专题01 函数应用（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题01函数应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求函数的零点 1 题型二、判断零点所在区间 1 题型三、判断零点个数问题 1 题型四、由零点个数确定参数取值范围 2 题型五、由零点所在区间确定参数取值范围 2 题型六、复合函数的零点 2 题型七、零点的和差积问题 2 题型八、二分法的使用条件 3 题型九、二分法确定零点所在区间 3 题型十、二分法确定方程的近似解 4 题型十一、二分法次数问题 4 题型十二、二分法求近似解的过程 5 题型十三、实际问题中的函数模型 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求函数的零点 1．(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·)函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 2．函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 3．(25-26高一上·江苏连云港灌南县第二中学·)已知关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是-3，则此函数的另一个零点是 ． 题型二、判断零点所在区间 4．(23-24高一上·四川成都双流区金苹果锦城一中·期中)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·云南昭通镇雄县三校·月考)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 题型三、判断零点个数问题 6．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．(24-25高一上·云南云县第一完全中学·月考)已知函数，若实数，则方程的不同实根个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．(24-25高一下·山西部分·期中)若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为 ． 题型四、由零点个数确定参数取值范围 10．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为 . 11．(23-24高一上·上海浦东新区·期末)若函数的零点个数为1，则 ． 题型五、由零点所在区间确定参数取值范围 12．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 14．若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为 ． 题型六、复合函数的零点 15．设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 16．已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围. 17．已知函数，求函数的零点个数. 题型七、零点的和差积问题 18．(24-25高一上·陕西渭南·期末)设函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数其中，且在上有三个零点，，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 20．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 . 题型八、二分法的使用条件 21．(24-25高一上·湖南岳阳·期末)下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·)一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．(23-24高一上·湖南衡阳常宁尚宇学校·月考)下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 题型九、二分法确定零点所在区间 24．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 25．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 26．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 题型十、二分法确定方程的近似解 27．(23-24高一上·云南昆明云南师大附中·期末)若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 28．(24-25高一上·湖北黄冈蕲春县第一高级中学·月考)若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 29．(23-24高一上·湖南岳阳湘阴县知源高级中学等多校·月考)用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下： 则精度为0.1的条件下方程的一个近似根为 . 题型十一、二分法次数问题 30．用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 31．(22-23高一上·江西南昌·调研)要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取 次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 ． 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 0 1 2 0.5 1 2 0.5 0.75 0.09375 0.625 0.75 0.09375 0.6875 0.75 0.09375 0.71875 0.75 0.09375 0.734375 0.75 0.09375 0.734375 0.7421875 0.044219017 32．(24-25高一上·广东惠州第一中学·期末)已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 题型十二、二分法求近似解的过程 33．用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·天津南开区日新学校·月考)某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 35．某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确度为0.1）”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他在取的x的4个值依次是 ． 题型十三、实际问题中的函数模型 36．(25-26高一上·辽宁沈阳第十中学·月考)近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供（万元）的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时某制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额＋政府专项补贴－成本. (1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益（万元）最大？最大收益为多少？ 37．(25-26高一上·四川内江威远中学校·月考)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 38．(24-25高一上·广东中山东升高级中学·)已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制（单位：）.假设汽油的价格是元/，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时元. (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用. 一、单选题 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·云南丽江第一高级中学·期末)对实数 和 ，定义运算 “ ”: .设函数 . 若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·河南洛阳·期末)已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 4．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 三、填空题 5．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为 . 6．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 7．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 8．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01函数应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求函数的零点 1 题型二、判断零点所在区间 2 题型三、判断零点个数问题 2 题型四、由零点个数确定参数取值范围 4 题型五、由零点所在区间确定参数取值范围 5 题型六、复合函数的零点 6 题型七、零点的和差积问题 8 题型八、二分法的使用条件 11 题型九、二分法确定零点所在区间 13 题型十、二分法确定方程的近似解 14 题型十一、二分法次数问题 15 题型十二、二分法求近似解的过程 16 题型十三、实际问题中的函数模型 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求函数的零点 1．(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·)函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或． 故选：C. 2．函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D 3．(25-26高一上·江苏连云港灌南县第二中学·)已知关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是-3，则此函数的另一个零点是 ． 【答案】 【分析】 由题知一元二次方程的一个根为，由韦达定理得出另一个根，即此函数的另一个零点． 【详解】关于的一元二次方程对应的函数有一个零点是， 即一元二次方程的一个根是， 设另一个根为，则，所以，此函数的另一个零点是． 故答案为:． 题型二、判断零点所在区间 4．(23-24高一上·四川成都双流区金苹果锦城一中·期中)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 5．(24-25高一下·云南昭通镇雄县三校·月考)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得. 【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 题型三、判断零点个数问题 6．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点. 【详解】解：由和 都在上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点． 因为,,所以函数有且只有一个零点. 故选：B. 7．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 8．(24-25高一上·云南云县第一完全中学·月考)已知函数，若实数，则方程的不同实根个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】画出的图象，结合图象来求得正确答案. 【详解】由，得， 做出分段函数与直线的图象，如下图所示， 当时，由图象可得出函数的图像与直线的交点个数为3， 即方程的不同实根个数为3. 故选：D 【点睛】易错点睛： 图象绘制的准确性：在图象法中，绘制图象时需要准确把握函数的特征和分段点，容易出错的地方在于忽略了分段函数在各段的变化趋势. 交点个数的判断：判断交点个数时，特别要注意不同函数段与直线的交汇情况，确保没有遗漏或多算. 9．(24-25高一下·山西部分·期中)若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】代入得出.然后根据的奇偶性及其性质化简得出.与已知联立得出的表达式，即可得出的表达式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，，， 所以有. 又， 两式相加化简可得，. 两式相减化简可得，. 所以，. 解可得，或. 所以，函数的零点个数为2. 故答案为：2. 题型四、由零点个数确定参数取值范围 10．(24-25高一上·云南下关第一中学·期中)已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数，即可得解. 【详解】因为， 当时，，函数在上单调递减，上单调递增， ，， 当时，，函数在上单调递增．    所以，当直线与函数的图象只有一个交点时，， 则的取值范围是． 故答案为：． 11．(23-24高一上·上海浦东新区·期末)若函数的零点个数为1，则 ． 【答案】4 【分析】由二次函数零点个数有，即可求参数. 【详解】由二次函数性质及零点个数知：，则. 故答案为：4 题型五、由零点所在区间确定参数取值范围 12．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 13．若函数在区间内有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】因为在上单调递增，所以可由零点存在定理得，即，解关于的不等式可得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以在区间内单调递增，则由零点存在定理可得， 即，解得，故的取值范围是． 故答案为： 14．若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用三个二次的关系，得到函数有且只有一个零点在区间上，借助于根的判别式，零点存在定理，结合区间端点的函数值，列出不等式求解即得. 【详解】设， 依题意，函数有且只有一个零点在区间上，可以分成三类情况： ①由解得或. 当时，，此时函数恰有一个二重根在区间上，符合题意； 当时，，此时函数的实根不在区间上，不合题意. ②由可得，解得； ③令，得，此时方程的另一根为，不合题意； 令，得，此时方程的另一根为，符合题意． 综上，可得实数的取值范围为． 故答案为： 题型六、复合函数的零点 15．设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解决二次函数型复合函数零点个数问题，可以通过换元将其转化为一元二次方程，结合实根分布的知识来解决． 【详解】令，则，作出函数的图象如答图13-7，函数有8个不同的零点， 等价于与的图象有8个交点，等价于函数在上有两个零点， 则，解得．    故答案为：. 16．已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】令，则原方程化为，因为方程有4个实数根，且，则原方程有4个解等价于函数，与的图象有2个不同的交点.作出函数，的图象与的图象，数形结合即可求解实数的范围. 【详解】令，则原方程化为，因为方程有4个实数根， 且，故当时，方程有2个不同的解.    则原方程有4个解等价于函数，与的图象有2个不同的交点，因为时，，当且仅当，即时等号成立， 故可作出函数，的图象如下图所示：    由图象可知，当时，函数，的图象与的图象有2个不同的交点. 故实数的范围为. 17．已知函数，求函数的零点个数. 【答案】零点有四个 【分析】考虑到为分段函数，故可利用分类讨论法得到的解析式，结合函数与方程的关系，求得对应的零点；也可以通过换元和数形结合，将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题. 【详解】解法1：当时，，， 当，即时，，所以， 当，即时，，所以； 当时，，， 当即时，，所以， 当即时，，所以； 综上所述，函数的零点有四个，它们分别是，，，. 解法2：作出的图象，如图， 令，则可转化为， 结合的图象，可知和， 数形结合得到当和时分别有两个根． 综上所述，函数的零点有四个．            题型七、零点的和差积问题 18．(24-25高一上·陕西渭南·期末)设函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析分段函数的性质，画出草图，结合图形求得，进而可得，即可求范围. 【详解】当时， 当时，当且仅当时等号成立， 则，且在上递增，在上递减， 当时，单调递增，且，作出函数的图象，如下， 观察图象，当且仅当，函数有三个不同的零点， 当时，，当时，令，则，有，， 因此，而函数在上递减，则， 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：分析分段函数的性质并画出草图，将题设的零点问题转化为与的交点问题，应用数形结合的思想，求出关于的解析式，由单调性求范围. 19．已知函数其中，且在上有三个零点，，． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意，在内有1个零点，且在内有两个不同的零点，根据函数解析式，即可求实数的取值范围； （2）设，，，则可表示为的函数，令通过换元转化为二次函数并求值域，即可求出的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以由在上有三个零点，，得 在内有1个零点，且在内有两个不同的零点， 若在内有1个零点，则，得， 若在内有两个不同的零点，则， 即得． 综上所述，． （2）不妨设，，， 则 ， 令则 由（1）知，∴， 所以． 20．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或 令，解得或 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根，，，， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为，，，， 则， 对于，，则， 可得，所以； 对于，，则，，，可得 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 题型八、二分法的使用条件 21．(24-25高一上·湖南岳阳·期末)下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 22．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·)一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据相关函数的性质及二分法判断零点的过程，判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】对于，函数图象不连续且不存在零点，但在和上函数值符号不同， 所以不能用二分法判断零点，否则会得到矛盾结果，而不与轴相切； 若函数与x轴相切，即函数图象只在轴的一侧，故函数值恒正或恒负，但存在零点， 所以不能用二分法判断零点； 综上，一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的必要不充分条件. 故选：B 23．(23-24高一上·湖南衡阳常宁尚宇学校·月考)下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论。 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 故选：． 题型九、二分法确定零点所在区间 24．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 25．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 26．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 题型十、二分法确定方程的近似解 27．(23-24高一上·云南昆明云南师大附中·期末)若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值）， 根据四个选项可知：. 故选：C. 28．(24-25高一上·湖北黄冈蕲春县第一高级中学·月考)若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 【答案】 【分析】根据二分法逐进行求解即可. 【详解】因为，所以在内函数必有零点， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 而， 所以方程的一个近似根精确到为， 故答案为：. 29．(23-24高一上·湖南岳阳湘阴县知源高级中学等多校·月考)用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下： 则精度为0.1的条件下方程的一个近似根为 . 【答案】0.625（答案不唯一，在范围内即可） 【分析】确定函数单调递增，根据，得到答案. 【详解】在上单调递增，根据题意，， ，满足精度要求. 故答案为：. 题型十一、二分法次数问题 30．用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 【答案】7 【分析】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【详解】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 31．(22-23高一上·江西南昌·调研)要求方程的一个近似解，设初始区间为．根据下表，若精确度为0.02，则应用二分法逐步最少取 次；若所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 ． 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 0 1 2 0.5 1 2 0.5 0.75 0.09375 0.625 0.75 0.09375 0.6875 0.75 0.09375 0.71875 0.75 0.09375 0.734375 0.75 0.09375 0.734375 0.7421875 0.044219017 【答案】 6 【分析】根据二分法区间长度每次减半，求出满足条件所取次数；结合零点存在性定理判断近似解所在的区间，直到区间长度为0.0625 【详解】初始区间的长度为1，第一次分割后区间长度为0.5，第二次分割后区间长度为0.25，第三次分割后区间长度为0.125，第四次分割后区间长度为0.0625，第五次分割后区间长度为，第六次分割后区间长度为，所以精确度为0.02时应用二分法逐步最少取6次. 令 第一次分割后，故近似解的区间为，区间长度为0.5； 第二次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.25； 第三次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.125； 第四次分割后，故近似解的区间为 ，区间长度为0.0625，满足题意， 故所求近似解所在的区间长度为0.0625，则所求近似解的区间为 故答案为：2； 32．(24-25高一上·广东惠州第一中学·期末)已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【分析】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 题型十二、二分法求近似解的过程 33．用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当小于精度时结束计算，得到答案. 【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为， 当时，结束计算，故， 故选：B. 34．(24-25高一上·天津南开区日新学校·月考)某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 【答案】 【分析】利用“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间，从而得解. 【详解】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是，又方程的近似解是， 故后4个区间分别是， 故它取的4个值分别为， 故答案为：. 35．某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确度为0.1）”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他在取的x的4个值依次是 ． 【答案】1.5，1.75，1.875，1.8125. 【分析】根据给定条件，构造函数借助单调性，结合“二分法”的定义，求出符合要求的4个值. 【详解】令，则方程的解即为函数的零点，函数在上单调递增， ，取的中点，，得区间； 取的中点，，得区间； 取的中点，，得区间； 取的中点，，得区间， 所以在取的x的4个值依次是1.5，1.75，1.875，1.8125. 故答案为：1.5，1.75，1.875，1.8125 题型十三、实际问题中的函数模型 36．(25-26高一上·辽宁沈阳第十中学·月考)近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供（万元）的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时某制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额＋政府专项补贴－成本. (1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益（万元）最大？最大收益为多少？ 【答案】(1)， (2)当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益最大，最大值为30万元. 【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到； （2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案. 【详解】（1）， 因为，所以， （2）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ， 故当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益取得最大值30万元. 37．(25-26高一上·四川内江威远中学校·月考)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为； 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为. （其中，，且） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若同时满足，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值花费较小值）. 【答案】(1)购买方案二花费更少，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据可得结论； （2）由（1）可得，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）由题意知：，， ， ，，，， ，即，购买方案二花费更少. （2）由（1）得： ； ，（当且仅当，即时取等号）； ，（当且仅当，即时取等号）； 差值的最小值为（当且仅当，，，时取最小值）. 38．(24-25高一上·广东中山东升高级中学·)已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制（单位：）.假设汽油的价格是元/，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时元. (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用. 【答案】(1) ， (2)当 时，总费用最低，为元 【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式. （2）利用单调性的定义判断函数的单调性，然后利用单调性求解最小值即得结果. 【详解】（1）由题意卡车行驶的时间为：， 所以卡车这次行车的油费为：元，司机的工资为：元. 所以这次行车总费用为： ，. （2）由（1）知，， 令，，设， 则， 因为，故，所以 ， 所以在上单调递增， 所以当 时，总费用最低，为元. 一、单选题 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出奇函数的图象，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和，数形结合可得结果． 【详解】由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标， 根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：    作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为， 根据的图象的对称性可得， 根据是奇函数得，， 所以， 由得， 所以， 故选：C 2．(24-25高一下·云南丽江第一高级中学·期末)对实数 和 ，定义运算 “ ”: .设函数 . 若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义化简函数 的解析式，绘制函数图象，将问题转化为函数 的图象与 的图象有 2 个交点， 结合图象求得结果即可. 【详解】令 ，解得 ， ∴ 作出函数 的图象如图所示: 函数 的图象与 轴恰有两个公共点，即函数 与 的图象有 2 个交点， 由函数图象可得 或 ; 故选：B. 3．(24-25高一下·河南洛阳·期末)已知函数有唯一零点，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，可得函数为偶函数，结合已知可得，可求得的值. 【详解】因为，所以， 令，则， 又因为， 所以函数为偶函数，又函数有唯一零点， 则有唯一零点，所以，解得. 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 三、填空题 5．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令函数，画出函数的图象，根据的零点分布与的零点分布情况，结合函数图象，可得，进而求得的取值范围. 【详解】令函数，函数的图象，如图所示， 由题意知，的零点为的图象与的交点横坐标，且 令，解得，结合函数图象，可得，所以， 因为，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 6．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 关于x的方程有六个相异的实数根， 则方程在内有两个不同实数根，所以， 解得，因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 7．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 8．(24-25高一下·湖南多校联考·期末)已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点带入解析式解方程组即可； （2）先证明函数为偶函数，再将问题转化为函数的值域即可求解. 【详解】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $