精品解析：湖南省长沙市南雅中学2025-2026学年高一上学期12月限时训练数学试题

南雅中学2025年下学期第12月限时训练高一数学 时量：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断. 【详解】命题“”的否定是. 故选：D 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 3. 已知的反函数为，若，则 A. -2 B. -1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到，由，解方程，即可得出结果. 【详解】∵的反函数是，∴. ∴. 故选C 【点睛】本题主要考查解含对数的方程，熟记对数运算的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型. 4. 在中，下列关系不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式求得正确答案. 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项错误. 故选：ACD 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将变形为，再由幂函数和对数函数的单调性，并借助中间值1比较出的大小. 【详解】， ∵，，函数在上单调递增， ∴，即，∴. ∵函数在上单调递增， ∴，即，∴. ∴. 故选：D. 6. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 7. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定出天数与荷叶覆盖水面的面积之间的关系式，再结合指数幂、对数的运算性质求解即可. 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则经过天荷叶覆盖水面的面积， 由题意得，即， 两边取以10为底的对数得， 所以， 解得． 故选：． 8. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简得出，结合题中可求出其极限值. 【详解】因为， 当越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近于，会无限趋近于， 所以会无限趋近于，故会无限趋近于， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质计算各个选项即可得出结论. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A错误； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，，故C正确： 对于D，原式，故D错误． 故选：C. 10. 下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若角的终边经过点，则 B. 若，则 C. 若，且为第四象限角，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求，判断A的真假；利用同角的三角函数基本关系，可判断B的真假；利用诱导公式和同角的三角函数基本关系，可判断CD的真假. 【详解】对于A：，所以，故A正确： 对于B：因为，则，故B错误； 对于C：因为 ，则，又为第四象限角，则， 又，故C正确； 对于D：根据诱导公式可得， 又，则，，则有，故D正确． 故选：ACD 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 若函数，则与是同一个函数 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同一函数的概念判断A的真假；研究函数的单调性，判断B的真假，研究与的关系，判断C的真假；利用函数的单调性和对称性，判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以与是同一个函数，故A正确； 对B：当时，，所以， 因为在上单调递减，且，在上单调递增， 所以在上单调递减，故B错误； 对C：因为， 即，所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D：因为， 又，所以， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 设定义域为R的函数，则关于x的函数零点的个数为______. 【答案】5 【解析】 【分析】令解得或，作出的简图，由数形结合判断即可. 【详解】令，得或. 作出的简图， 由图象得当或时，分别有3个和2个交点， 故关于的函数的零点的个数为5. 故答案为：5. 14. 已知，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先进行同构得到，再把问题转化为在上恒成立，求的取值范围求解. 【详解】由， 因为，所以，即， 所以. 设，因为在上单调递增，且. 所以. 又在上单调递增，所以. 所以. 故实数的取值范围为：. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，的定义域为集合为实数集． （1）求 （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）明确集合，根据交集的概念求解； （2）根据并集和补集的概念求解. 【小问1详解】 由或， 所以或， 由有意义，可得， 故，则； 【小问2详解】 方法1：因为，或， 所以. 方法2：或， 所以. 16. 已知， 计算：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）分子分母同除以，得到，代入的值即可； （2），分子分母同除以，得到，代入的值即可. 【详解】（1）. （2）. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，涉及到，的齐次式的计算，考查学生转化与化归的思想，是一道容易题. 17. 已知函数 （1）若为偶函数，求在上的值域； （2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围； （3）当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据函数为偶函数，确定的值，再求二次函数在给定区间上的值域. （2）根据函数在给定区间上的单调性，确定函数对称轴和区间的位置关系，可求的取值范围. （3）分离参数，转化成恒成立，利用基本不等式可求的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为偶函数， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以当时，. 即所求函数的值域为． 【小问2详解】 因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为， 又函数在上单调递减，所以． 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，当时，的图象恒在直线的上方， 所以在区间上恒成立，即， 等价于恒成立， 因为（当且仅当，即时取等号）. 所以. 所以实数的取值范围为． 18. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，． （1）求及的值； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于不等式． 【答案】（1）；． （2） 设且，则，， ， 所以，即在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】(1) 令，得到，再令，即可得到结果； (2) 设且，则，，根据定义即可求； (3) 由，得到 ，根据题意，转化为，即可得到. 【小问1详解】 令，则，所以； 令，则， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，即， 即，即， 又因为，故， 所以，即， 故，即． 所以不等式的解集为. 19. 一般地，设函数的定义域为，现有如下结论：①如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则函数的图象关于点成中心对称图形．②如果存在实数使得对任意且的实数恒成立，则函数的图象关于直线成轴对称图形． 已知函数． （1）计算的值，并求的对称中心； （2）若函数的图象关于对称，且方程有实数解，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在正整数符合题意． 【解析】 【分析】（1）由函数解析式计算，根据题目定义得到函数的对称中心； （2）由题意得求出，从而得到函数，然后化简方程，得到的关系式，由对数函数值域得到实数的取值范围； （3）化简（2）中的，并由基本不等式求得最小值，由函数的对称性得到，从而求得，由题意列出不等式解得所有的值. 【小问1详解】 ． 所以的对称中心为 【小问2详解】 因为函数的图象关于对称，所以 故，故， 所以， 方程可化为，即， ∵，∴，∴， 故实数的取值范围是． 【小问3详解】 由（2）知， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2． 因为图像关于点对称，区间关于对称，所以， ， 所以 ． 所以，解得．所以存在正整数符合题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南雅中学2025年下学期第12月限时训练高一数学 时量：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的反函数为，若，则 A. -2 B. -1 C. 2 D. 4. 在中，下列关系不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 8. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若角的终边经过点，则 B. 若，则 C. 若，且为第四象限角，则 D. 若，且，则 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 若函数，则与是同一个函数 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的值为_____． 13. 设定义域为R的函数，则关于x的函数零点的个数为______. 14. 已知，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，的定义域为集合为实数集． （1）求 （2）求． 16. 已知， 计算：（1）； （2）. 17. 已知函数 （1）若为偶函数，求在上的值域； （2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围； （3）当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 18. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，． （1）求及的值； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于不等式． 19. 一般地，设函数的定义域为，现有如下结论：①如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则函数的图象关于点成中心对称图形．②如果存在实数使得对任意且的实数恒成立，则函数的图象关于直线成轴对称图形． 已知函数． （1）计算的值，并求的对称中心； （2）若函数的图象关于对称，且方程有实数解，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $