2025-2026学年九年级上学期数学期末自编模拟卷02（福建厦门专用）

九年级数学上学期期末模拟卷02（练习卷） （福建厦门专用，九年级上册全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：90分钟；命题人：学科网 冬鞠制作 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：九年级上册全册（一元二次方程-概率）+相似 4．注：本卷以去年质检卷为母题，利用各地真题重组而成，难度系数0.6，贴合去年质检真题 一、单选题 1．有六张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字，从中分别抽取两张（放回）， 则下列事件为随机事件的是（  ） A．两张卡片的数字之和等于 B．两张卡片的数字之和大于 C．两张卡片的数字之和等于 D．两张卡片的数字之和大于 【答案】C 【难度】0.94 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】A、两张卡片的数字之和等于1，是不可能事件； B、两张卡片的数字之和大于1，是必然事件； C、两张卡片的数字之和等于12，是随机事件； D、两张卡片的数字之和大于12，是不可能事件； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念。必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．一元二次方程的解是（       ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意不要两边同时约去，需要移项后运用因式分解法求解． 将方程移项为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：移项得： ， 因式分解得：， ∴ 或 ， ∴ ， ． 故选：C． 3．图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据弧、圆周角的关系求解即可． 【详解】解：解：连接，如图： ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向上 B．函数图象与轴交点坐标为 C．函数图象的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据抛物线的顶点式分别求出二次项系数、与轴交点坐标、对称轴，即可判定选项A、B、C的正误，根据二次函数图像可以理解函数的增减性，判断D的正误． 【详解】解：，，抛物线开口向下，故A错误； 时，，函数图象与轴交点坐标为，故B错误； 抛物线的对称轴为直线，故C正确； ，当时，随的增大而减小，故D错误． 故选：C． 5．山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商年售出菖蒲酒瓶，在年实现销量翻一番，若设这两年菖蒲酒销量的平均年增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查根据实际情况列一元二次方程，理解年平均增长率的意义是解题的关键。 根据题意用表示 年与 年的销量列方程即可。 【详解】解： 由题意知，年销量为 ，年销量为 ，且在年实现销量翻一番， 因此， 故选D. 6．如图为某数字孪生灌区的灌溉渠道轮廓图，可近似看作抛物线的一部分，其两岸的宽度，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，已知该灌溉渠道的深度与到点O的水平距离之间的函数关系式为．某日大雨后，该计算机平台接到指令，进行泄洪，将水位从降低至．若，则泄洪后该灌溉渠道的最大水深为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先求解二次函数的解析式，再求解对称轴方程与顶点纵坐标，判定，再进一步求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点纵坐标为：， ∵， ∴， ∴， ∴泄洪后该灌溉渠道的最大水深为， 故选：B 7．如图，等边的面积为，D是外一点，且，，，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作于点，由等边三角形的性质得，则，所以，求得，延长到点，使，连结，可证明，得，，推导出，再证明，得，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 延长到点，使，连结，则， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为4， 故选：A 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．2﹣1 【答案】C 【难度】0.4 【分析】过点作于点，根据二次函数的性质，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， 设， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，从而有最大值，即有最大值， 解得，，其中不符合题意舍去， ． 当最大时的长为． 故选：． 【点睛】本题属于综合题，是选择题的压轴题，考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是掌握二次函数最值的问题． 二、填空题 9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10．二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.94 【分析】直接利用二次函数顶点式的特点即可解答． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，理解掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键． 11．若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【分析】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】解：由于，，， 所以， 解得：． 所以的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12．同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为和，则 . 【答案】55 【难度】0.94 【分析】此题考查了圆周角定理．注意掌握掌握一条弧所对的圆心角是圆周角的倍是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理知，， 解得． 故答案为：． 13．如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得，根据，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 14．半径为2的圆中，圆心角所对的扇形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查根据扇形面积的具体应用，解题关键是熟练掌握公式． 根据扇形面积，把数据代入计算即可解答． 【详解】解：， ∴的圆心角所对的扇形的面积为． 故答案为：． 15．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 总面积乘落在黑色阴影的频率稳定值即可得出答案． 【详解】解：∵一个面积为的正方形，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 16．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n（），使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的结论有 ．（填序号即可） 【答案】①②③ 【难度】0.4 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即． 对于方程，其判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴， ， ，故②正确． ③∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． 故③正确． ④∵是方程的一个根， ∴，即， 则或，故④错误． 故答案为：①②③ 三、解答题 17．解方程：． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先计算，得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ． 18．如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】考查了圆周角定理，切线的判定，先判断是直径，得出，再判断出，即可得出结论； 【详解】证明：连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 则， ∵是半径， ∴是的切线． 19．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，再利用整体代入法化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20．如图，是的切线，点C在的直径上方的圆弧上运动(不与点A，B重合)，射线交于点E，，交于点P． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】（1）先连接交于，由切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质推出，即可证明平分； （2）平行线等分线段定理得到，推出是的中位线，求出，得到的长，由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1） 证明：连接交于， ∵切于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴的值是． 【点睛】本题考查切线性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形中位线定理，关键是连接求出的长． 21．已知，如图甲：是等腰直角三角形，是等边三角形． (1)填空：当绕点C顺时针旋转　　时，旋转后的与构成一个轴对称图形（旋转的角度小于360°）； (2)把图甲中绕点C顺时针旋转60°后得到如图乙，并连接，设线段与相交于点F． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1)75°或255° (2)①见解析；②四边形的面积为 【难度】0.65 【分析】（1）如图1所示，当旋转角度为时，证明是的垂直平分线，即可证明此时与构成一个轴对称图形；同理如图2所示，当旋转角度为时，与构成一个轴对称图形； （2）①由是等边三角形，是等腰直角三角形，得到，，由旋转的性质可得，求出，进一步证明，即可证明；②根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，当旋转角度为时， ∴， ∴， 过点C作于E，交于F， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴此时与构成一个轴对称图形； 同理，如图2所示，当旋转角度为时，与构成一个轴对称图形； 故答案为：75°或255°； （2）解：①∵是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②如图乙，作边上的高，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，，可作如下变形： ∵， 又∵， ∴，即． (1)如图1，中，，于点O，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件； (2)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图2所示，为了围成面积为300的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)60米 【难度】0.65 【分析】本题考查了基本不等式（均值定理）的几何验证及实际应用，同时涉及直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是理解基本不等式的几何意义，将实际问题转化为数学模型，利用“”为正实数）求最值． （1）①利用直角三角形斜边中线性质得；②用两直角三角形相似可推得③根据垂线段最短验证指出等号成立条件为． （2）①设矩形长为表示宽和篱笆总长的函数关系式；②应用基本不等式求最小值． 【详解】（1）解：∵在中，，为边上的中线， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． ∵ ∴则． ∵则， ∴,又， ，结合, ∴， ∴即， ∴． ∵为斜线，根据垂线段最短，得即． 当点O与点D重合时，此时． （2）解：设矩形花圃与墙体平行的一边长为x米（即长为x米），则与墙体垂直的一边长为米（即宽为米）． ∵中间隔有一道篱笆， ∴所用篱笆总长（米）． 根据基本不等式，对于正实数x和，有． 当且仅当，即时，等号成立． 答：所用的篱笆至少为米． 23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值． 【答案】(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3) 【难度】0.65 【详解】试题分析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式； （2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CM∥x轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值； （3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值. 试题解析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； 令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3， ∴点B的坐标（3，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． （2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形， ∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3， 把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2， ∵点M不能与点C重合， ∴点P的横坐标为m=2． （3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m ∴M（m，﹣m2+2m+3）， ∵直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∴N（m，﹣m+3）， ∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形， ∴MN=OC=3， ∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解， 或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化简得m2﹣3m﹣3=0， 解得m=， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为． 点睛：（1）解第2小题的关键是由“△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”结合∠MNC是锐角可得∠NMC=90°，从而得到CM∥x轴；（2）解第3小题的关键是由“以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形”得到MN是OC的对边，从而得到MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得m的值了. 24．综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【难度】0.65 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 25．【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？带着这些思考，数学兴趣小组发现：探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求出的长为__________． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点是上一点，连接，作交于点，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，中，，，，作点A关于的对称点，点为上一点，连接，过点作的垂线，交于，垂足为，若为中点，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【难度】0.15 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）如图 3：作，延长 交于点 H，先证明可得；再证明，然后运用相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图 4：连接交于点 N，由对称的性质可知于点 N，，作于点 M， 交 于点 Q，根据已知条件及勾股定理可得 ，利用等面积法可得，再证明可得；设 ，由勾股定理可得， 即；然后再证明 可得，最后根据中点的定义以及勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）解：∵矩形， ∴， ∴， ∵的垂线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （2）证明：如图 3：作，延长 交于点 H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：． （3）解：如图 4：连接交于点 N，由对称的性质可知于点 N，，作于点 M， 交 于点 Q， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵ ， ∴， ∴，即， 设 ， 在中，有，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E 为 中点， ∴， ∴， ∴，解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期末模拟卷02（练习卷） （福建厦门专用，九年级上册全册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：90分钟；命题人：学科网 冬鞠制作 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．测试范围：九年级上册全册（一元二次方程-概率）+相似 4．注：本卷以去年质检卷为母题，利用各地真题重组而成，难度系数0.6，贴合去年质检真题 一、单选题 1．有六张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字，从中分别抽取两张（放回）， 则下列事件为随机事件的是（  ） A．两张卡片的数字之和等于 B．两张卡片的数字之和大于 C．两张卡片的数字之和等于 D．两张卡片的数字之和大于 2．一元二次方程的解是（       ） A． B． C．， D．， 3．在中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向上 B．函数图象与轴交点坐标为 C．函数图象的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 5．山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商年售出菖蒲酒瓶，在年实现销量翻一番，若设这两年菖蒲酒销量的平均年增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图为某数字孪生灌区的灌溉渠道轮廓图，可近似看作抛物线的一部分，其两岸的宽度，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，已知该灌溉渠道的深度与到点O的水平距离之间的函数关系式为．某日大雨后，该计算机平台接到指令，进行泄洪，将水位从降低至．若，则泄洪后该灌溉渠道的最大水深为（   ） A． B． C． D． 7．如图，等边的面积为，D是外一点，且，，，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．2﹣1 二、填空题 9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 10．二次函数图象的顶点坐标为 ． 11．若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的值可以是 ． 12．同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为和，则 . 13．如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 14．半径为2的圆中，圆心角所对的扇形的面积为 ． 15．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为 ． 16．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n（），使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的结论有 ．（填序号即可） 三、解答题 17．解方程：． 18．如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线． 20．如图，是的切线，点C在的直径上方的圆弧上运动(不与点A，B重合)，射线交于点E，，交于点P． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 21．已知，如图甲：是等腰直角三角形，是等边三角形． (1)填空：当绕点C顺时针旋转　　时，旋转后的与构成一个轴对称图形（旋转的角度小于360°）； (2)把图甲中绕点C顺时针旋转60°后得到如图乙，并连接，设线段与相交于点F． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 22．【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，，可作如下变形： ∵， 又∵， ∴，即． (1)如图1，中，，于点O，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件； (2)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图2所示，为了围成面积为300的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值． 24．综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 25．【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？带着这些思考，数学兴趣小组发现：探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求出的长为__________． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点是上一点，连接，作交于点，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，中，，，，作点A关于的对称点，点为上一点，连接，过点作的垂线，交于，垂足为，若为中点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $