精品解析：辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一上学期第三次质量检测数学试题

沈阳市第120中学2025-2026学年度上学期 高一年级第三次质量检测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 2. 函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，排除AD选项； 令可得或， 所以方程在上的零点有且只有三个，排除C选项. 故选：B. 3. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 4. 甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率列式求解. 【详解】由三人中只有甲通过测试的概率为，得，解得， 所以甲、丙两人中至少有一人通过测试的概率. 故选：A 5. 已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ） A. 2000 B. 1999 C. 4000 D. 3999 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，采用倒叙相加法即可求解. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，函数， 所以， 设 则， 两式相加可得，解得， 所以． 故选：D. 6. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，，且，设，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得出，令，则，利用赋值法可求出、、的值，即可得出这三个数的大小关系. 【详解】对任意的、，在等式两边同时除以可得， 令，则， 令，可得，解得， 令可得，所以， 因为，则，所以， 即，所以， 令，则，所以， 即，所以， 令，则， 令，，可得， 即，故， 所以，，，故， 故选：A. 8. 已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，证明函数在上单调递减，根据单调性列不等式即可求解. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，证明函数在上单调递减. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的上四分位数是23 C. ，且 D. 随机事件，若，且，则为互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据极差和方差性质可得；B根据上四分位数定义可得；C根据方差公式可得；D根据概率公式可推导其正确. 【详解】不妨设，根据极差定义， 由，极差为， 根据方差定义，新的数据的方差是，故A正确； 数据排序后为， 上四分位数为第百分位数，，则取第个数， 即上四分位数为，故B错误； 由可得， ，所以C正确； 由， 结合可知， 可得，解得， 根据互斥事件的定义，为互斥事件，故D正确。 故选：ACD 10. 已知函数，若有四个不同的解，，，且，则有（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC选项，再通过判断B选项，最后构造函数令，由其单调性判断D选项． 【详解】由题意，当时，， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示， 易知与直线有四个交点，分别为，，，， 因为有四个不同的解，，，且， 所以，故C错误； 且，故A错误； ，又，， 所以，即，故B正确； 所以，且， 令且，则在上单调递减， 且，所以的最小值为，故D正确． 故选：BD． 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 方程在上有2个不同实数解 D. 定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，，，，则的值可能是2026.（注：） 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知条件确定的周期，从而判断AB，令，确定函数是偶函数，先求出时方程的解，然后由偶函数性质求得在实数集上的解的个数判断C，由与的图象都关于点对称，判断D． 【详解】对于选项AB：因为是奇函数，则的图象关于点对称，即， 又，所以， 即，所以， 可知是周期函数，周期为4， ，故A错误，B正确； 对于选项C：设，则，所以是偶函数， 当时，则， 因为，即， 整理可得，解得或， 即方程有2个解； 当时，，，即方程无解； 当，根据偶函数图象关于y轴对称可知，，， 即方程无解； 当时，根据偶函数图象关于y轴对称可知，，， 即方程无解； 所以方程在上有2个不同实数解，故C正确， 对于选项D：因为，可知的图象关于点对称， 又的图象也关于点对称， 因此与的图象交点也关于点对称， 且，即是它们图象的一个交点， 设与的图象在内有个交点， 可知它与的图象共有个交点， 则， 可知当时，， 所以的值可能是2026，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为： 13. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，） 【答案】7 【解析】 【分析】根据指数函数模型列不等式求解． 【详解】由题意，，， ， ，又， 所以的最大值是7. 故答案为：7. 14. ，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数，化简题中不等式，结合，求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，且， 故函数是奇函数，因为递增，递减，所以函数在上单调递增， 当时，，故，当时，， 所以，即，综上可知. 对任意，不等式恒成立， 可得，因为在单调递增，故等价于， 平方整理得，解方程的根或， 对任意，不等式恒成立，即区间是不等式解集的子集. 当时，不等式解集为，而，无法满足，舍去； 当时，不等式解集为，区间为，不满足子集关系，舍去； 当时，不等式解集为，需满足，解得， 实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），平均数约为74 （2）6人 （3），36 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 16. 沈阳市第一二〇中学是一所具有深厚历史底蕴和鲜明办学特色的省级示范性高中，核心文化为“自律·求真”，强调培养学生自我约束与追求真理的精神.为提高学生数理应用与创新能力，学校组织高一年级、高二年级（以后简称A，B）两年级的教师参加培训. （1）已知该校A，B年级分别有3名领导，此次培训需要从这6名领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间Ω，并求出事件“选取的2人全部来自A年级领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位教师第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的教师才能合格，求每位教师经过培训合格的概率； （3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到A年级领导且第二天选到B年级领导的概率. 【答案】（1）样本空间，选取的2人全部来自A年级领导的概率为； （2）每位教师经过培训合格的概率； （3）第一天选到A年级领导且第二天选到B年级领导的概率为； 【解析】 【分析】（1）设年级的领导为，，，年级的领导为，，，两两组合即可得样本空间，根据样本空间即可计算事件“选取的2人全部来自A年级领导”的概率； （2）至少两轮培训达到“优秀”，即只有两轮优秀和三轮都优秀，根据各轮优秀的概率即可计算每位教师经过培训合格的概率； （3）根据题意得，本小题共有种可能情况，再根据两个年级的领导人数，即可计算第一天选到A年级领导且第二天选到B年级领导的概率； 【小问1详解】 设年级的领导为，，，年级的领导为，，； 样本空间 ， 共有个样本点；事件“选取的2人全部来自A年级领导”包含个样本点，故概率为； 【小问2详解】 设三轮培训优秀分别为事件，，，概率分别为，， 至少两轮培训达到“优秀”的教师才能合格，即包括恰好两轮优秀和三轮都优秀， 概率为 【小问3详解】 随机选两名领导共有种选法；第一天选年级领导有种选法， 第二天选年级的领导有种选法，符合条件的选法共有种，故概率为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是，求的值； （3）已知，，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用指对数函数性质有，则，即可求值域； （2）由题设，令，，讨论结合二次函数性质列方程求参数； （3）令，根据已知将问题化为有两个大于1的不等实根，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以，故的值域是． 【小问2详解】 因为函数的最大值是， 由对数函数的单调性质知的最大值为， 令，， 若，则为开口向上的二次函数，没有最大值，不满足题意； 由（1）知也不满足题意； 所以，此时，在处取得最大值， ，解得（舍去正值）．\ 【小问3详解】 令，， 令，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以方程有两个不等正实根， 即有两个不等正实根， 即有两个大于1的不等实根， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：应用换元法，令，问题化为有两个大于1的不等实根为关键. 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，若对于任意能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”．若函数是区间上的“三角形函数”，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式等价转化为一元二次不等式，再分类求解即可. （2）换元法令，根据对勾函数的单调性，结合不等式恒成立，求出对应区间上函数的最小值即可求解； （3）利用对勾函数的单调性，分、、三种情况得到不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 不等式，由同号得，则， 而，当时，； 当时，解得或；当时，， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得，，由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，，函数在上单调递增，则当时，， 因此，而，所以. 【小问3详解】 由对勾函数性质，得函数在上单调递减，在上单调递增， 依题意，函数是区间上的“三角形函数”，则当时，成立， 当时，在上单调递增，，， 因此，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，， 则或，解得或， 因此； 当时，在上单调递减，，， 则，无解， 所以的取值范围为. 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.） 【答案】（1）1 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，由求解即可； （2）①设，利用为偶函数得到，再由即可求出；②化简，判断在上的单调性，利用单调性，设， 则， 化简，再求出最大值即可. 【小问1详解】 由已知，可得， 则， 则，解得， 所以实数的值为1. 【小问2详解】 ①设， 因为为偶函数，所以， 由，可得， 整理可得，即，所以， 所以对任意恒成立，所以， 所以， 又因为，所以，所以， 故函数的解析式为. ②由①知. 在内任取，且， 则， 因为 ， 所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数. 设， 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 故的最大值为. 【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2025-2026学年度上学期 高一年级第三次质量检测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 2. 函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 3. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为（ ）. A. B. C. D. 5. 已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ） A. 2000 B. 1999 C. 4000 D. 3999 6. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，且，设，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的上四分位数是23 C. ，且 D. 随机事件，若，且，则为互斥事件 10. 已知函数，若有四个不同的解，，，且，则有（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 方程在上有2个不同实数解 D. 定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，，，，则的值可能是2026.（注：） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，） 14. ，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 16. 沈阳市第一二〇中学是一所具有深厚历史底蕴和鲜明办学特色的省级示范性高中，核心文化为“自律·求真”，强调培养学生自我约束与追求真理的精神.为提高学生数理应用与创新能力，学校组织高一年级、高二年级（以后简称A，B）两年级的教师参加培训. （1）已知该校A，B年级分别有3名领导，此次培训需要从这6名领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间Ω，并求出事件“选取的2人全部来自A年级领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位教师第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的教师才能合格，求每位教师经过培训合格的概率； （3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到A年级领导且第二天选到B年级领导的概率. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是，求的值； （3）已知，，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，若对于任意能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”．若函数是区间上的“三角形函数”，求a的取值范围． 19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的. （1）若是由“基函数和”生成的，求的值； （2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $