第五章 函数应用（高效培优单元测试·强化卷）高一数学北师大版2019必修第一册

第五章 函数应用（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 2．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 4．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 5．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．【学科交叉题】牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（    ）分钟，温度降至. A． B． C． D． 7．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（    ） A． B． C． D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 10．【学科交叉题】声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 13．【情境题】甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时. 14．【新定义题】定义一种运算，若函数，则使不等式成立的的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分13分) 已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 16.(本小题满分15分) 【社会热点题】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 17.（本小题满分15分） 某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 18．（本小题满分17分） 已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 19.（本小题满分17分） 已知函数. (1)写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）； (2)关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围； (3)关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数应用（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【解析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 2．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，解得， 所以， 故选：D 3．已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【答案】B 【解析】因为函数的图象是连续不间断的，且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点.故选：B. 4．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 5．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，即，解得或， 令，则，令，解得，符合题意； 令，则，令，解得，不合题意. 当时，由题意可得，则，解得； 令，则，令，解得或，显然不合题意； 令，则，令，解得或2，显然符合题意. 综上所述，的取值范围为或. 故选：D 6．【学科交叉题】牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（    ）分钟，温度降至. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 又环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降为， 即，，，， 代入可知，则， 设再经过分钟，温度可由降为，即，即，即，故选：B. 7．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 8．已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象如图所示： 当方程有四个不等实根时， ，即， ，即， 且， 若不等式恒成立， 则恒成立， 由 ，当且仅当时等号成立 故， 故实数k的最小值为， 故选：C． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 8．【学科交叉题】声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 【答案】BC 【解析】如图，作出的大致图象，由图可知， 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误； 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确. 令，得，解得或. 若有5个零点，则或解得，故C正确. 若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】 【解析】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 13．【情境题】甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时. 【答案】60 【解析】设汽车速度为千米/时，则运输成本为：， 由， 当且仅当，即时，运输成本最小. 14．定义一种运算，若函数，则使不等式成立的的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据定义的一种运算， 可得， 又由，即， 即 设，可得函数为单调的递减函数， 且，所以，可得， 即，解得， 又由，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分13分) 已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【解析】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，（5分） 又或，经检验，不满足应舍去， 所以.（7分） （2）由方程两根都大于1，得，（10分） 解得， 所以的取值范围是.（13分） 16.(本小题满分15分) 【社会热点题】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【解析】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为.(7分) （2）由题意可知，，，（11分） 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万.（15分） 17.（本小题满分15分） 某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【解析】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以；（4分） 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以；（8分） （2）当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理.(15分) 18．（本小题满分17分） 已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）依题意，， 的图象是开口向上， 以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值， 又函数单调递增，从而的最小值为，当时，取得最大值2， 从而的最大值为，即4．（5分） （2）因为    ①， 以代入，可得， 因为为奇函数，有：， 为偶函数，有：， 于是有       ②， 联立①和②，解得：，．（10分） （3）依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点， 即要在存在零点， 又是开口向下的抛物线且， 则需或，解得， 所以满足题意的实数的取值范围为．（17分） 19.（本小题满分17分） 已知函数. (1)写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）； (2)关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围； (3)关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：． 【解析】（1）当时，，由在上单调递增，在上单调递减， 所以可得在上单调递减， 当时，，由在上单调递增，在上单调递增， 所以可得在上单调递增， 当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和.(5分) （2）因为，所以，所以，又， 作出函数的图像如图所示，关于的方程有四个根， 则函数和有四个交点，所以， 因为，所以可得， 所以，， 由，得，所以，所以， 所以，又，所以， 又，所以，所以，所以， 所以.（11分） （3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，， 所以，，又， 所以，所以，（15分） 所以，所以或，所以（舍去）或， 所以且，所以.（17分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数应用（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【解析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 2．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，解得， 所以， 故选：D 3．已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【答案】B 【解析】因为函数的图象是连续不间断的，且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点.故选：B. 4．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 5．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，即，解得或， 令，则，令，解得，符合题意； 令，则，令，解得，不合题意. 当时，由题意可得，则，解得； 令，则，令，解得或，显然不合题意； 令，则，令，解得或2，显然符合题意. 综上所述，的取值范围为或. 故选：D 6．【学科交叉题】牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（    ）分钟，温度降至. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 又环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降为， 即，，，， 代入可知，则， 设再经过分钟，温度可由降为，即，即，即，故选：B. 7．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 8．已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象如图所示： 当方程有四个不等实根时， ，即， ，即， 且， 若不等式恒成立， 则恒成立， 由 ，当且仅当时等号成立 故， 故实数k的最小值为， 故选：C． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 8．【学科交叉题】声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 【答案】BC 【解析】如图，作出的大致图象，由图可知， 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误； 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确. 令，得，解得或. 若有5个零点，则或解得，故C正确. 若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】 【解析】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 13．【情境题】甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时. 【答案】60 【解析】设汽车速度为千米/时，则运输成本为：， 由， 当且仅当，即时，运输成本最小. 14．定义一种运算，若函数，则使不等式成立的的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据定义的一种运算， 可得， 又由，即， 即 设，可得函数为单调的递减函数， 且，所以，可得， 即，解得， 又由，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分13分) 已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【解析】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，（5分） 又或，经检验，不满足应舍去， 所以.（7分） （2）由方程两根都大于1，得，（10分） 解得， 所以的取值范围是.（13分） 16.(本小题满分15分) 【社会热点题】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【解析】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为.(7分) （2）由题意可知，，，（11分） 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万.（15分） 17.（本小题满分15分） 某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【解析】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以；（4分） 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以；（8分） （2）当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理.(15分) 18．（本小题满分17分） 已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）依题意，， 的图象是开口向上， 以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值， 又函数单调递增，从而的最小值为，当时，取得最大值2， 从而的最大值为，即4．（5分） （2）因为    ①， 以代入，可得， 因为为奇函数，有：， 为偶函数，有：， 于是有       ②， 联立①和②，解得：，．（10分） （3）依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点， 即要在存在零点， 又是开口向下的抛物线且， 则需或，解得， 所以满足题意的实数的取值范围为．（17分） 19.（本小题满分17分） 已知函数. (1)写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）； (2)关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围； (3)关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：． 【解析】（1）当时，，由在上单调递增，在上单调递减， 所以可得在上单调递减， 当时，，由在上单调递增，在上单调递增， 所以可得在上单调递增， 当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和.(5分) （2）因为，所以，所以，又， 作出函数的图像如图所示，关于的方程有四个根， 则函数和有四个交点，所以， 因为，所以可得， 所以，， 由，得，所以，所以， 所以，又，所以， 又，所以，所以，所以， 所以.（11分） （3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，， 所以，，又， 所以，所以，（15分） 所以，所以或，所以（舍去）或， 所以且，所以.（17分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $