专题02 同角三角函数关系和诱导公式10种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题02 同角三角函数关系和诱导公式10种常考题型 题型一：同角三角函数平方关系-已知正（余）弦求另一 题型二 ：同角三角函数平方关系-条件等式求正余弦 题型三 ：同角三角函数平方关系-平方关系-求参数 题型四：同角三角函数商数关系-已知弦（切）求另一 题型五：同角三角函数商数关系-正、余弦齐次式的计算 题型六：同角三角函数关系-化简、求值 题型七：诱导公式的简单应用 题型八：利用诱导公式对三角函数式进行化简、求值 题型九：三角恒等式的证明 题型十：同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 题型一：同角三角函数平方关系-已知正（余）弦求另一 1.若，且为第三象限角，则（      ） A． B． C． D． 2.已知α是第四象限角，sinα＝－，则cosα等于（      ） A．－ B． C．－ D． 3.（多选）下列结论中成立的是（      ） A．且 B．且 C．且 D．且 4.已知，且，则 ； 题型二 ：同角三角函数平方关系-条件等式求正余弦 5.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 6.已知是三角形的一个内角，且满足，则（      ） A．2 B．1 C．3 D． 7.已知，，则（  ） A． B． C． D． 8.（多选）已知，，则（      ） A． B． C． D． 9.（多选）已知，则的值可以是（      ） A． B． C． D．3 10.已知，为第三象限角，则的值为 . 11.已知，，则的值为________ 12.已知，其中为第二象限角． (1)求的值； (2)求的值． 题型三 ：同角三角函数平方关系-平方关系-求参数 13.已知角的终边过点，则（      ） A． B． C． D． 14.已知函数的最小值为0，则c＝（      ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 15.（多选）已知，是关于的方程的两根，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 16.（多选）已知，则m的值可以等于（      ） A．0 B．4 C．6 D．8 17.已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 题型四：同角三角函数商数关系-已知弦（切）求另一 18.，且满足，则（      ） A． B． C． D． 19.若，且是第二象限角，则值是（      ） A． B． C． D． 20.（多选）下列说法中正确的有（      ） A．若，则 B．已知角，若，则 C．已知角，若，则 D．对于任意角都有 21.（多选）已知，，且，下面选项正确的是（      ） A． B．或 C． D． 22.（1）若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为 ； （2）已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为 . 题型五：同角三角函数商数关系-正、余弦齐次式的计算 23.（多选）已知，则下列结果正确的是（      ） A． B． C． D． 24.设，则__________ 25.已知，则的值为 ． 26.已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； 27.已知 (1)求的值； (2)求的值． 题型六：同角三角函数关系-化简、求值 28.已知，则（  ） A． B． C． D． 29.已知，则（      ） A． B． C．1 D． 30.（多选）已知，则（  ） A． B． C． D． 31.（多选）已知，，则下列选项中正确的有（  ） A． B． C． D． 32.（多选））已知，且，则下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 33.已知，且是第三象限的角，则 ． 34.已知，且，则： （1）的值为 ； （2）的值为 . 35.已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 题型七：诱导公式的简单应用 36.（  ） A． B． C． D． 37.=（  ） A． B． C． D． 38.在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（  ） 39.（多选）下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 40.（多选）已知，则A的值是（　　） A． B． C．1 D．2 41.已知，则 42.已知 题型八：利用诱导公式对三角函数式进行化简、求值 43.若，则（  ） A． B． C． D． 44.已知角的终边与单位圆的交点为，则（  ） A． B． C． D． 45.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 46.已知，则 ． 47.化简： (1)； (2)． 48.已知，， (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 题型九：三角恒等式的证明 49.求证： 50.已知，求证：. 51.证明：． 52.求证： (1)； (2)； (3)． 题型十：同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 53.已知，则（  ） A． B． C． D． 54.已知为锐角，且，则角（  ） A． B． C． D． 55.已知角，且，则等于（  ） A． B． C． D． 56.若为第二象限角，且，则的值是 ． 57.若，且，则 . 58.已知. （1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 . 59.已知，且是第一象限角. (1)求的值； (2)求的值. 60.已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 61.已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 同角三角函数关系和诱导公式10种常考题型 题型一：同角三角函数平方关系-已知正（余）弦求另一 题型二 ：同角三角函数平方关系-条件等式求正余弦 题型三 ：同角三角函数平方关系-平方关系-求参数 题型四：同角三角函数商数关系-已知弦（切）求另一 题型五：同角三角函数商数关系-正、余弦齐次式的计算 题型六：同角三角函数关系-化简、求值 题型七：诱导公式的简单应用 题型八：利用诱导公式对三角函数式进行化简、求值 题型九：三角恒等式的证明 题型十：同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 题型一：同角三角函数平方关系-已知正（余）弦求另一 1.若，且为第三象限角，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数间的基本关系即可求解． 【解析】∵，且为第三象限角， ∴， ∴． 故选:D． 2.已知α是第四象限角，sinα＝－，则cosα等于（      ） A．－ B． C．－ D． 【答案】B 【分析】根据平方公式求解即可. 【解析】因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cos α＝＝. 故选：B. 3.（多选）下列结论中成立的是（      ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】BC 【分析】由同角三角函数间的关系逐个分析判断即可． 【解析】对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，即，故B正确； 对于C：因为，所以，即，又因为，故 ，所以C正确； 对于D：因为时，角的终边落在轴的非负半轴上，此时无意义，故D错误； 故选：BC． 4.已知，且，则 ； 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，先求出，然后求得. 【解析】因为，且，所以， 则. 故答案为：. 题型二 ：同角三角函数平方关系-条件等式求正余弦 5.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求出的平方的值，结合角的范围，判断的正负，即可求得答案. 【解析】因为， 所以 ， 而，故， 故， 故选：B. 6.已知是三角形的一个内角，且满足，则（      ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用平方关系可求得，可解得，再结合是三角形的一个内角即可得，即可求出. 【解析】将两边同时平方可得，即； 所以 若，解得，这与是三角形的一个内角矛盾， 所以，解得，此时求得. 故选：A. 7.已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解析】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 8.（多选）已知，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】将平方可得，判断角的范围，从而求得，即可求出，，的值，判断A，B，C，D. 【解析】因为①，故， 即， 因为，故，可得， 则，故②， ①②联立解得，，故A正确，B错误； ，C错误；D正确 故选：AD 9.（多选）已知，则的值可以是（      ） A． B． C． D．3 【答案】CD 【分析】利用平方关系结合已知求出，再根据商数关系即可得出答案. 【解析】解：由，得， 又， 所以， 解得或， 当时，，则， 当时，，则. 故选：CD. 10.已知，为第三象限角，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由同角三角函数的关系分别求得，即可得到结果. 【解析】由题意可得，，即，且为第三象限角， 则，，所以. 故答案为：. 11.已知，，则的值为________ 【答案】 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【解析】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故答案为： 12.已知，其中为第二象限角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的平方关系列方程求解即可； （2）利用三角函数的商数关系求得代入即可求解. 【解析】（1）由已知条件，化简可得， 代入，得， 解得或， 又在第二象限，，， 所以，， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以． 题型三 ：同角三角函数平方关系-平方关系-求参数 13.已知角的终边过点，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解. 【解析】由三角函数的定义可得：， 也即，由可得： ，解得：或（舍去）， 因为角的终边过点，所以，则， 故选：A. 14.已知函数的最小值为0，则c＝（      ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】把函数转化为关于的二次函数求最值即可解决． 【解析】， 因为，所以 当时，函数取得最小值0，即， 所以． 故选：A. 15.（多选）已知，是关于的方程的两根，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据及根与系数的关系求解即可. 【解析】，是关于的方程的两根， ，， ． ,,，即. 经检验满足 . 故选:BC 16.（多选）已知，则m的值可以等于（      ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】AD 【分析】根据同角三角函数基本关系，列出方程，即可得答案. 【解析】根据同角三角函数基本关系， 解得或. 故选：AD 17.已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； （2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可. 【解析】（1）、是关于的方程的两个根， ，解得或，则，， ， 解得或（舍），故； （2） . 题型四：同角三角函数商数关系-已知弦（切）求另一 18.，且满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，即可求解. 【解析】因为，可得， 由，即，解得， 所以. 故选：A 19.若，且是第二象限角，则值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角间的三角函数关系，求出. 【解析】因为为第二象限角，, 所以， 所以. 故选：B． 20.（多选）下列说法中正确的有（      ） A．若，则 B．已知角，若，则 C．已知角，若，则 D．对于任意角都有 【答案】AC 【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【解析】对A，因为，所以，正确； 对B，，，的值为负数，不正确； 对C，，在第一象限，则，正确； 对D，当时，，不存在，故不正确. 故选：AC. 21.（多选）已知，，且，下面选项正确的是（      ） A． B．或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角的基本关系和可求出的值，进而求出的值，然后就可以验证C，D选项. 【解析】由，，可得， ， ， 解得或. ，，经检验，当时，，不合题意， ， 此时，，. 故A项正确，B项错误，CD项正确. 故选：ACD. 22.（1）若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为 ； （2）已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为 . 【答案】 － 【分析】（1）由已知得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，可求得cosα，sinα，代入可求得答案； （2）由已知得cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，从而有cosα－sinα＞0.再求得(cosα－sinα)2，由此可求得答案. 【解析】解：（1）由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1， ∴cos2α＝，又cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝， 故sinα＋cosα＝－. （2）∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0. 又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝. 故答案为：－；. 题型五：同角三角函数商数关系-正、余弦齐次式的计算 23.（多选）已知，则下列结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合，利用齐次式的处理方法求解. 【解析】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 24.设，则__________ 【答案】 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【解析】因为， 所以 . 故答案为： 25.已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的关系将正余弦化为正切求解即可 【解析】由，得， 所以，解得， 故答案为： 26.已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； 【答案】(1)3；(2) 【分析】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； 【解析】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； 27.已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）将条件等式变形，用正切表示，求得的值； （2）首先利用，将原式写成齐次分式的形式，再利用正切表示，即可化简求值. 【解析】（1）由，得，即． （2）因为， 所以 . 题型六：同角三角函数关系-化简、求值 28.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果． 【解析】因为， 平方得，又 故， 则． 故选：B. 29.已知，则（      ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将化成，再结合化简即可. 【解析】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A. 30.（多选）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，化简可得. 【解析】由，得，即，A选项正确，C选项错误； ，两边同时平方，得，即，化简得， 由，则，，所以，B选项正确，D选项错误. 故选：AB 31.（多选）已知，，则下列选项中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可. 【解析】将两边同时平方，整理得， 所以，故D正确． 又，所以， 所以由，解得，故C正确， 所以，，故A正确，B错误， 故选：ACD． 32.（多选））已知，且，则下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【解析】因为， 且，所以所以， 故A正确； ， 且，所以所以， B错误，C正确； 联立解得， 所以，故D正确； 故选:ACD. 33.已知，且是第三象限的角，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合同角三角关系分析运算，注意三角函数值符号判断. 【解析】因为，则，解得， 又因为， 且是第三象限的角，则， 所以. 故答案为：. 34.已知，且，则： （1）的值为 ； （2）的值为 . 【答案】 【分析】（1）、先判断，再利用同角三角函数的基本关系，求出的值，进而求出，然后求出 （2）将（1）中数值直接代入化简即可； 【解析】（1）、，①， ，， ，，， ,②, 由①②得:, . （2）由（1）知,. 故答案为：；. 35.已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果； （2）先根据条件解得，再将待求式化成关于的齐次分式，并利用弦化切求结果. 【解析】（1）∵为第二象限角，∴ ∴ . （2）由，得， ∴， 所以 . 题型七：诱导公式的简单应用 36.（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解. 【解析】. 故选：D. 37.=（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【解析】. 故选：A. 38.在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数诱导公式求解即可. 【解析】因为，所以角终边经过点， 所以. 故选：C 39.（多选）下列不等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据角的象限与三角函数函数的关系，以及三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解. 【解析】因为角为第二象限角，可得，所以A不正确； 由，所以B不正确； 由，所以C正确； 由，所以D正确. 故选：CD. 40.（多选）已知，则A的值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【分析】分为奇数和偶数直接利用诱导公式即可解答. 【解析】当时，； 当时，； 故选：BD. 41.已知，则 【答案】 【分析】根据诱导公式可得解. 【解析】由诱导公式可得， 又， 故答案为： 42.已知 【答案】-1 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值. 【解析】. 故答案为：-1 题型八：利用诱导公式对三角函数式进行化简、求值 43.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可. 【解析】，． 故选：. 44.已知角的终边与单位圆的交点为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交点求出，结合选项验证即可. 【解析】由题得．所以，A错误； ，B错误；，C正确；，D错误． 故选：C. 45.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简已知等式，可得，结合角的范围，即得答案. 【解析】因为， 所以，解得或，故或， 由于，则，所以， 故选：A. 46.已知，则 ． 【答案】 【分析】把看作整体，根据诱导公式五求解 【解析】设，由题意得，， 根据诱导公式五，. 故答案为： 47.化简： (1)； (2)． 【答案】(1)sin2α; (2)1 【分析】（1）（2）利用诱导公式、商的关系化简可得. 【解析】（1）原式． （2）原式． 48.已知，， (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】(1)根据诱导公式进行化简; (2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值. 【解析】（1）    ∴ （2）∵   ∴ ∵为第三象限角， ∴ ∴的值为. 题型九：三角恒等式的证明 49.求证： 【答案】证明见解析 【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【解析】左边＝＝右边，所以原等式成立． 50.已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【解析】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 51.证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【解析】左边右边， 所以． 52.求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【解析】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 题型十：同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 53.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用诱导公式对化简可得，从而得，而，进而可得结果 【解析】因为， 所以，即， 所以，， 所以， 故选：C 54.已知为锐角，且，则角（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简已知条件，结合诱导公式，求得的大小. 【解析】由， 得， 即， 因为，所以， 所以， 解得. 故选：C 55.已知角，且，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得或， 因为，可得，， 所以得，可得，可得， 所以． 故选：A． 56.若为第二象限角，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】由同角函数的基本关系及诱导公式求解即可． 【解析】由得， 因为为第二象限角，则， 则 ． 故答案为：． 57.若，且，则 . 【答案】 【分析】由及诱导公式得，联立同角平方关系即可求解. 【解析】，，， 联立得. 故答案为： 58.已知. （1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 . 【答案】 或 【分析】利用诱导公式化简得出. （1）对角的终边位置进行分类讨论，结合同角三角函数的基本关系可求得的值； （2）利用诱导公式可求得的值. 【解析】解：. （1）， 当为第一象限角时，，； 当为第四象限角时，，. 综上所述，. （2），且， 所以，. 故答案为：（1）；（2）. 59.已知，且是第一象限角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先弦化切，再结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. （2）先应用诱导公式，再弦化切，最后结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. 【解析】（1） （2） 60.已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）利用诱导公式可化简的表达式； （2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，由此可得出的值； （3）利用诱导公式可化简得出的值. 【解析】（1）. （2）因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. （3）当时，. 61.已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【解析】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $