第二十四章 相似三角形 （单元测试）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第二十四章 相似三角形 （单元测试） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知非零向量、、互不相等，则下列命题中，真命题的个数是（   ） ①若，则；②若，，则；③若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．在中，，是内上的高，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，点E、F分别为边、上的点，且，连接、交于点H，连接交于点O，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（　　） . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 8．如果的值是，那么的值为 ． 9．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 10．已知边长为4的等边的重心为点，则的面积为 ． 11．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 12．如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 13．如图，，且，交于，则 ． 14．如图，，那么 ． 15．如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 16．已知一张三角形纸片，，，，点在边上．如果过点剪下一个与相似的小三角形纸片，可以有3种不同的剪法，则线段的取值范围为 ． 17．已知菱形中，，点为上一点且，连接，把沿翻折，点落在点处，连接交于点G，则 ． 18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．如图，的边长为a，中线为h，菱形的边在的边上，顶点D、G分别在边上，且．求菱形的边长（用含a，h的代数式表示）． 20．如图，已知中，，点在边上，且，点为边的中点，连接、．求证：． 21．已知正方形和正方形，点E在边上，点G在边的延长线上，连接，并延长交于点K． (1)求证：； (2)如果与交于点H，求证：． 22．如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 23．如图， 在中，平分，． (1)已知，求的长； (2)如果 求（用的代数式表示） 24．梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点作，交的延长线于点，则有，，．类似的，如图（3），三边的延长线分别交直线于三点，则有：．请利用上述定理的证明方法或结论完成下面问题： (1)如图（4），等边的边长为，点为的中点，点在上，且，与交于点，求的长．（写出求解过程） (2)如图（5），的面积为，为中点，延长至，使，连接交于，则四边形的面积为 ．（直接写出答案） 25．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形 （单元测试） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 2．已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 3．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 4．已知非零向量、、互不相等，则下列命题中，真命题的个数是（   ） ①若，则；②若，，则；③若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了向量平行的判定，向量的线性运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量的线性运算分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 若，，则，正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有3个， 故选：D． 5．在中，，是内上的高，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，画出图形，可得，由相似三角形的对应角相等，即可解答．熟知相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 则； 故选：C． 6．如图，在菱形中，，点E、F分别为边、上的点，且，连接、交于点H，连接交于点O，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（　　） . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据菱形的性质及，易证是等边三角形，则可得，由即可证得，可得，，由外角性质可得，可判断①②，由点A，H，C，D四点共圆，可得，，可证，可判断③，通过证明，可得，可得，可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， 同理：是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∵， ∴， 故①②正确； ∵， ∴点A，H，C，D四点共圆， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故④正确． 综上，①②③④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及四点共圆．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高之比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故答案为：． 8．如果的值是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要运用了比例性质，根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则，即 ∴ 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 10．已知边长为4的等边的重心为点，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，画出图形，利用重心的性质得到的值即可，熟知重心的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 等边的重心为点， 为的中线，且， ， 根据三线合一可得， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【详解】解：设的高为厘米． 由正方形得，，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵长为厘米，正方形的边长为厘米， ∴， 解得． 即厘米． 故答案为：． 12．如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，，且，交于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由于，而，由此根据相似的性质即可求出，同理求出，即可解答，熟练证明相关的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：，且， ， ，， 设，则， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定和相似三角形的判定和性质，可以得到和的长，从而可以得到的长．本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：作，交于点，交于点， ，， 四边形是平行四边形、四边形是平行四边形， ， ，， ，， ：：， 解得： ， 故答案为： 15．如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先求出，再根据平行线分线段成比例定理可得，则，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知一张三角形纸片，，，，点在边上．如果过点剪下一个与相似的小三角形纸片，可以有3种不同的剪法，则线段的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等知识点，分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】如图所示，过作交于D或交于E，则或△， 此时； 如图所示，过作交于F，则， 此时； 如图所示，过作交于G，则， 当点G与点B重合时，，即， ∴，， ∴当时，此种情况成立， ∵只有3种不同的剪法， ∴当时，不能剪出此种情况， 综上所述，长的取值范围是， 故答案为： 17．已知菱形中，，点为上一点且，连接，把沿翻折，点落在点处，连接交于点G，则 ． 【答案】 【分析】设与交于H，延长，交于点P，连接，，过A作于M，于N，于O，过B作交延长线于Q，设，，由角平分线的性质可证，可得，再证明，可得，证明，，，，证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，可得，即可得解． 【详解】解：设与交于H，延长，交于点P，连接，，过A作于M，于N，于O，过B作交延长线于Q， 设，， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， 把沿翻折，点落在点处， ，，，，， ，， ，，， ， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”， ，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是 （写出所有符合条件的情况）． 【答案】或或或 【分析】分为是等腰三角形，与相似及是等腰三角形，与相似；当是等腰三角形时，又分为和两种；当是等腰三角形时，也分为和两种进行讨论． 【详解】解：若△是等腰三角形，与相似， 如图1， 当，时， ， ， 如图2， 当，时， ， ， 当是等腰三角形，与相似时， 如图3， 当，时， ， ， 如图4， 当，时， ， 设， ， ， ， ， 综上所述：或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，相似三角形的判定等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．如图，的边长为a，中线为h，菱形的边在的边上，顶点D、G分别在边上，且．求菱形的边长（用含a，h的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．菱形的性质，由得，利用相似三角形对应边上中线的比等于相似比，列方程求解．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 【详解】解：设菱形的边长为． 由菱形得，，即， ，， ， 中线为h， ， ， 为的中线， ． ，， 四边形为平行四边形， ， 可得， 解得． 所以菱形的边长是． 20．如图，已知中，，点在边上，且，点为边的中点，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，点为边的中点，而，得到，，又，即，于是得到，等线段代换即可得到结论，熟知有两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 【详解】证明：点为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 21．已知正方形和正方形，点E在边上，点G在边的延长线上，连接，并延长交于点K． (1)求证：； (2)如果与交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质证明，得到，即可得到结论； （2）根据题意证明，有相似三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：正方形， ， 正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 【答案】(1)、； (2)见解析． 【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （）利用平行四边形法则画出图形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，； （2）解：如图， ∴、分别是在，方向上的分向量． 23．如图， 在中，平分，． (1)已知，求的长； (2)如果 求（用的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）根据平行线分线段成比例，得到，再根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点作，交的延长线于点，则有，，．类似的，如图（3），三边的延长线分别交直线于三点，则有：．请利用上述定理的证明方法或结论完成下面问题： (1)如图（4），等边的边长为，点为的中点，点在上，且，与交于点，求的长．（写出求解过程） (2)如图（5），的面积为，为中点，延长至，使，连接交于，则四边形的面积为 ．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查梅涅劳斯定理的运用，相似三角形的判定和性质，理解梅涅劳斯定理，掌握构造三角形相似，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据材料提示的方法计算即可求解； （2）根据材料提示方法得到，由面积公式得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 又∵， ∴，， ∴， 在等边中，，点是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，即， ∴， 如图所示，连接， ∴， ∴， 故答案为：． 25．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 【答案】(1)当是比例三角形，为或或． (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）作，由知，再证得，即，结合知，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是比例三角形，且， ①当时， 得：， 解得：； ②当时， 得：， 解得：； ③当时， 得：， 解得：（负值舍去）； ∴当是比例三角形，为或或； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形；． （3）解：如图，过点A作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$