4 7.已知斤，5分别是双曲线C:号号-1的左、右焦点，过5的直线与双曲线C的右支交于，B 39 两点，△AFE和△BFE的内心分别为M,N,则IMNI的取值范围是() A.[2V3,4) B.[3,2W3] C.[2W3,+o) D.(3,231 1 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的n∈N都有Sn+Sn=n2,若{an}为单调递增的数列， 则a的取值范围为() A（ B.( c.（别 D.（ 二、多选题 9.下列结论判断正确的是() A.平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 B.方程mr2+y2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆 C.平面内到点F(0,4),F(0,4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 D.双曲线号茶=1与后-三 11 存言=1（a>0,b>0)的离心率分别是，6，则+日 =1 10.已知数列{a}的前n项和为S.=23n-n2,则下列说法正确的是() A.an=24-2n B.使得Sn>0成立的n的最大值为23 C.使Sm取最大值的n值有2个 D.|a1|+|a2|+…ao=476 1.已知双曲线C于茶=a>06>0的左右焦点分别为F,,右顶点为4，AM为OA的中点， P为双曲线C右支上一点且PR1F5,且m∠PF5=},财() A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为x±√5y=0 C.PM平分∠FPF D.m-丽+丽 三、填空题 12.若数列{an}的前n项和是S.=n2-4+2,则数列{an}的通项公式是 13.倾斜角为锐角的直线经过抛物线C:y2=12x的焦点F,且与C交于A,B两点，Q为线段AB的 中点，P为C上一点，若PF+PQ的最小值为8，则这条直线的斜率为 14.如图，在VABC中，已知∠BAC=120°，其内切圆与AC边相切于点D,且AD=1,延长BA到E, 使BE=BC,连接CE,设以E,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e,以E,C为焦点且经过 点A的双曲线的离心率为e,则ee的取值范围是 四、解答题 15.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a,=-7,S3=-9. (1)求{a}的通项公式： (2)求Sn,并求S.的最小值. 第14题图 2 16.已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线C过点(2,0)，离心率为5 (1)求双曲线C的方程： (2)直线I:y=:+Mk≠2)与曲线C有唯一的公共点M,过点M且与1垂直的直线分别交x轴、y轴于 Ax,O),B(0,y)两点，当点M运动时，求点P(x,y)的轨迹方程 17.已知数列{an}满足an=2a-1+2”-1(n≥2)，且a4=81. (1)求a,4,43: 2)是否存在一个实数元，使得数列巴兰为等差数列？若存在，求元的值：若不存在，请说明理由： 3)已知数列}满足6=lg:n∈N,其前n项和S,求S。 3 18如图1，在平面五边形4BCDE中，∠EAC=∠DCA=，AE=4,CD=2,AB=BC=AC=25,F,H 分别为ED,AD的中点，将VABC沿AC翻折，使点B到点P的位置，如图2. (I)若PH⊥平面ACDE (i)证明：CF⊥PA: (ⅱ)三棱锥P-ACD的各顶点都在球O上，M为球O球面上的动点，求EM的取值范围. (2)在翻折的过程中，设平面PCD与平面PAE的交线为I,求二面角A-1-C的最小值 19.抛物线C:y2=2Px(p>0),P(-1,2),过焦点F的直线交抛物线于A(x,),B(3,2)两点，且xx2=1. (1)求抛物线C的方程： (2)线段PA,PB交y轴于M(O,m),N(O,n)两点，判断m+n是否是定值，若是求出该值，否则说明理由 (3)若直线x=y+n交抛物线于C,D两点，CD=4W2,是否存在整数m,使得△PCD的重心恰在 抛物线上.若存在，求出满足条件的所有m的值，否则说明理由 《武汉六中数学月考》参考答案 题号123 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CBC C D C BD AC ACD (2n-1)(4+4-） S=” S21= 2n-1_21-1 4C由宁2n+,得会22n-+初，又 S2 2 (2n-1)(4+4-） 2m-)g=4,所以2s (2n-1)h.b 4n+131 2 整理得6n-3≤4n+1,所以n≤2，故符合条件的n可取1,2，故选：C. 5D因为数列是公比为9的等比数列，则语-g,即臣=身兰=，所以a时则 a a a 4号4*9=将f0+120列-1=817 16 16 6.D设准线与x轴的交点为M,过点F作FC⊥AH.由抛物线定义知AF=A川，所以∠4F=∠AF阳=a,则 tana=3,∠FAH=元-2a=∠OFB,BF= MF os-2os-2a四na8a高 p AF时 =tan a=tana=tan'a-1-4 BF tan(x-2a）-tan2a 2 7.A设圆M与△AFF的三边分别切于点D、P、E,根据切线长定理得：FD=FE,AD=AP叫，EE=EP列 又因为AF-45=2a,所以EE-FE=2a,又FE+F=2c,故F=a+c,所以E点坐标为(a,0),即 (V5,0).即圆M与x轴相切于点E(N5,0),同理圆N也与x轴相切于点E又F(2√5,0)，所以EF=5设 ∠4x=,因为小、B都在双曲线的右支上，且渐近线斜率为士行=5，可知号<0<否，又A低，MS分 别肝分∠F51和∠5B,所以∠MV=受∠EM-告，∠E5N=号所以 a-m学e号g-2S又专。 2<sim8sl,所以We[25,4 8.C【详解】对于任意的neN都有Sn+S=n2,①S+S2=(+,② ②-①得a1+a2=(n+1)-n2=2n+1,③则当n≥2时，an+a1=21-1,④ ③④得a2-a。=2,也就是当n22时，隔2项成等差数列，公差为2.：{a。}为单调递增的数列 ∴只要保证a1<a<a,<a,可以保证整个数列单调递增.当n=1时，a+a+a=1,即a3=1-2a, 当n=2时，a1+a2+a1+a2+a3=4,即2a+2a2+a=4,则4=4-2a-2a2=2+a,a4=a2+2=3-2a, [a<1-2a 2+2a<3-2a 4即、 1 ，即4的 1 代入a<4<a<a4,得a<1-2a<2+2a<3-2a即1-2a<2+2a，即a>- <a1< 4 1 a<4 取值范围为（分，司 10.AC【详解】A:当n≥2时a,=Sn-Sn-=(23n-2)-[23(n-1)-(n-1)门]=24-2n,显然a=S=22也满 足上式，故a,=24-2n,对：B:由Sn=23n-m2>0,可得0<n<23且neN,故n的最大值为22，错： C:由S=-m-号 +空，当m=1或12时，-且最大，对：D:由A,令a=24-20,可得≤12， 则a+42++0=a+a2+…+a2-a--a0=2S2-S0=2×(23×12-122)-(23×30-302)=474 b2 D电SLFE网P函田m∠PF PEl_互=分_3得，3ac=26,即3ac=2(e2-a） 4 即2g2-女-20，即2e+e-20,e=2,故A正确：由e=2=+7 →。5，双曲线渐近线为 y=±Bx,故B错误：由三=2c=2a,6=5a·则PF=-3女=五，PR-P51=2a→P5=5a, aa 5a 时品-~听M训-c+号2如+号2M-c-ga-g当，÷ PF_5a=5. 2 5 22 FM 3a3 PRFM5 ∴“P明，方根据角平分线的性质可知PM平分∠5P吹，54=c-a=2a-a=a,R2c=4a, 网=丽+=丽+环-丽+阿-丽现， [-1,n=1 12.a= 2n-5,n≥2 13.5 抛物线C:y2=12x的焦点F(3,0),准线x=-3,显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为 x=y+3, x=y+3 由产=12x消去x并整理得广-120-36=0，设，，，，则片+片=121， ,+,2=(乃+)+6=121+6，因此线段4B的中点Q的横坐标x。=62+3,过P作准线x=-3的垂线，垂足为D, 过Q作准线x=-3的垂线，垂足为D,PF+Pg=PD+Pg≥lQD1≥lQD=6r2+3+3=62+6,当且仅当点P是 线段QD与抛物线C的交点时取等号，而PF+|P吧|取得的最小值为8，因此6+6=8，解得1=±万，而直线 4B的颜斜角为战角，则！=方，所以直线的斜率为6 14.(1,+0） 以CE的中点O为原点直角坐标系，设M,G分别是BC,BE与圆的切点，得AG=AD=1, 设CD=CM=GE=m(m>),AC=1+m,AE=GE-AG=m-1,在△4ACE中， CE2=C2+AE2-2 CA-EAcos60°=m2+3,以E,C为焦点经过点A的双曲线的离心率为g= m+3,以E,C为 2 焦点经过点A的椭圆的离心率为6=F车5，则e.-心3-多，在VBC中，设BM=m,所以 2m 4m44m BC=m+n,AB=n+1,AC=m+1,由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°，所以mm=3m+3n+3,所 6 以力=中0，得m>3,由对勾函数的单调性可得函数子+子在3o)上单调递增，所以 m-3 %=+333 4m>4十4饮3故答案为：(0，+o) 15.(1)an=4n-11(2)S。=2n2-9n,Sn的最小值为-10 [x2 y2 6,山一宁：一v02由6消法得4-E-2m60 y=kx+m 又k≠±2，且M是双曲线与直线1唯一的公共点，则△=(-2km)2+4(4-k)(2+16)=0,得m2=4-4),km1≠0， 4k、 4长16过M且5直酸重的直豫为4=-令=0，得x-,令x0,得0 用 为 因此x.40k.40m4=100+9 m2m24 600=10044,于是P的轨迹方程为-，≠0， 10025 17.(①)4=5,42=13,4=33(2)存在，1=-1(3)102(2)假设存在的实数1符合题意，则 2血2上中必是与无关的粥数，则0→小，故存在实数2 2 2” 使得数列生兰；为等差数列。(3)由(2)知数列巴，马是公差d=1的等差数列 20 +2×2）=n+log .-+(a-×1=m+1→a=a+1小z+16=log,t n+1 所以 2” 2 n+2, 14x15+lo2x2x4×…15=105+log(令=102 2 2+log(×× 3^4^516 1)(i)证明见解析：([5,45]2)号(1)设CF与AD交于点G,由题可得AE1CD,AD=√AC+CD=4, 则sin∠CDA=sin/DAE= ,所以∠CDA=∠DAE= 2 3,又AD=AE,所以VADE为正三角形，所以 A=,又DF=DE=CD,DG=DG,故△DFG≌△DCG,所以FG=CG 因为PH⊥平面ACDE,CFc平面ACDE,所以CF⊥PH,因为PHAD=H,PH,ADC平面PAD, 所CFL平面PD,又PAc平面PAD,所以CFLPA.(i)由(DM=号4D=2,由腿可得 PH=VPA?-AH=2N5,△ACD为直角三角形，且PH⊥平面4ACDE,所以三棱锥P-ACD的外接球球心O在直 线PH上，设球O的半径为R,则OH=25-A,如图，连接AO,在△AOH中，OH+AH=O4 6-肉+2=R,得R=9连接E0,E,因为0H=吕.E=25,所以 EO=OH+EH 写6可-9所似E的最本为m-R,商爱大颜为0：RNE 故EM的取值范围为「V5,4W.(2)取4C的中点Q,连接PQ,QF,则PQ⊥AC,PQ=3,QF=3, 以Q为坐标原点，分别以FQ,OC所在直线为x,y轴，过点Q与平面ACDE垂直的直线为：轴，建立如图所示的 7 空间直角坐标系，则40-5,0，C0,5.0,D(-2,5.0,E(4,-5.0,所以DC=(2,0,0),E=(4,0,0) 设∠Px=0(0≤0≤)，则P(3cos0,0,3sin0),所以亚=(3cos0,5,3sin0),CP=(3cos0,-5,3sin0)设平面P4E 的法向量为而=(：水，)，则 m亚=0， 即 mE厨=0 [3cos0x+5y+3sin0=0,取5=-l,则x=0,片=5sin8, 4x=0 7-Cp=0 故m=(0,5sin0,-1为平面PAE的一个法向量.设平面PCD的法向量为i=(a,b,c),则 DC=0 即 3cos0-a-5+3in6c=0,取c=l,则a=0,b=5sin0,故i=0,V5sin8,为平面PcD的-个法向量 2a=0 易知此时m与元的夹角即二面角A-1-C的平面角.（取c=-1,则万=(0，-√3sn日，-1），此时m与元的夹角为二面 m:元_3sin9-=1- 角A-1-C的平面角的补角)A-1-C的大小为P,则c08p=cos(m,)=同同药n0+7 1 -≤ 3sin20+12' 所以当sn0=时，c0p取得最大值宁，此时P取得最小值行故二面角4-1-C的最小值为号 19.(1)y2=4x(2)为定值，且定值为23)存在，m=1(2)由(1)可得F(1,0),所以直线AB的方程为x=y+1, 护得广-物-40，为+=机=4易知如=次品。P以的方程为y-2=子+. x=y+1 由 x+1 -0++0亿-0人”7冬=+wz++=w興2 +1 +12+1%+2%+2 (0%+2)(0仍：+2) 20成+2-2心+以上8上+4灯-3+4=-2+42：所以m+n为定值，且定值为2： 2+21+2)+4 42+4 (3)设C(x,),D(x4,y),由 广=4x，得广-4-n=0,则⅓+y=4my以=-4n,则 [x=my+n cD=+mV5+)-4y=+mV16m2+16mn=4W+m√m+n,由lcDl=4W反可得1+m2)(m2+m）=2 设△PCD的重心为G 而+x=m(+y）+2n=4m2+2n,即G 4m2+2n-14m+2 3，3 由宝6G怡在提物线上可6矿2，复可得2-+2-小，即初=22- 3 由1+mm+m小2得1+m2m+2-m户6，又meZ,则1+meZ2m+2-me乙，又1+m2,则 1×6=6,2×3=63×2=6,6×1=6:当1+m2=1时，m=0,不合题意：当1+m=2时，可得m=1或m=-1,经检 验m=-1不合题意，所以m=1:又易知m∈Z时，1+m2≠3且1+m2≠6，因此存在m=1 8