湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学考后变式卷（同考点）

雅礼中学2025年高一上学期第三次月考变式卷（同考点） 数 学 本试卷共6页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 考试范围：考至必修一5.3诱导公式。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 3．已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，正实数m，n满足，且，若，则在区间上的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 7．设，若这三个数中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数有唯一零点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式中为负值的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象为中心对称图形 B．有且仅有1个零点 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 13．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 14．已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （第15题13分，16-17题，每小题15分，18-19题，每小题17分，共77分） 15．已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值； (3)若，化简并求值. 16．绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时） (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计） （参考数据：，）. 17．已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若，求在区间上的最大值． 18．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19．定义：对函数，对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“k性质函数”. （1）若函数为“1性质函数”，求； （2）证明：函数不是“k性质函数”； （3）若函数，为“2性质函数”，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2025年高一上学期第三次月考变式卷（同考点） 数 学 本试卷共6页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 考试范围：考至必修一5.3诱导公式。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】即不等式得到集合，由集合的交集定义得到结果. 【详解】∵， ∴或， ∴. 故选：A. 2．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据图形，找出边界对应的角，即可写出集合. 【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 3．已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】借助扇形周长公式、弧长公式与面积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故. 故选：B. 4．已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当时，，则，充分性成立， 当时，则，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由条件等式求正、余弦 【分析】将条件式平方化简，再利用与的关系，结合求解，最后由平方差公式即可. 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即， 又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：D. 6．已知函数，正实数m，n满足，且，若，则在区间上的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】函数图象的变换、对数函数图象的应用、对数的运算、求对数函数的最值 【分析】由对数函数的性质，建立方程可得参数的等量关系，从而求得参数值，根据对数函数的单调性，可得答案. 【详解】根据题意作图如下：    由，可得，则， 由，解得，则区间即， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 因，，则函数在上的最大值为. 故选：A. 7．设，若这三个数中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数单调性的应用 【分析】首先确定的大小关系，再由之间的不等关系可解得x的取值范围. 【详解】因为，所以由题意得， 即，则， 所以，解得． 故选：A 8．已知函数有唯一零点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、由对称性研究单调性、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由题可知函数为奇函数且单调递增，进而可得函数的对称中心为，且在R上单调递增，进而即得. 【详解】因为 ， 对于函数定义域为R， 且，， 所以函数为奇函数， 又时，单调递增， 所以时，单调递增， 所以函数在R上单调递增， 所以的对称中心为，且在R上单调递增， 因为，故，， 因为，，所以， 所以， 所以，， 故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式中为负值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】对选项A，B，先根据诱导公式将原式化简，根据各个象限角的三角函数值符号即可判断选项A，B；根据各个象限角的三角函数值符号即可判断选项C，D. 【详解】，故选项A错误； ， ∵，∴，，∴，故选项B正确； ∵，∴，，∴，故选项C正确； ∵，∴，∴，故选项D错误. 故选：BC. 10．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：ACD 11．（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象为中心对称图形 B．有且仅有1个零点 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数奇偶性的应用 【分析】令，则，进而根据为奇函数，并结合图象平移即可判断A；利用导数研究函数的单调性，进而根据零点存在性定理判断B；根据函数的单调性并结合得，进而解不等式即可判断C；将问题转化为，进而根据的奇偶性与单调性求解即可判断D. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以为奇函数，图象关于点对称， ， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 因为，所以 所以函数在上单调递减， 对于A，因为图象为函数图象向上平移3个单位得到， 所以的图象关于点对称，即的图象为中心对称图形，故A正确； 对于B，因为图象可由函数的图象向上平移3个单位得到， 则函数在上单调递减， 又，，有且仅有1个零点，故正确； 对于C，因为，所以， 因函数在上单调递减，则得，即，解得：， 所以，当，实数的取值范围为，故C正确； 对于D，由得， 因为为奇函数，所以， 因函数在上单调递减，则，解得，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造函数，得，进而利用结合单调性，奇偶性依次讨论各选项即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 【答案】7 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【详解】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 13．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题、奇偶函数对称性的应用 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 14．已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用 【分析】根据题目条件结合函数图像分析的取值范围. 【详解】函数的图象如图所示： 设 ， 结合图像可得：，且，， 而 ，故， 故， 设，而在上为增函数，， 故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （第15题13分，16-17题，每小题15分，18-19题，每小题17分，共77分）15．已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值； (3)若，化简并求值. 【答案】(1)， (2) (3)4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据同角三角函数的商数关系即可求解； （3）根据诱导公式和同角三角函数的商数关系化简计算即可． 【详解】（1）由角为第二象限角，且， 所以，. （2）. （3）. 16．绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时） (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计） （参考数据：，）. 【答案】(1)不能达到净化目的，最多可净化10.4小时； (2)第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶. 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）利用条件建立函数模型，结合指数与对数的转化计算解不等式即可； （2）设第一次投放n瓶，利用条件建立不等式组，利用指数的近似值解不等式组即可. 【详解】（1）假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时， 则，所以， 两边取常用对数得， 所以， 因为，所以不能达到净化目的，最多可净化10.4小时； （2）设第一次投放n瓶，第二次投放瓶，且， 依据题意得， 由第一个不等式可得，， 由第二个不等式可得，， 所以； 又因为，所以n可取6或7. 所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6瓶，第二次投放3瓶； 或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶. 17．已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若，求在区间上的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】含参指数函数的最值、求函数的零点、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）当时，解方程可得函数的零点； （2）令，将问题转化为求函数在区间上的最大值，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可求得的表达式. 【详解】（1）当时，， ，由，可得，解得， 即当时，函数的零点为； （2）令，即求在区间上的最大值． 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，，，则； ③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时，，则； ④当时，即当时，函数在区间上单调递减， 所以，. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 18．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、求指数型复合函数的值域、由指数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）令，则，进而转化为解得，再解对应不等式得解集； （2）根据对数运算得，再结合二次函数性质求值域即可； （3）由题知 恒成立，进而求得将问题转化为，再解对应不等式即可. 【详解】（1）解：， 令，则，得， 由，可得，即， 解得， 又，所以，故， 故不等式的解集为. （2）解：由，化简可得 ． ， 因为，所以， 即的值域为. （3）解：因为不等式对任意实数恒成立， 所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为．. 19．定义：对函数，对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“k性质函数”. （1）若函数为“1性质函数”，求； （2）证明：函数不是“k性质函数”； （3）若函数，为“2性质函数”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3） 【知识点】函数新定义 【解析】（1）根据可得方程，解方程求得结果； （2）采用反证法，假设为“性质函数”，可整理得到，由判别式可知方程无根，从而假设错误，得到结论； （3）根据对数函数定义域要求可知；利用整理可得方程：，分别在和两种情况下令方程有根，从而求得的范围. 【详解】（1）由题意得：，即：，解得：； （2）假设存在且满足条件：， 则，即：， ，方程无实根，与假设矛盾， 不是“性质函数”； （3）且，， 由题意得：存在，使得， ，即：， 整理得：， 当时，，满足题意， 当时，由得：，即， 解得：且， 综上所述：. 【点睛】本题考查函数中的新定义运算的求解问题，关键是能够准确理解新定义运算的含义，将问题转化为一元二次方程是否有解得讨论、方程有解求解参数范围的问题；易错点是在方程二次项系数含参数时，忽略对于二次项系数是否为零的讨论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2025年高一上学期第三次月考考后变式卷（同考点） 整体难度：一般 考试范围：等式与不等式,集合与常用逻辑用语,三角函数,基本初等函数，函数与方程 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 较易 9 适中 8 较难 2 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.85 解不含参数的一元二次不等式；交集的概念及运算 2 0.85 根据图形写出角（范围） 3 0.85 扇形面积的有关计算；扇形弧长公式与面积公式的应用 4 0.85 判断命题的充分不必要条件；由终边或终边上的点求三角函数值；由三角函数值求终边上的点或参数 5 0.85 由条件等式求正、余弦；sinα±cosα和sinα·cosα的关系；已知弦（切）求切（弦） 6 0.65 求对数函数的最值；对数的运算；对数函数图象的应用；函数图象的变换 7 0.65 对数函数单调性的应用 8 0.4 函数奇偶性的定义与判断；比较函数值的大小关系；由对称性研究单调性；根据解析式直接判断函数的单调性 二、多选题 9 0.85 已知角或角的范围确定三角函数式的符号；三角函数的化简、求值——诱导公式 10 0.85 由不等式的性质比较数（式）大小；作差法比较代数式的大小 11 0.4 函数奇偶性的应用；利用导数求函数的单调区间（不含参）；根据函数的单调性解不等式；由对数函数的单调性解不等式 三、填空题 12 0.85 二分法求函数零点的过程 13 0.65 奇偶函数对称性的应用；函数不等式恒成立问题；由函数奇偶性解不等式 14 0.65 对数函数图象的应用；函数图象的应用；分段函数的性质及应用 四、解答题 15 0.85 已知正（余）弦求余（正）弦；已知弦（切）求切（弦）；正、余弦齐次式的计算；三角函数的化简、求值——诱导公式 16 0.65 指数函数模型的应用（2）；指数式与对数式的互化；对数的运算 17 0.65 求二次函数的值域或最值；求函数的零点；含参指数函数的最值 18 0.65 求指数型复合函数的值域；由指数函数的单调性解不等式；求对数型复合函数的值域；指数函数最值与不等式的综合问题 19 0.65 函数新定义 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 等式与不等式 1,10 2 集合与常用逻辑用语 1,4 3 三角函数与解三角形 2,3,4,5,9,15 4 函数与导数 6,7,8,11,12,13,14,16,17,18,19 难度分布 较易 适中 较难 47.37 42.11 10.53 学科网（北京）股份有限公司 $