17.1.1等腰三角形随堂演练 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

17.1.1 等腰三角形 一、选择题 1．等腰三角形的两边长分别为5和10，则此三角形的周长为（　　） A．20 B．25 C．26 D．20或25 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（　　） A．50° B．120° C．50°或120° D．50°或130° 3．已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成9cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长（　　） A．3或7 B．3 C．7 D．3或 4 4．如图，已知，，的垂直平分线交于点D，则等于（　　） A． B． C． D． 5．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断：①OB⊥OD；②∠BOC=∠AOB；③OE=OF；④∠BOC+∠AOD=180°，正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠PAC＝x°，则∠1的度数是（　　）°． A．90﹣x B．x C．90﹣x D．60﹣x 7．如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB=QC=PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（　　） A． B．2 C． D．3 9．如图，一束太阳光线平行照射在垂直放置于水平地面的等边三角形ABC上，若∠1=24°，则∠2的度数为(　　) A．24° B．36° C．48° D．56° 10．如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 12．等腰三角形的顶角为100°，则它的一个底角度数为　 　． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，若BD=3，则BC=　 　. 14．如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为　 　度． 15．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是　 　． 三、解答题 16．用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）能围成有一边长为11cm的等腰三角形吗?如果能，请求出它的底边长. 17．如图，在△ABC中，D是AC上任意一点，连接BD， （1）在线段BD作点E，使△BEC为等腰三角形， （2）在（1）条件下，连接CE，BD=6，DC=4，求△DEC的周长. 18． 如图，在中，，，于点D，点E在AC上且. （1） 若的周长是22cm，求线段BD的长； （2） 求的度数. 19．如图，是边长为2的等边三角形，是延长线上一点，以为边作等边三角形，连接. （1）求的度数. （2）求的值. 20．如图，△ABC是等边三角形，延长BA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连结AE，CD，EA的延长线交CD于点F. （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠CFE的度数， 答案 1．B 解：当5为底，10为腰时，满足三角形的三边关系，此时，三角形的周长=5+10+10=25， 当5为腰，10为底时，5+5=10，不满足三角形的三边关系，舍去， 故答案为：B 2．D 解：①当为锐角三角形时，如图①， ∵高与右边腰成40°夹角， ∴顶角为180°-90°-40°=50°； ②当为钝角三角形时，如图②， ∴此时垂足落到三角形外面， ∵三角形内角和为180°， ∴由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°， ∴三角形的顶角为130°； 综上所述，该等腰三角形的顶角为50°或130°， 故答案为：D． 3．D 解：设等腰三角形的腰长，底边长分别为 xcm，ycm， 由题意得 解得 或 故等腰三角形的底边长为3cm或7cm。 故答案为：D. 4．B 解：∵、， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．C 解：过点O作GM⊥OH ∵OE⊥OF ∴∠BOE+∠BOF=90° ∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称 ∴∠AOB=∠COD ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF ∴ ∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF ∴∠BOE+∠BOF=∠DOF+∠BOF，即∠BOD=∠EOF=90° ∴OB⊥OD，①正确 ∵∠BOH不一定等于∠BOE ∴∠BOC不一定等于∠AOB，②错误 ∵△OAB与△ODC关于直线l对称 ∴△OAB≌△ODC ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点 ∴OE=OF，③正确 ∵∠GOD+∠DOH=90°，∠BOH+∠DOH=90° ∴∠GOD=∠BOH 同理可得：∠AOM=∠BOH 由轴对称性质可知：∠BOH=∠COH ∴∠AOM+∠GOD=∠BOC ∴∠BOC+∠AOD=180°，④正确 故答案为：C 6．A 解：连接PB、PC， ∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC， ∴∠PBA＝∠PAB，∠PBC＝∠PCB，PA＝PC， ∴∠PCA＝∠PAC＝x°，∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝∠B， ∴2∠B+2x°＝180°， 解得，∠B＝90°﹣x°， ∴∠DPE＝180°﹣∠B＝90°+x°， ∴∠1＝180°﹣∠DPE＝（90﹣x）°， 故选：A． 7．D 解：∵△APQ是等边三角形， ∴∠APQ=∠AQP=60°。 ∵PB=PQ， ∴∠B=∠BAP， ∴∠APQ=∠B+∠BAP， ∴∠B=∠BAP=∠APQ=×60°=30°。 ∵QC=PQ， ∴∠C=∠CAQ。 又∵∠AQP是△ACQ的外角， ∴∠AQP=∠C+∠CAQ， ∴∠C=∠CAQ=∠AQP=×60°=30°。 在△ABC中， ∠BAC=180°-∠B-∠C ∠BAC=180°-30°-30° =120°。 故答案为：D 8．B 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABD=∠C=∠BAC=60° ∵∠AFE是△ABF的外角， ∴∠AFE=∠BAD+∠ABF ∵∠BAD=15°，∠AFE=60° ∴∠ABF=∠AFE-∠BAD=45° ∴∠CBE=∠ABD-∠ABF=15° ∴∠BAD=∠CBE=15° 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE(ASA) ∴BD=CE ∴BC-BD=AC-CE ∴CD=AE， ∵ ∴ 过点E作EH⊥AF于点H，如图所示： ∴∠AHE=90° ∵∠HAE=∠BAC-∠BAD=60°-15°=45° ∴△AHE是等腰直角三角形 ∴AH=EH 由勾股定理得：， ∴ 在Rt△EFH中，∠AFE=60°， ∴∠FEH=90°-∠AFE=30°， ∴ 由勾股定理得： ∴ ∴EF的长为2 故选：B. 9．B 解：如图. 因为等 边 三 角 形 ABC中， ∠ACF = 60°， 所以 ∠ACD = 120°. 因为∠1= ∠CBD =24°，所以∠BDC = 180°-120°-24°=36°. 因为太阳光线平行，所以DB∥EF，所以∠2=∠BDC=36°. 故答案为： B. 10．C 解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C 11．D 解：∵和均是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴，∴①正确； ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴， ∴，∴②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴③正确． 故选：D． 12．40° 解：∵等腰三角形的顶角为100°， ∴ 它的一个底角度数为 故答案为：40° 13．6 解： ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵∠1=∠2， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∴D是BC的中点， ∴BD=CD=3， ∴BC=BD+CD， BC=3+3=6。 故答案为：6 14．15 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．6 解：连接CF， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC ∴EB=EC， 当B. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， ∴AD=CF=6， ∴EF+BE的最小值为6， 故答案为6. 16．（1）解：设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm， 由题意可得， x+2x+2x=35， 解得x=7， ∴2x=14， 即各边的长为7cm、14cm、14cm； （2）解：能围成有一边长为11cm的等腰三角形， 当腰长为11cm时，则底边长为35-11×2=13(cm)， ∵11+11>13， ∴能围成有腰长为11cm的等腰三角形， ∴三角形的另外两边长为11cm、13cm； 当底边长为11cm时，则腰长为(35-11)÷2=12(cm)， 显然成立 ∴三角形的另外两边长为12cm、12cm； 由上可得，三角形的另外两边长为11cm、13cm或12cm、12cm. 故底边长为11cm或13cm. 17．（1）解：如图： （2）解： 在（1）条件下 △BEC为等腰三角形 ∴BE=EC ∵△DEC的周长=CE+DE+CD=BE+ED+CD=BD+CD， BD=6，DC=4 ∴ △DEC的周长为10. 18．（1）证明：∵，， ∴（三线合一）， ∵的周长是22cm， ∴AB+AC+BC=22， ∴， ∴. （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 19．解：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形， ∴AB=AC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=∠C=∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD， ∴∠CBD=∠ABE， 在△CBD和△ABE中， ∵， ∴∴△CBD≌△ABE（SAS）， ∴∠BAE=∠BCD=60°， ∴∠EAD=180°-∠BAC∠BAE=-180°-60°-60°=60°. （2）∵△CBD≌△ABE， ∴CD=AE， ∵是边长为2的等边三角形， ∴AC=2， ∴AE-AD=CD-AD=AC=2． 20．（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠CAB， ∴∠ABE=∠CAD， ∵AD=BE， ∴△ABE≌△CAD(SAS) （2）解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴△ABE≌△CAD， ∵∠E=∠D， ∴∠CFE=∠CDAF+∠D=∠BAE+∠E=∠ABC=60°. 学科网（北京）股份有限公司 $