学易金卷：八年级数学上学期期末模拟卷（新教材青岛版八上全册：推理与证明+全等三角形+分式+轴对称+勾股定理与实数+一元一次不等式+图形与坐标）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期期末考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版2024八年级上册。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．等腰三角形两底角的平分线相等 C．“对顶角相等”的逆命题是真命题 D．用反证法证明“”时应假设“” 4．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．若分式的值为0，则 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是 6．在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（    ）． A．6 B．128 C．64 D．32 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是 。 12．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 14.若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 15．如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 3、 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17．解分式方程： (1)； (2) 18．先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 19．计算与证明 （1）． （2）如图，在中，，， 是边上的中线，是边上的高，且． 求的长． 20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，点的坐标为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)①写出点关于轴的对称点的坐标； ②画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是； (3)在轴上找一点，使得最小，直接写出点坐标． 21．如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 22．为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 23．【问题情境】：是等边三角形，点是边上一点，点在边的延长线上，且，连接． 【猜想证明】： （1）如图，若点是的中点，连接，则与的数量关系为______； （2）如图，当点为边上任意一点时，问（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【问题解决】： （3）如图，在（2）的条件下，取的中点，连接，，．若，求的面 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版2024八年级上册。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．等腰三角形两底角的平分线相等 C．“对顶角相等”的逆命题是真命题 D．用反证法证明“”时应假设“” 4．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．若分式的值为0，则 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是 6．在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（    ）． A．6 B．128 C．64 D．32 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是 。 12．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 14.若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 15．如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17．解分式方程： (1)； (2) 18．先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 19．计算与证明 （1）． （2）如图，在中，，， 是边上的中线，是边上的高，且． 求的长． 20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，点的坐标为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)①写出点关于轴的对称点的坐标； ②画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是； (3)在轴上找一点，使得最小，直接写出点坐标． 21．如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 22．为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 23．【问题情境】：是等边三角形，点是边上一点，点在边的延长线上，且，连接． 【猜想证明】： （1）如图，若点是的中点，连接，则与的数量关系为______； （2）如图，当点为边上任意一点时，问（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【问题解决】： （3）如图，在（2）的条件下，取的中点，连接，，．若，求的面 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版2024八年级上册。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形，明确轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义依次分析每个选项是否满足轴对称的定义即可． 【详解】选项A：该图无论沿哪一条直线对折，均不能完全重合，故不是轴对称图形，符合题意要求； 选项B：该图沿竖直的直线对折后，两部分能完全重合，故是轴对称图形，不符合题意要求； 选项C：该图沿竖直的直线对折后，两部分能完全重合，故是轴对称图形，不符合题意要求； 选项D：该图沿竖直或水平的直线对折后，两部分均能完全重合，故是轴对称图形，不符合题意要求； 故选A． 2．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．等腰三角形两底角的平分线相等 C．“对顶角相等”的逆命题是真命题 D．用反证法证明“”时应假设“” 【答案】B 【知识点】反证法证明中的假设、等腰三角形的性质和判定、写出命题的逆命题、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，等腰三角形，逆命题，反证法．熟练掌握这些性质和方法，是解题的关键． 根据轴对称图形性质，等腰三角形性质，逆命题构造，反证法的开始步骤，逐一分析各选项的正确性，即得． 【详解】A：平行四边形不一定是轴对称图形． 轴对称图形需存在一条直线使其对折后重合，而普通平行四边形无此性质（如矩形、菱形为特殊平行四边形，具有对称轴，但题目未限定）． 故A错误． B：等腰三角形两底角的平分线相等． 等腰三角形两底角相等，作底角的平分线后，平分后的角仍相等． 可构造全等三角形证明：设等腰中，作底角和的平分线． 由可证，故． 因此B正确． C：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 存在相等的角不是对顶角（如同位角、等腰三角形底角），故逆命题不成立． C错误． D：反证法假设错误． 反证法需假设原命题结论的反面． “”的否定应为“”，而非“”． 故D错误． 故选：B． 4．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 5．下列说法正确的是（    ） A．若分式的值为0，则 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是 【答案】C 【知识点】最简公分母、分式值为零的条件、最简分式、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，最简分式的定义，分式的性质，最简公分母； A.由分式值为零的条件得且，即可判断； B.将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断； C.按要求扩大倍数进行化简，即可判断； D.按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断； 理解分式的值为零的条件：分子的值为零，分母不等于零；最简分式的定义：分子分母除了，没有其它公因式；会找最简公分母是解题的关键． 【详解】解：A. 分式的值为0，则且，解得，结论错误，故不符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论正确，故符合题意； D.最简公分母是，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 6．在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数的判断，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否无理数即可． 【详解】解：在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数是，，，0.10010001…共4个， 故选：C． 7．如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 【答案】C 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．根据方向角的定义进行判断，即可解答． 【详解】解：∵在的北偏东方向的米处， ∴小红在小明北偏东方向的米处，故A，B错误； ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小红南偏西，距离为10米处，故C正确， ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小李南偏西，距离为18米处，故D错误． 故选：． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再结合，得出，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 9．若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴及不等式的性质，根据数轴判断出a、b的大小以及c是正数，再根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由图可知，， A、，原不等式不成立，故本选项不符合题意； B、，原不等式不成立，故本选项不符合题意； C、，原不等式成立，故本选项符合题意； D、，原不等式不成立，故本选项不符合题意； 故选：C． 10．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（    ）． A．6 B．128 C．64 D．32 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、根据平行线判定与性质求角度、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…以此可得即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：，即的边长为32． 故选D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是 。 【答案】第四象限 【知识点】加减消元法、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限，熟练掌握二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限特征是解题的关键；通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 【详解】解：解方程组，得：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点在第四象限； 12．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的实际应用：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．熟记相关结论是解题关键．由题意得：垂直平分线段，得，即可求解； 【详解】解：由题意得：垂直平分线段， ∴； ∴的周长， 故答案为： 13．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、坐标与图形综合、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、点坐标与图形、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据长方形的性质和点坐标可得，根据折叠的性质可得，利用勾股定理可得，则，再设点的坐标为，则，，在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， ∵点在边上，，， ∴设点的坐标为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴点的坐标为． 14.若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故答案为：． 15．如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 【答案】①②④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质得到，，平分，，再证明和，加上，从而可对①进行判断；根据全等三角形的性质，由得到，则可对②进行判断；由得到，即，根据垂线段最短的性质，从而可对③进行判断；由得到，利用等量代换得到，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，，O是边上的中点， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图中共有3对全等三角形，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（）；（）不等式组的解集为，在数轴上表示见解析． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据移项合并同类项，化系数为即可求解； （）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后再数轴上表示即可． 【详解】解：（） ； （）， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图， 17．解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 18．先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】；当，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取的值是解题的关键． 根据分式化简求值的步骤和方法进行即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件可知， ∴当取范围内的整数时，只有． ∴当时，原式． 19．计算与证明 （1）． （2）如图，在中，，， 是边上的中线，是边上的高，且． 求的长． 【详解】（1）解： ． 【答案】(1) （2）解：是边上的中线， ， ， 又， ， 是直角三角形， 又是的高， ∴， ； 在中，由勾股定理得， ， ． 20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，点的坐标为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)①写出点关于轴的对称点的坐标； ②画出关于轴对称的图形，其中点的对称点是，点的对称点是； (3)在轴上找一点，使得最小，直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①点的坐标为；②见解析 (3) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、坐标系中描点 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据点对应坐标解决问题即可； （2）①利用轴对称变换的性质解决问题即可； ②根据轴对称变换的性质，分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，与轴交点，即为点． 【详解】（1）解：平面直角坐标系，如图所示： （2）解：①点关于轴的对称点的坐标为； ②，如图所示： （3）解：如图，连接， 根据轴对称的性质可得， ， 此时． 21．如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2）解：在和中， ． 答：BE的长为． 22．为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 23．【问题情境】：是等边三角形，点是边上一点，点在边的延长线上，且，连接． 【猜想证明】： （1）如图，若点是的中点，连接，则与的数量关系为______； （2）如图，当点为边上任意一点时，问（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【问题解决】： （3）如图，在（2）的条件下，取的中点，连接，，．若，求的面积． 【答案】（1）；（2） 仍然成立，证明见解答过程；（3） ． 【分析】（1）根据等边三角形性质得，再根据三角形外角性质得，进而得，由此即可得出与的数量关系； （2）过点作交于点，证明是等边三角形得，进而得，，，由此可判定和全等得，据此即可得出答案； 延长到，使，连接，设的中点为，连接，证明和全等得，进而得，，由此可判定和全等得，根据得，证明得是等边三角形，继而得，则，由此得，然后由勾股定理求出即可得出的面积． 【详解】解：（1）与的数量关系为：，理由如下： 是等边三角形， ∴，， 点是的中点， ∴，， ∵， ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ； （2）仍然成立，证明如下： 过点作交于点，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， ， 又， ， 在和中，， ， ， 故（1）中与的数量关系仍然成立； （3）延长到，使，连接，设的中点为，连接，如图所示： 点是的中点， ， 在和中， ∴， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 即， 是等边三角形， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 的面积为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理及外角性质，等腰三角形的性质等知识，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学上学期期末考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) n, 3 5 6 9 10 A C C C D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.第四象限 12.13 13.(5,1.5) 14.13 15.①②④ 三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 【详解】解：(1)2x+9<3(x+2) 2x+9<3x+6 2x-3x<6-9 -x<-3 x>3; …3分 3x-22x① (2){ 2x-1>x-2②' 3 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x<5, :.不等式组的解集为1≤x<5, 6分 在数轴上表示如图， -5-4-3-2-101234 8分 17.(8分) 【详解】(1)解：原方程去分母得：x+4=8, 解得：x=4, …3分 当x=4时，x2-16=0, 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则x=4是分式方程的增根， 故原方程无解； 4分 (2)解：方程去分母得：2x+2x+2=3x, 解得：x=-2, …7分 检验：当x=-2时，2x+2≠0， 故原方程的解为x=-2. 8分 18.(8分) 【详解】解：原式= 2x+）-x+山÷X (x+x-1(x-1 (x-12 (x+1(x-1) =-1 x+1 5分 根据分式有意义的条件可知，x≠±L,x≠0. .当x取-2≤x<2范围内的整数时，只有x=-2. “当x=-2时，原式=213」 8分 -2+1 19.(9分) 【详解】(1)解：（-1)225+V-2-27+2-V5 =-1+2-3+2-V5 =-V5. 3分 (2)解：：CE是AB边上的中线， :AE BE=5, AB=10, 又AC=8,BC=6, AC2+BC2=82+62=100=AB2, :△ABC是直角三角形， 5分 又：CD是ABC的高， 1 S.e-AC-BC-7AB-CD, 2 CD=AC-BC-4.8: …6分 AB 2/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在RtABDC中，由勾股定理得， BD=VBC2-CD2=V62-4.82=3.6, .DE=BE-BD=5-3.6=1.4. 8分 20.(8分) 【详解】(1)解：平面直角坐标系x0y,如图所示： 2分 (2)解：①点B关于x轴的对称点B的坐标为(4，-2)： ②△A,B,C1,如图所示： 6分 (3)解：如图，连接BC, 根据轴对称的性质可得PC=PC, PB+PC=PB+PC1≤BC1, 此时P(-2,0). 8分 B 21.(10分) 【详解】(1)证明：如图，连接CD,BD, E M C .点D在BC的垂直平分线上 ◇F D :BD=CD :DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC 3/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .DE=DF,∠BED=∠DFC=9O° 3分 在RtABDE和RtACDF中， BD=CD DE=DE :Rt△BDE≌R1△CDF :BE=CF …5分 (2)解：在Rt△ADE和RIAADF中， AD=AD DE=DF :Rt△ADE≌Rt△ADF :.AE=AF .AB-BE =AC CF 8分 :BE+CF=AB-AC=8-4=4 BE=CF BE=5×4=2. 2 答：BE的长为2. 10分 22.(12分) 【详解】(1)解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格1.2x元， 由题意得：100-19001000+10， 1.2x 4分 解得：x=25, 经检验，x=25是原方程的解，且符合题意， 1.2x=1.2×25=30, 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 6分 (2)设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材80-y)件， 25×0.8y+30(80-y)≤1900 由题意得： 9分 30(80-y)2830 解得：50≤y≤52宁 y为正整数， 4/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .该学校共有3种不同的购买方案： ①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29 件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件. …12分 23.（12分) 【详解】解：(1)AP与DP的数量关系为：AP=DP …2分 (2)仍然成立，证明如下： 过点P作PM∥AB交AC于点M,如图2所示： ∠CMP=∠CAB=60°， B D 图2 ∠CMP=∠C=60°， :△CMP是等边三角形， :CP=MP=CM CP=BD, .MP BD, 4分 CA=CB, .CA-CM =CB-CP, 即AM=PB, 5分 :∠AMP+∠CMP=180°，∠PBD+∠CBA=180°， 又：∠CMP=60°，∠CBA=60°， .∠AMP=∠PBD=120°， …6分 AM=PB 在△AMP和△PBD中， ∠AMP=∠PBD, MP=BD aAMP≌△PBD(ASA, :AP=DP, 故(1)中AP与DP的数量关系仍然成立； 7分 (3)延长CE到Q,使QE=CE,连接AQ,设CD的中点为N,连接EN,如图3所示： 5/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P :点E是AP的中点， D 图3 :AE PE, 「AE=PE 在△AEQ和△PEC中∠AEQ=∠PEC, OE=CE ·.aAEQ≌aPEC(SAS), 8分 A0=CP,LQ=∠PCE, :CP=BD,∠ACE+∠PCE=∠ACB=60°， ∴.AQ=BD,∠ACE+∠Q=60°， 在△ACQ中，∠CAQ=180°-（∠ACE+∠Q)=120°， ·∠CA0=LCBD=120°， 在△CAQ和△CBD中， CA=CB ∠CAQ=∠CBD, AQ=BD .aCAQ≌△CBD(SAS), 9分 ∴CD=CQ,∠ACQ=∠BCD, :CE=2, :QE CE =2, ·C0=QE+CE=4, ·CD=C0=4, 点N是CD的中点， ∴CN=DN=-CD=2, :CE CN DN=2, ∠ACQ+∠ECP=∠ACB=60,∠ACQ=∠BCD, 6/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠BCD+∠ECP=60°， 即∠ECN=60°， :△CEN是等边三角形， .10分 EN=CE=CN=2,∠CEN=∠CNE=60°， :EN DN =2, ∠NED=∠NDE, :∠CNE是aNED的外角， :∠CNE=∠NED+∠NDE=60°， ∠NED=∠NDE=30°， ∠CED=∠CEN+∠NED=60°+30°=90°， 在RtACED中，CE=2,CD=4, 由勾股定理得：DE=√CD2-CE2=V42-22=2V5, CDE的面积为：CE0E×2x25=25. 12分 2 7/7 2025-2026学年八年级上学期期末考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学上学期期末考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共15分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （8分） 17. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （8分） 19. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（8分） 21.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分） 23.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $