精品解析：河南省信阳高级中学（贤岭校区）2025-2026学年高二上学期12月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足(是虚数单位)，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算求得后可得其共轭复数． 【详解】由已知，所以． 故选：B． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率为，进而得到倾斜角. 【详解】由直线，可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为，故C项正确. 故选：C. 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A 4. 甲､乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生之间的随机数，当出现或3时，表示此局乙获胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组代表比赛三局的结果.根据以下产生的20组随机数估计乙获胜的概率为（ ） 977 864 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 394 027 556 488 730 145 537 908 A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式计算乙获胜的概率即可. 【详解】总共有组样本数据，经统计当出现或3时，表示此局乙获胜的数据共有7组， 则乙获胜的概率. 故选：B 5. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 6. 若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 7. 已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过三点的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 8. 已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】 根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示. 设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合. 则外接球的直径长为，所以半径r=1； 所以 由P在长方体表面上运动，所以，即 所以，即 故选：B 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断. 【详解】对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面， 所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 此时或，所以不一定成立，故B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， 但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存在实数，使， 所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以， 所以共面且有公共点，所以点在平面内； 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，故D正确； 故选：ACD. 10. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的轨迹，利用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度. 【详解】对于A，因为动点在正方体内及其边界上运动， 且，，则动点的运动轨迹为线段. 由于，平面，所以平面. 故三棱锥的体积为定值，A正确. 对于B，在正方形中，. 在正方体中，因为平面，又平面，所以. 因为，，，且，平面，所以平面. 动点在正方体内及其边界上运动，且， 所以动点围成的图形是矩形，其面积为，故B正确. 对于C，设边上的高为，则. 由正弦定理可得，所以，故. 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，. 设，，，，则，. 又，则有，整理得， 所以动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球面. 又，所以，故C错误. 对于D，由，设，，，则， 即，化简得，表示以为球心，半径为的球. 又，，则，即， 化简得，表示以为球心，半径为的球. 两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为，半径均为， 则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】 对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出，即可求解. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 13. 直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果. 【详解】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】按绝对值内表达式的符号分类，拆分原方程为椭圆和圆的方程；分析曲线所围成的封闭图形；分别计算圆的部分面积、椭圆的部分面积、三角形面积，求和得到总面积即可． 【详解】当时，，则曲线的方程为， 当时，，则曲线的方程为，即． 如图所示，为圆心角且， 故曲线所围成的封闭图形可分为三部分， 其面积为． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上． （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的性质求得，应用点斜式写出直线，联立直线l求圆心，两点距离求半径，写出圆的方程即可； （2）由（1）求圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求圆上点到直线的最小距离. 【小问1详解】 由题设中点为且，而，故， 所以直线为，即， 联立，可得，即，而， 所以圆. 【小问2详解】 由（1）知：，则到的距离， 所以直线与圆相离，则. 16. 已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． （1）求及； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项可得，根据等差数列概念计算可得，进而可得数列的通项公式，由与的关系计算可得数列的通项公式； （2）根据错位相减法计算即可. 【小问1详解】 由题意成等比数列，得， 即，解得， 所以数列的通项公式为； 当时，， 当时， ， 验证当时，满足上式 ， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知． ， 则， 两式相减得， 所以 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 18. 如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可． 【小问1详解】 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，，； 以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 为中点，所以，， 设平面的法向量为，又，， 所以，即，令，则，，所以， 所以，则， 所以平面； 【小问2详解】 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为， ，即，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为． 19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． （1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可； （2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可； （ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 表示点到原点的距离，表示点到直线的距离． 若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为； 若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）因为曲线的离心率为，所以，即， 即曲线的方程为， 曲线向右平移个单位长度得到曲线， 故曲线的方程为，化简可得． （ii）设，，． 因为，所以， 解得，，则， 若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上， 所以不可能在双曲线上，舍去． 设直线的方程为，由得， 则且，即， 又，， 所以，故， 代入双曲线的方程得， 化简得，又，所以， 点到直线的距离， ． 故的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期12月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足(是虚数单位)，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4 4. 甲､乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生之间的随机数，当出现或3时，表示此局乙获胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组代表比赛三局的结果.根据以下产生的20组随机数估计乙获胜的概率为（ ） 977 864 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 394 027 556 488 730 145 537 908 A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 5. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 6. 若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 10. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点满足，则的轨迹的长度为 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则__________． 13. 直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上． （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值． 16. 已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． （1）求及； （2）求数列的前项和． 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 18. 如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求动点到直线的距离的取值范围. 19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． （1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $