专题05 一元一次不等式（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

专题05 一元一次不等式（14知识&12题型&1易错&1方法清单） 【清单01】不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【清单02】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【清单03】不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【清单04】在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单05】一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【清单06】解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【清单07】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【清单08】由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【清单09】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【清单10】一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【清单11】解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【清单12】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【清单13】由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 【清单14】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型一】不等式的定义（） 【例1】在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可得出结果． 【详解】解：在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有：①②⑤，共3个； 故选B． 【点睛】本题考查不等式的判断．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键． 【变式1—1】若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 【变式1—2】下列说法中，正确的是（    ） A．a不是正数，则 B．b是小于0的数，则 C．c不大于-1，则 D．d是负数，则 【答案】D 【分析】根据正数和负数的意义，不大于的意义，可得答案． 【详解】解：A. a不是正数，则，故该选项错误； B. b是小于0的数，则，故该选项错误； C. c不大于-1，则，故该选项错误； D. d是负数，则，故该选项正确． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义、不大于的意义，正确理解是解题关键，特别注意0既不是正数也不是负数． 【变式1—3】“a的5倍与3的和不超过”列出的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a的5倍与3的和，列式为5a+3，再根据不超过，则是小于或等于-3，即可列出不等式5a+3≤-3． 【详解】解：由题意，得5a+3≤-3， 故选：B． 【点睛】本题考查列不等式，掌握“不超过”即是“≤”是解题的关键． 【题型二】不等式的基本性质（） 【例2】下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解答 【详解】解：A、在不等式的两边同时加2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，正确，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，不符合题意； D.当时，，原判断错误，故本选项符合题意 故选：D. 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1—1】已知a，b，c均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，， ，原结论一定正确，不符合题意，选项错误； B、， ， ，原结论一定不正确，不符合题意，选项错误； C、， ， ，原结论一定正确，不符合题意，选项错误； D、，但正负无法确定， ，与的大小不能确定，原结论不一定正确，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质：性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1—2】．下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】若，则，故A正确，不符合题意； 若，则，故B正确，不符合题意； 当时，则，故C错误，符合题意； 若，则，故D正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质．掌握①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【变式1—3】下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、不等式两边都加上4，不等号的方向不变，即，原变形正确，故该选项不符合题意； B、不等式两边都乘，不等号的方向不变，即，原变形正确，故该选项不符合题意； C、不等式两边都乘，必须规定，才有，原变形错误，故该选项符合题意； D、不等式两边都加上5，不等号的方向不变，即，所以，原变形正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【题型三】解一元一次不等式（组）（） 【例3】（1）解不等式并将解集表示在数轴上； （2）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 【答案】（1），图见解析；（2），图见解析，所有整数解为，，，， 【分析】（1）根据解一元一次不等式的基本步骤解题即可，在数轴上表示解集时注意实心还是空心及开口向左还是向右； （2）先求出不等式组的解集并在数轴上表示解集，再求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ∴不等式的解集为， 将解集在数轴上表示如图所示， （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示如图所示， ∴该不等式组的所有整数解为，，，，． 【点睛】本题考查解一元一次不等式（组），将解集在数轴上表示，求不等式组的整数解．掌握解一元一次不等式（组）的步骤是解题的关键． 【变式3—1】解不等式组并写出它的所有非负整数解. 【答案】0，1，2. 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后写出非负整数解即可. 【详解】， 解①得 x≥-1, 解②得 x<3, ∴-1≤x<3, ∴非负整数解有： 0，1，2. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 【变式3—2】不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 不等式两边同除以得：， ∴不等式的负整数解有，，共3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变． 【变式3—3】）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】数轴见解析， 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式： ， 解不等式： ， 在数轴上表示为： 不等式组的解集为． 【题型四】一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（） 【例4】小马虎解不等式出现了错误，解答过程如下： 不等式两边都乘以6，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，合并同类项，得．（第三步） 解得（第四步） (1)小马虎解答过程是从第______步开始出错的，出错的原因是______． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一，去分母时漏乘常数项 (2)不等式的解集为，解答过程见解析 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤，一步步探析判断即可． （2）根据解不等式的基本步骤，求解断即可． 【详解】（1）两边应该同时乘以6， 不等式左边=， 右边=， 即从第一步开始出错，出错原因是去分母时漏乘常数项， 故答案为：一，去分母时漏乘常数项． （2）不等式两边都乘以6得： ， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：． 即不等式的解集为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 【变式4—1】下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正． 解不等式：． 解：去分母，得① 去括号，得② 移项，合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 【答案】不正确，第①步开始错误，改正见解析 【分析】第①步开始错误，漏乘了，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解． 【详解】解：第①步开始错误，应该改成： 去分母，得． 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【变式4—2】仔细观察下面的解法，请回答为问题. 解方程： 解：， ， ， ． (1)上面的解法错误有________处； (2)请写出正确的解方程步骤； (3)若关于的方程的解为，原方程的解为，若为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”即可判断错误之处； （2）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”重新计算即可； （3）根据解一元一次方程的步骤用含a的式子表示出方程的解为，结合题意即得出关于a的一元一次不等式，解出a的解集即可． 【详解】（1）按原步骤解答则： ，应为， 最后的解应为． ∴上面的解法错误有2处． 故答案为：2； （2）解： 去分母，得： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解：由题意可知． 解方程， 去分母，得： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴． ∵为非负数， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次方程和不等式的步骤是解题关键． 【变式4—3】（1）解一元一次不等式：． （2）下面是晓彤同学解方程的过程，请认真阅读解答过程并完成任务．     ……第一步     ……第二步     ……第三步     ……第四步 任务一：以上解方程过程中，第______步开始出现错误，这一步正确的结果应该是______．直接写出解方程后的正确结果是______． 任务二：除纠正以上错误外，请你根据平时的学习经验，就解方程还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）；（2）第一步，，；建议：去分母时，不要漏乘不含分母的项 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤分析即可． 【详解】（1）解： （2）第一步， ， ， ， ， ， 建议：去分母时，不要漏乘不含分母的项． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，以及一元一次不等式的解法，熟练掌握求解步骤是解答本题的关键． 【题型五】根据一元一次不等式的解集求参数（） 【例1】若的解是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解中不等号方向发生了改变，可知a＜0，将不等式变形可得，然后由可得结果. 【详解】由题意，不等式可变为， ∵不等式的解集为 ∴ 解得,故选D. 【点睛】本题考查根据不等式的解集求参数，掌握解不等式中系数化为1的时候同除以负数，不等号方向改变，是解题的关键. 变式5—1】关于的不等式的解集如图所示，则a的值为 A．1 B． C．-1 D． 【答案】D 【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a． 【详解】解：根据图示知，原不等式的解集是：x≤-1； 又∵3x-2a≤-2， ∴x≤， ∴=-1， 解得，a=-； 故选D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 【变式5—2】已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________. 【答案】2 【详解】试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7， x＞， ∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1， ∴＝1， 解得：k＝2． 故答案为2． 点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键． 【变式5—3】关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 【题型六】利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围（） 【例6】若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元一次不等式的解集为，再根据不等式只有两个正整数解得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的不等式只有2个正整数解， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，正确得到是解题的关键． 【变式6—1】．关于的不等式，恰有两个正整数解，则的值可能是（    ） A．1 B．2.5 C．2 D．3.5 【答案】B 【分析】求出不等式的解集，根据已知得出2＜b≤3，求出b的范围即可． 【详解】解：x-b＜0， 解得：x＜b， 因为关于x的一元一次不等式x-b＜0，恰有两个正整数解， 所以2＜b≤3， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解等知识点，关键是能根据不等式的解集和已知得出关于b的不等式组． 【变式6—2】已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根据不等式只有三个正整数解，可得到一个关于a的不等式，最后求得a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式，解得： ， 不等式有三个正整数解，一定是1、2、3， 根据题意得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的整数解，正确求解不等式得到解集是解答本题的关键． 【变式6—3】已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴a＜0， ∴不等式的解集为x＜， 又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴2＜≤3， 解得-6＜a≤-3， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键． 【题型七】利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围（） 【例7】若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式7—1】如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据不等式组得出不等式组的解集为，再由恰好有3个整数解可得的取值范围． 【详解】 解：如图， 由图象可知：不等式组恰有3个整数解， 需要满足条件：． 故选：D． 【变式7—2】关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先用表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于的不等组，可求得的取值范围． 【详解】， 解①得：， 解②得：， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有四个整数解， ∴整数解为：0、1、2、3， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用． 【变式7—3】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的情况列出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：由，得：， 又，且不等式组所有整数解的和为， 不等式组的整数解为、或、、、、， 或， 解得或， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【题型八】根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围（） 【例8】若不等式组有解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”进行解答即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组有解， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的原则是解答此题的关键． 【变式8—1】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：根据题意， ∵不等式组无解， ∴， ∴； 故选：D 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式8—2】若关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集为，，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由不等式①，得：x＞3， 由不等式②，得：x＞a， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴a≤3， 故答案为：a≤3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式8—3】若不等式组的解集是，则_______，_______ 【答案】     3     2 【分析】先解不等式组求出不等式组的解集为，再由不等式组的解集为即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， 故答案为：①3，②2． 【点睛】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集情况求参数，正确解出不等式组的解集为是解题的关键． 【题型九】整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题（） 【例9】关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式x＋y＞0，a的取值范围是（    ） A．a＜－1 B．a＜1 C．a＞－1 D．a＞1 【答案】C 【分析】直接把方程组的两个方程相加可得，即，再结合，即可得到关于的不等式，，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：， ①+②得：，等号两边同除以4得： ， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组合解一元一次不等式的综合问题，能够将解一元一次不等式组的解法与二元一次方程组的解法相结合是解决本题的关键． 【变式9—1】关于x的一元一次方程的解是正数，则k的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先解一元一次方程，得到，再根据题意得到，求解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， 解得：， 的一元一次方程的解是正数， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解不等式，熟练掌握一元一次方程和不等式的解法是解题关键． 【变式9—2】若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＞5，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将两根方程相加可得，根据得出关于a的不等式，解之可得答案． 【详解】解：将两个方程相加可得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变． 【变式9—3】若关于x和y的二元一次方程组，满足，那么整数m的最大值是______． 【答案】1 【分析】先将两个方程相加，再整理，即可得到，即可得到，即可得到m的取值范围，即可求最大值． 【详解】解： 得： 即： 整数m的最大值为1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 【题型十】整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题（） 【例10】若整数 a 使关于 x 的方程的解为非负数，且使关于 y 的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数 a 的和为（　　） A．20 B．21 C．27 D．28 【答案】C 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负数确定出a的范围，表示出不等式组的解集，由已知解集确定出a的范围，进而求出满足题意整数a的值，求出之和即可． 【详解】解：方程去分母得， 去括号得， 移项、合并得：， 解得：， 由方程的解为非负数，得到， 解得：， 不等式组整理得：， 由不等式组的解集为，得到， ∴，即整数，0，1，2，3，4，5，6，7， 则满足题意的整数a之和为27． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次方程，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 【变式10—1】关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【答案】 【分析】由已知得，，代入得到关于的不等式组，即可解得的范围． 【详解】解：， ①②得：， ， ②①得：， 二元一次方程组的解满足不等式组， ， 解得， 答：的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组及解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出，，及熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 【变式10—2】已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的和为_________． 【答案】4 【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出a=-5，-3，-2，0，1，3，根据不等式组有3个整数解得出关于a的不等式组，然后根据题意得到整数a为1，3，其和为3+1=4． 【详解】解：解关于x，y的方程组得， 关于x，y的方程组的解为整数， ∴a=-5，-3，-2，0，1，3， 不等式整理得， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，是0，1，2， ∴-1≤＜0， 解得：1≤a＜4， ∴整数a为1，3，其和为3+1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 【变式10—3】若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得 ，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， ③+④得： ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，而为整数， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【题型十一】用一元一次不等式（组）的解决实际问题（） 【例11】某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】(1)500元； (2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果． 【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得： ， 解得：， ∴元， 答：这两种水果获得的总利润为500元； （2）解：设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据题意： ，解得：， ∵m，均为正整数， ∴m取88，94， ∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案， 方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式11—1】某市为了更好地保护环境，污水处理厂决定购买最先进的污水处理设备，这种污水处理设备有A型和B型．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求购买一台A型设备和一台B型设备分别需要多少万元？ (2)若污水处理厂决定购买污水处理设备10台，购买污水处理设备的总金额不超过105万元，请你为该污水处理厂设计购买方案，并说明理由． 【答案】(1)购买一台A型设备需要12万元，买一台B型设备需要10万元 (2)方案一：购买0台A型设备，10台B型设备；方案二：购买1台A型设备，9台B型设备；方案三：购买2台A型设备，8台B型设备 【分析】（1）设一台A型设备x万元，一台B型设备y万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型设备m台，则购买B型设备台，根据总金额不超过105万元列不等式，求出m的取值范围，进而得出m可能的值，即可求解． （1） 解：设一台A型设备x万元，一台B型设备y万元， 由题意得：， 解得：， 即购买一台A型设备需要12万元，买一台B型设备需要10万元； （2） 解：设购买A型设备m台，则购买B型设备台， 由题意得：， 解得：， 故m可以取0，1，2， 因此有3种购买方案，即： 方案一：购买0台A型设备，10台B型设备； 方案二：购买1台A型设备，9台B型设备； 方案三：购买2台A型设备，8台B型设备． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，正确列出方程组和不等式是解题的关键． 【变式11—2】某商场上在销售A、B两种型号玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需180元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需240元． (1)求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元？ (2)小明同学准备购买这两种型号的玩具共12个送给幼儿园，且购买金额不能超过600元，请你帮小明设计购买方案？ (3)在（2）的前提下，若要求A、B两种型号玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明． 【答案】(1)一个A型玩具的价格是元，一个B型玩具的价格是元 (2)方案1：购买A型玩具个，B型玩具12个；方案2：购买A型玩具个，B型玩具11个；方案3：购买A型玩具个，B型玩具10个 (3)方案2，购买A型玩具个，B型玩具个 【分析】（1）设一个A型玩具的价格为x元，一个B型玩具的价格为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买a个A型玩具，则购买个B型玩具，根据“总价单价数量”结合购买总金额不能超过600元，即可得出关于a的一元一次不等式，求出a的取值范围，再结合a为非负整数即可得出各购买方案； （3）利用“总价单价数量”，分别求出方案2和方案3所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个A型玩具的价格为x元，一个B型玩具的价格为y元， 则根据题意，得， 解得， 即一个A型玩具的价格是元，一个B型玩具的价格是元； （2）解：设购买A型玩具个，B型玩具个， 则根据题意，得， 解得， 为非负整数， 或或， 购买方案有三种，分别是： 方案1：购买A型玩具个，B型玩具12个， 方案2：购买A型玩具个，B型玩具11个， 方案3：购买A型玩具个，B型玩具10个； （3）解：应选择方案2，购买A型玩具个，B型玩具个．理由如下： 方案2需费用为：（元）， 方案3需费用为：（元）， ， 方案2购买A型玩具个，B型玩具个费用最少． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组和一元一次不等式． 【变式11—3】湛江市正在创建“全国文明城市”，育才学校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元． (1)A、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件． ①若购买金额不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？ ②若购买金额不低于860元，不超过900元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种奖品每件16元，B种奖品每件4元 (2)①最多购买41件；②方案一：购买A种39件，B种61件；方案二：购买A种40件，B种60件；方案三：购买A种41件，B种59件 【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．”列出方程组，即可求解； （2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买件，①根据“购买金额不超过900元，”列出不等式，即可求解；②根据“购买金额不低于860元，不超过900元，”列出不等式，即可求解． (1) 解：设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得： ，解得：． 答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元； (2) 解：设A种奖品购买a件，则B种奖品购买件， ①根据题意得：， 解得：． ∵a为整数， ∴． 答：A种奖品最多购买41件． ②依题意得：． 解得，即， ∵a为整数， ∴a=39，40，41， 方案一：购买A种39件，B种61件； 方案二：购买A种40件，B种60件； 方案三：购买A种41件，B种59件． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【题型十二】一元一次不等式（组）中的新定义型问题（） 【例12】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x<11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2019x）=m+（2019x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有__________（填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，可以直接判断①，②和⑤可以举反例判断，③和④可以根据题意利用不等式进行判断. 【详解】解：①（1.493）=1，故①正确； ②（2x）≠2（x），当x=0.3时，（2x）=1，2（x）=0，故②错误； ③若（x-1）=4，则4-≤x-1＜4+，解得:9≤x＜11，故③正确； ④m为整数，故（m+2019x）=m+（2019x），故④正确； ⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4时，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤错误； 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查学生的理解能力，关键是认真审题，看到所得值是个位数四舍五入的值. 【变式12—1】定义新运算“⊕”如下：当时，，当时，，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分当，即时，当，即时两种情况，根据新定义求解即可． 【详解】解：∵当时， ，当时，， ∴当，即时， ∵⊕， ∴ 解得：， ∴； 当，即时， ∵⊕， ∴ 解得：， ∴， 综上，或， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义，解一元一次不等式，理解新定义和掌握解一元一次不等式是解题的关键，注意分类思想的运用． 【变式12—2】阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，，那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： （1）__________，__________； （2）如果，那么x的取值范围是__________； （3）如果，那么x的值是__________； （4）如果，其中，且，求x的值． 【答案】（1）4，-7；（2）；（3）；（4）或或或 【分析】（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据3x+1为整数，即可计算出具体的值； （4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【详解】（1），． 故答案为：4，-7． （2）如果．  那么x的取值范围是．   故答案为：． （3）如果，那么． 解得： ∵是整数．   ∴．   故答案为：． （4）∵，其中， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，0，1，2． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ∴或或或． 【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． 【变式12—3】阅读理解：我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即当为非负整数时，若，则． 例如：，，…． 请解决下列问题： （1）______； （2）若，则实数的取值范围是_________； （3）①； ②当为非负整数时，； ③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】（1）1；（2）≤x＜；（3）②③ 【分析】（1）根据题意判断即可； （2）我们可以根据题意所述利用不等式解答； （3）①举反例进行说明即可； ②当m为非负整数时，举反例进行说明即可； ③根据题意可以可以列出不等式组，求出不等式组的解集，从而可以解答本题 【详解】解：（1）1． 故答案为：1； （2）若《2x-1》=5，则5−≤2x−1＜5+， 解得≤x＜． 故答案为：≤x＜； （3）①《2x》=2《x》，例如当x=0.3时，《2x》=1，2《x》=0，故①错误； ②当m为非负整数时，当x=0.3时，m=1时，《m+2x》=《1.6》=2，=1+1，故《m+2x》=m+《2x》成立，故②正确； ③，则，解得-1＜x≤1，故非负实数有0和1两个，故③正确． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由． 【题型一】不等式的性质理解不清 注意：应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 【例1】若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟知不等式的基本性质：基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A选项，不等式的两边都乘3，不等号的方向不变，变形正确，符合题意； B选项，不等式的两边都减5，不等号的方向不变，变形错误，不符合题意； C选项，不等式的两边都乘，不等号的方向改变，变形错误，不符合题意； D选项，不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，变形错误，不符合题意； 答案：A． 【变式1—1】如果，下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）一个数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：由两边同时加上5即可得到，故A选项正确； 由两边同时减去5即可得到，故B选项正确； 由两边同时乘以5即可得到，故C选项正确； 由两边同时除以即可得到，故D选项正确； 故选D． 【变式1—2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次判断解答即可． 【详解】解：A．由，可得，原变形错误，故此选项不符合题意； B．由，可得，原变形错误，故此选项不符合题意； C．由，若可得，若可得，故此选项符合题意； D．由，可得，原变形不正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．要注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1—3】下列说法不一定成立的是（　　） A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c＞b+c 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次分析． 【详解】A. 若ac2＞bc2，因c2＞0，则a＞b成立，故该项一定成立，不符合题意； B. 若a＞b，则ac2＞bc2，若C=0时项该项不成立,故该项符合题意； C. 若a+c＞b+c，则a＞b成立，故该项不符合题意； D. 若a＞b，则a+c＞b+c成立，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【题型一】根据整数解个数求不等式（组）中参数的取值范围的方法 方法点拨： 求不等式中参数取值范围的步骤: 1)把参数看成已知数，解不等式x>a或x<a); 2)根据整数解个数求得到a的取值范围: 3) 数形结合时根据解的个数得到关于参数的不等式 特别注意:要分别讨论与整数点交点是空心还是实心。 【例1】关于x的不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值是____________． 【答案】5 【分析】先解两个不等式得到，，由于不等式组有解，则，由不等式组有且只有三个整数解，所以，然后即可得出答案． 【详解】解：， 解①得， 解②得，， 依题意得不等式组的解集为， 又∵此不等式组有且只有三个整数解，整数解只能是，3，4， ∴， ∴a的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，正确理解题意是解题的关键． 【变式1—1】如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有且只有3个整数解，整数解为：0，1，2， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能得出关于m的不等式组 【变式1—2】若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解只有5个， ∴不等式组的整数解为， 则， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． 【变式1—3】若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的一元一次方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．－2 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有4个整数解确定的取值范围，再由方程的解为正整数，求出满足条件的整数m，从而求解； 【详解】解：由 得：， 由不等式组有且仅有4个整数解，得到 ， 解得：， 即整数， 解方程， 得： 因为关于y的一元一次方程的解为正整数 所以, 故整数m的和为5, 故选择：B 【点睛】本题考查了一元一次不等式组及一元一次方程整数解问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次不等式（14知识&12题型&1易错&1方法清单） 【清单01】不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示 关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【清单02】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去） 或 的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要 不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否 进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【清单03】不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【清单04】在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是 ，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单05】一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有 ，未知数的次数是 的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【清单06】解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【清单07】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【清单08】由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【清单09】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【清单10】一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有 未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【清单11】解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【清单12】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【清单13】由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 【清单14】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型一】不等式的定义（） 【例1】在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1—1】若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【变式1—2】下列说法中，正确的是（    ） A．a不是正数，则 B．b是小于0的数，则 C．c不大于-1，则 D．d是负数，则 【变式1—3】“a的5倍与3的和不超过”列出的不等式是（    ） A． B． C． D． 【题型二】不等式的基本性质（） 【例2】下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1—1】已知a，b，c均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1—2】．下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1—3】下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型三】解一元一次不等式（组）（） 【例3】（1）解不等式并将解集表示在数轴上； （2）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 【变式3—1】解不等式组并写出它的所有非负整数解. 【变式3—2】不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3—3】）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【题型四】一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（） 【例4】小马虎解不等式出现了错误，解答过程如下： 不等式两边都乘以6，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，合并同类项，得．（第三步） 解得（第四步） (1)小马虎解答过程是从第______步开始出错的，出错的原因是______． (2)请写出此题正确的解答过程． 【变式4—1】下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正． 解不等式：． 解：去分母，得① 去括号，得② 移项，合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 【变式4—2】仔细观察下面的解法，请回答为问题. 解方程： 解：， ， ， ． (1)上面的解法错误有________处； (2)请写出正确的解方程步骤； (3)若关于的方程的解为，原方程的解为，若为非负数，求的取值范围． 【变式4—3】（1）解一元一次不等式：． （2）下面是晓彤同学解方程的过程，请认真阅读解答过程并完成任务．     ……第一步     ……第二步     ……第三步     ……第四步 任务一：以上解方程过程中，第______步开始出现错误，这一步正确的结果应该是______．直接写出解方程后的正确结果是______． 任务二：除纠正以上错误外，请你根据平时的学习经验，就解方程还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【题型五】根据一元一次不等式的解集求参数（） 【例1】若的解是，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式5—1】关于的不等式的解集如图所示，则a的值为 A．1 B． C．-1 D． 【变式5—2】已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________. 【变式5—3】关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【题型六】利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围（） 【例6】若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6—1】．关于的不等式，恰有两个正整数解，则的值可能是（    ） A．1 B．2.5 C．2 D．3.5 【变式6—2】已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式6—3】已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型七】利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围（） 【例7】若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7—1】如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7—2】关于的不等式组恰有四个整数解，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7—3】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为（   ） A．或 B．或 C． D． 【题型八】根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围（） 【例8】若不等式组有解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8—1】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8—2】若关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是_____． 【变式8—3】若不等式组的解集是，则_______，_______ 【题型九】整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题（） 【例9】关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式x＋y＞0，a的取值范围是（    ） A．a＜－1 B．a＜1 C．a＞－1 D．a＞1 【变式9—1】关于x的一元一次方程的解是正数，则k的取值范围是_____． 【变式9—2】若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＞5，则a的取值范围是_______． 【变式9—3】若关于x和y的二元一次方程组，满足，那么整数m的最大值是______． 【题型十】整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题（） 【例10】若整数 a 使关于 x 的方程的解为非负数，且使关于 y 的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数 a 的和为（　　） A．20 B．21 C．27 D．28 【变式10—1】关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【变式10—2】已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的和为_________． 【变式10—3】若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A． B． C．0 D．3 【题型十一】用一元一次不等式（组）的解决实际问题（） 【例11】某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？ 【变式11—1】某市为了更好地保护环境，污水处理厂决定购买最先进的污水处理设备，这种污水处理设备有A型和B型．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求购买一台A型设备和一台B型设备分别需要多少万元？ (2)若污水处理厂决定购买污水处理设备10台，购买污水处理设备的总金额不超过105万元，请你为该污水处理厂设计购买方案，并说明理由． 【变式11—2】某商场上在销售A、B两种型号玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需180元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需240元． (1)求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元？ (2)小明同学准备购买这两种型号的玩具共12个送给幼儿园，且购买金额不能超过600元，请你帮小明设计购买方案？ (3)在（2）的前提下，若要求A、B两种型号玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明． 【变式11—3】湛江市正在创建“全国文明城市”，育才学校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元． (1)A、B两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买A、B两种奖品共100件． ①若购买金额不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？ ②若购买金额不低于860元，不超过900元，有哪几种购买方案？ 【题型十二】一元一次不等式（组）中的新定义型问题（） 【例12】对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x<11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2019x）=m+（2019x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有__________（填写所有正确的序号）． 【变式12—1】定义新运算“⊕”如下：当时，，当时，，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式12—2】阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，，那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： （1）__________，__________； （2）如果，那么x的取值范围是__________； （3）如果，那么x的值是__________； （4）如果，其中，且，求x的值． 【变式12—3】阅读理解：我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即当为非负整数时，若，则． 例如：，，…． 请解决下列问题： （1）______； （2）若，则实数的取值范围是_________； （3）①； ②当为非负整数时，； ③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是_____（填序号） 【题型一】不等式的性质理解不清 注意：应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 【例1】若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1—1】如果，下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1—2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1—3】下列说法不一定成立的是（　　） A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c＞b+c 【题型一】根据整数解个数求不等式（组）中参数的取值范围的方法 方法点拨： 求不等式中参数取值范围的步骤: 1)把参数看成已知数，解不等式x>a或x<a); 2)根据整数解个数求得到a的取值范围: 3) 数形结合时根据解的个数得到关于参数的不等式 特别注意:要分别讨论与整数点交点是空心还是实心。 【例1】关于x的不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值是____________． 【变式1—1】如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1—2】若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是_____． 【变式1—3】若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的一元一次方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ） A．－2 B．5 C．9 D．10 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $