精品解析：陕西省西安市莲湖区联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期第二次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若，是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把的值代入已知方程计算即可求出的值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 2. 在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数分别为6，5，4，7，6，8，则这6位同学投篮进球数的中位数为（ ） A. 5次 B. 5．5次 C. 6次 D. 7次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：数据由小到大排列为4，5，6，6，7，8， ∴中位数为． 故选C． 3. 如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，由2个一次方程，且共含有2个未知数组成的方程组是二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不能组成二元一次方程组，不符合题意； B、含有2次项，不能组成二元一次方程组，不符合题意； C、方程不是整式，不能组成二元一次方程组，不符合题意； D、能组成二元一次方程组，符合题意； 故选D． 4. 若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点坐标与二元一次方程组的解的关系，根据：由一次函数解析式构成的二元一次方程组的解就是一次函数的交点坐标，即可求解，掌握一次函数交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴把代入直线，得到， ∴， 关于、的方程组的解可看成是直线与直线的交点， 故关于、的方程组的解为， 故选：C． 6. 八年级某小组的同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（ ）． A. 120 B. 140 C. 150 D. 163 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，下四分位数，根据下四分位数定义即可求解，掌握箱线图和下四分位数有关知识是解题的关键． 【详解】解：由箱线图和下四分位数的定义可得，这组数据的下四分位数是140， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，点在直线上，且，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，解二元一次方程组，判断点所在的象限，把点代入函数解析式，得到关于的方程，与，组成方程组，求出的值，进而判断点的位置即可． 【详解】解：把点代入，得， 联立，解得， ∴在第四象限； 故选D． 8. 在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，将直线向右平移个单位长度得到的直线（、为常数，且）恰好经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，以及一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题关键．先将与两点代入直线中求出解析式，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出直线的解析式，将已知点坐标代入平移后的直线方程，解出的值即可． 【详解】解：∵点与在直线上， 设直线的解析式为： ， ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为： ∵向右平移个单位，新直线表达式为， 又∵新直线过点， 代入得， 解得， 故选：C. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 为了倡导节约用水，某小区物业随机抽取了户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，分别为，，，，，，，，则这组数据的众数是__________吨． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，则找出这组数据中出现次数最多的数据即可解答． 【详解】解：数据为，，，，，，，中出现次，出现次，出现次，出现次，出现次， 则众数是． 故答案为：． 10. 已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：__________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 11. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数平均数，根据加权平均数的计算公式作答即可． 【详解】解：， 平均数是元， 故答案为：． 12. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了一个这样的问题：“一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？”设老头有x个，梨有y个，则可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“一人一个多一梨，一人两个少二梨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组. 【详解】解：设有x个老头，y个梨， 根据题意得： ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．根据图象判断即可． 【详解】解：由图像可知，甲的波动程度比乙小， ∴． 故答案为：． 14. 在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法和实数的混合运算，先计算二次根式的乘法、算术平方根、立方根，最后计算加减即可． 【详解】解：原式． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． 利用加减消元法先求解x，再求解y，即可求解． 【详解】解： ①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 17. 某校舞蹈比赛的总成绩由三部分组成：舞蹈基本功、舞蹈表演、舞蹈即兴，这三项成绩依次按的比例计入总成绩，小颖在舞蹈比赛中舞蹈基本功得分是分、舞蹈表演得分是分、舞蹈即兴得分是分，求小颖舞蹈比赛的总成绩． 【答案】分 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，利用加权平均数的计算公式列式可得，接下来利用有理数的混合运算法则进行计算即可．解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：（分）， 答：小颖舞蹈比赛的总成绩是分． 18. 在如图所示的正方形网格中，的顶点都在网格线的交点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，且点的坐标为； （2）在（1）的条件下，画出关于轴对称的图形（点、、的对应点分别是点、、）． 【答案】（1） 平面直角坐标系如图所示． （2）如图；即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，建立坐标系． （1）根据点和点坐标建立坐标系即可； （2）直接根据关于x轴对称的点的坐标规律作答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 20. 如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的两段构成（即），若段长度为，、两点之间的距离比段长，求段的长度． 【答案】段的长度为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是知识点的熟练应用；由勾股定理列方程即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵，， ∴， 解得， 答：段的长度为． 21. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，现对他们进行了次测试，已知甲次测试的平均成绩是环，甲测试成绩的方差为，乙次的测试成绩（单位：环）统计如下：如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由． 【答案】 解：选甲参加集训更合适． 理由：乙的平均成绩（环） 乙成绩的方差． 因为，两人的平均数相同， 所以甲比乙更稳定， 所以选甲参加集训更合适． 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算方法，关键是熟练应用计算公式进行计算； 根据公式计算即可，方差越小成绩越稳定． 【详解】略 22. 在弹性限度内，弹簧长度（）是所挂物体质量（）的一次函数．已知一根弹簧挂物体时的长度为，挂物体时的长度为． （1）求与之间的关系式； （2）当弹簧的长度是时，求所挂物体的质量． 【答案】（1） （2）当弹簧的长度是时，所挂物体的质量是 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据题意用待定系数法求函数解析式； （2）把代入解析式即可求得的值． 【小问1详解】 解：设与之间的关系式为， ∵当时，，当时，， ， 解得， ∴与之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得， 所以当弹簧的长度是时，所挂物体的质量是． 23. 北京时间2025年11月1日，神舟二十一号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．某中学开展“航空航天知识大赛”活动，从七、八年级参加比赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分，成绩为整数，满分为10分）． 抽取七年级学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 七、八年级抽取学生的比赛成绩统计表如表所示，抽取八年级学生的比赛成绩条形统计图如图所示． 七、八年级抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 6 6 八年级 7 （1）补全条形统计图，上述表中___________； （2）求七年级所抽取学生的平均成绩； （3）若七年级参加比赛的学生有500人，八年级参加比赛的学生有300人，请你估计七、八年级参加比赛的学生中成绩高于7分的学生总人数． 【答案】（1） 补全条形统计图如图2所示， 7 （2） （3）210人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，平均数，众数，中位数，等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念． （1）利用总数减去已知量求出所求量补全条形图即可，利用众数的概念求解即可； （2）直接求平均数即可； （3）先估算出七、八年级参加比赛的学生中成绩高于7分的学生的占比，然后乘以总数即可． 【小问1详解】 解：7分的人数为：， 八年级学生的成绩中7分出现的次数最多，故； 【小问2详解】 解：； 所以，七年级学生比赛成绩的平均数为； 【小问3详解】 解：七年级参加比赛的学生中成绩高于7分的学生占比为：， 八年级参加比赛的学生中成绩高于7分的学生占比为：， ∴七、八年级参加比赛的学生中成绩高于7分的学生总人数为：（人）． 24. 对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． （1）若，求、的值； （2）若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 25. 某校组织八年级学生赴博物馆进行综合实践活动．已知博物馆的文创商店推出了两款特色文创产品，若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元；若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元． （1）求该文创商店中甲、乙两种文创产品的单价； （2）若学校计划用元购买甲、乙两种文创产品（两种都要购买），求该校共有几种购买这两种文创产品的方案？ 【答案】（1）甲种文创产品的单价为元/件，乙种文创产品的单价为元/件 （2）该校共有种购买这两种文创产品的方案 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程或方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程（组）； （1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列方程，并求其特殊解即可． 【小问1详解】 解：设甲种文创产品的单价为元/件，乙种文创产品的单价为元/件， 根据题意得： 解得 答：甲种文创产品的单价为30元/件，乙种文创产品的单价为25元/件． 【小问2详解】 解：设学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件， 根据题意，得， 整理，得． 因为、均为正整数， 所以或或 所以该校共有种购买这两种文创产品的方案． 26. 【问题提出】 （1）如图，在中，，求的面积； 【问题解决】 （2）如图，是某公园的一块空地，公园规划人员计划在点处修建观景台，在边上修建一口水井（不与、重合），沿铺设一条小路，再以小路为对称轴修建另一座与观景台对称的观景台，铺设小路．王师傅将的示意图放置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为（水井、观景台的大小及小路的宽度均忽略不计） ①若点到轴、轴的距离相等，求小路所在直线的函数表达式； ②若要使得观景台恰好在的边上，请你求出示意图中水井到观景台的距离（即的长）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质，关键是知识点的灵活应用； （1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而求得面积； （2）①根据题意求出点坐标，则小路所在直线的函数表达式可求； ②先论证出是直角三角形，再由轴对称可得是直角三角形，进而利用勾股定理求得由此问题得解． 【小问1详解】 解：∵，又， ∴， 即：是直角三角形，， ∴的面积． 【小问2详解】 解：①设， ∵点 ∴． ∵点在线段上，且点到轴、轴的距离相等， ∴设， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 设小路所在直线的函数表达式为， 将点代入， 得 解得 ∴小路所在直线的函数表达式为． 解：②∵点， ∴，． ∵点， ， ∵， 是直角三角形，． ∵点与点关于对称， ∴≌， ． ∵点在上， ∴，如图所示． 设，则， ∵在中，， ， 解得， 所以示意图中水井到观景台的距离（即的长）为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第二次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若，是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 2. 在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数分别为6，5，4，7，6，8，则这6位同学投篮进球数的中位数为（ ） A. 5次 B. 5．5次 C. 6次 D. 7次 3. 如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 4. 若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 八年级某小组的同学每分钟跳绳个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（ ）． A. 120 B. 140 C. 150 D. 163 7. 在平面直角坐标系中，点在直线上，且，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，将直线向右平移个单位长度得到的直线（、为常数，且）恰好经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 为了倡导节约用水，某小区物业随机抽取了户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，分别为，，，，，，，，则这组数据的众数是__________吨． 10. 已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：__________．（只写一个） 11. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 12. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了一个这样的问题：“一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？”设老头有x个，梨有y个，则可列方程组为________． 13. 某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则__________．（填“”“”或“”） 14. 在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程组： 17. 某校舞蹈比赛的总成绩由三部分组成：舞蹈基本功、舞蹈表演、舞蹈即兴，这三项成绩依次按的比例计入总成绩，小颖在舞蹈比赛中舞蹈基本功得分是分、舞蹈表演得分是分、舞蹈即兴得分是分，求小颖舞蹈比赛的总成绩． 18. 在如图所示的正方形网格中，的顶点都在网格线的交点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，且点的坐标为； （2）在（1）的条件下，画出关于轴对称的图形（点、、的对应点分别是点、、）． 19. 某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 20. 如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的两段构成（即），若段长度为，、两点之间的距离比段长，求段的长度． 21. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，现对他们进行了次测试，已知甲次测试的平均成绩是环，甲测试成绩的方差为，乙次的测试成绩（单位：环）统计如下：如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由． 22. 在弹性限度内，弹簧长度（）是所挂物体质量（）的一次函数．已知一根弹簧挂物体时的长度为，挂物体时的长度为． （1）求与之间的关系式； （2）当弹簧的长度是时，求所挂物体的质量． 23. 北京时间2025年11月1日，神舟二十一号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱前向端口，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录．某中学开展“航空航天知识大赛”活动，从七、八年级参加比赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分，成绩为整数，满分为10分）． 抽取七年级学生的比赛成绩：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 七、八年级抽取学生的比赛成绩统计表如表所示，抽取八年级学生的比赛成绩条形统计图如图所示． 七、八年级抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 6 6 八年级 7 （1）补全条形统计图，上述表中___________； （2）求七年级所抽取学生的平均成绩； （3）若七年级参加比赛的学生有500人，八年级参加比赛的学生有300人，请你估计七、八年级参加比赛的学生中成绩高于7分的学生总人数． 24. 对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． （1）若，求、的值； （2）若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 25. 某校组织八年级学生赴博物馆进行综合实践活动．已知博物馆的文创商店推出了两款特色文创产品，若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元；若学校购买甲种文创产品件，乙种文创产品件，则共需要元． （1）求该文创商店中甲、乙两种文创产品的单价； （2）若学校计划用元购买甲、乙两种文创产品（两种都要购买），求该校共有几种购买这两种文创产品的方案？ 26. 【问题提出】 （1）如图，在中，，求的面积； 【问题解决】 （2）如图，是某公园的一块空地，公园规划人员计划在点处修建观景台，在边上修建一口水井（不与、重合），沿铺设一条小路，再以小路为对称轴修建另一座与观景台对称的观景台，铺设小路．王师傅将的示意图放置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为（水井、观景台的大小及小路的宽度均忽略不计） ①若点到轴、轴的距离相等，求小路所在直线的函数表达式； ②若要使得观景台恰好在的边上，请你求出示意图中水井到观景台的距离（即的长）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $