精品解析：宁夏六盘山高级中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题（AB卷）

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第一学期高一第二次月考测试卷 学科：数学 试卷类型：A､B卷 测试时间：120分钟满分：150分 命题教师：张艳萍 A卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知且是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最大值为4 C. 最小值为8 D. 最大值为8 7. 若，，，则a，b，c间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 与互为反函数 D. 函数的最大值为6 10. 函数在区间上单调递增，则实数的取值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 11. 下列函数中，周期为的偶函数有（ ） A. B. C. D. 12. 设，定义运算已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是的一个周期 C. 是偶函数 D. 的最小值为 三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 弧度对应角化成角度为______. 14. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是______. 15. 函数的定义域为___________. 16. 已知定义在上的偶函数，.时，.若使得成立的有5个，则实数的取值范围是______. 四､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 求值： （1） （2） 18. 已知函数. （1）化简； （2）若，求的值. B卷 19. 已知函数. （1）求的最大值，及取得最大值的自变量的集合； （2）求的单调递增区间. 20. 2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： （1）若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； （2）当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； （3）当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 21. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 22. 设函数，其中，且. （1）当时，求的定义域； （2）当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第一学期高一第二次月考测试卷 学科：数学 试卷类型：A､B卷 测试时间：120分钟满分：150分 命题教师：张艳萍 A卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 若点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】根据三角函数的定义可知，，，则， 所以. 故选：B 3. 已知且是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系得，进而得. 【详解】因为，， 所以， 因为是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C 4. 若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式，即可求解. 【详解】根据弧长公式可知，弧长. 故选：B 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项. 【详解】在上递增， ， ，所以的零点在区间. 故选：A 6. 已知，，若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最大值为4 C. 最小值为8 D. 最大值为8 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：A 7. 若，，，则a，b，c间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合指、对数函数单调性以及正弦函数有界性分析判断. 【详解】因为，即； 又因为，且， 所以. 故选：B. 8. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为，当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据振幅，初相，周期，即可求解函数的解析式. 【详解】设函数的初相为，初始位置可知，，， 则，排除BC， 函数的最小正周期为60秒，且秒针为顺时针，所以，，所以， 且振幅为1，所以满足条件的解析式为. 故选：D 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 与互为反函数 D. 函数的最大值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特殊值判断A；根据含有一个量词的命题否定判断B；根据指对函数互为反函数判断C；配方结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，取，满足，但不满足，故充分性不成立；取，满足，但不成立，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”，故正确； 对于C，由指数函数与对数函数互为反函数可知函数与互为反函数，故正确； 对于D，函数，由于，故当时，函数有最大值6，故正确； 故选：BCD 10. 函数在区间上单调递增，则实数的取值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合对数函数的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，若函数在区间上单调递增， 则在区间上是增函数，即，且， 综上可知，，选项中满足条件的只有CD. 故选：CD 11. 下列函数中，周期为的偶函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，即可判断选项. 【详解】A.函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确； B.函数的最小正周期为，故B错误； C.函数的最小正周期为，且是偶函数，故C正确； D.函数的最小正周期为，为奇函数，故D错误. 故选：AC 12. 设，定义运算已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是的一个周期 C. 是偶函数 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，画出的图象，根据余弦函数的单调性可判断A；由图可判断BD；举反例即可判断C. 【详解】由题意函数， 当时，， 当时，， 故作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 对于A：当时，，则， 而在上单调递减，A正确； 对于B：由图可知的一个周期为，B正确； 对于C：，即，所以不是偶函数，C错误； 对于D：由图可知，的最小值为，D正确. 故选：ABD . 三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 弧度对应角化成角度为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据角度与弧度的互化关系直接求解即可. 【详解】由直接代换得 所以弧度对应角化成角度为 故答案为： 14. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】首先计算函数的对称轴，根据二次函数的单调性，列式求解. 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上是单调函数，则，或， 解得：或. 故答案为： 15. 函数的定义域为___________. 【答案】， 【解析】 【分析】由根式的性质可得，再根据余弦函数的性质求的范围，即可知函数的定义域. 【详解】由题设，，即. ∴，. ∴函数的定义域为且. 故答案为：，. 16. 已知定义在上的偶函数，.时，.若使得成立的有5个，则实数的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据已知条件求出函数的周期和表达式，再结合函数图像分析成立的的个数与实数的取值范围. 【详解】，将换成，， ，故函数的周期为， 又定义在上的偶函数，， 又时，，那么时，，则， 在一个周期内的表达式为， 成立的有5个，等价于函数与图像的交点有个， 在上单调递增，， 当时，不符合题意； 当时， 故需满足当时，，此时，当时，，此时， 实数的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 求值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数、对数的运算性质求值. （2）根据诱导公式和特殊角的三角函数值求值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 18. 已知函数. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用三角函数诱导公式直接化简即可； （2）由得到，将两边同除以， 得到. 【小问1详解】 【小问2详解】 ， B卷 19. 已知函数. （1）求的最大值，及取得最大值的自变量的集合； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1）最大值2， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质求函数的最大值，令，可求自变量； （2）根据正弦函数的性质，令，求函数的增区间. 【小问1详解】 当时，取得最大值2，此时，解得，， 的取值集合为 【小问2详解】 由，得， 所以的单调递增区间为. 20. 2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： （1）若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； （2）当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； （3）当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 【答案】（1）300元； （2）总利润最小值为元，销售量为件； （3）件. 【解析】 【分析】（1）直接代入总利润函数求值即可. （2）根据基本不等式求解最值即可. （3）结合一次函数的性质以及一元二次不等式的解法解分段不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以总利润为元. 【小问2详解】 当时，总利润为元. 当且仅当即件，满足， 所以总利润最小值为元，此时的销售量为件； 【小问3详解】 当时， 总利润为，不符合题意； 当时，由题意总利润为，即， 所以，解得或（与矛盾舍去），所以； 综上，当总利润不低于1000元时，销售量至少为件. 21. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知，进而根据周期公式即可求得，进而得解析式方程； （2）结合（1）知，进而结合诱导公式计算即可； （3）结合诱导公式得，进而求得，再根据题意将问题转化为，解不等式得即可得答案. 【小问1详解】 由于，即，则， 所以 【小问2详解】 由，知 所以 【小问3详解】 因为，所以 从而，即 因为存在，使得不等式成立， 所以，即， 所以 因为，所以，解得 实数的取值范围为. 22. 设函数，其中，且. （1）当时，求的定义域； （2）当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由已知得，，设的定义域为. 任取，，且，则 ， 当时，指数函数在上单调递增. 由于，则，， 所以. 又，故在区间上单调递增， 所以， 即. 故在其定义域内单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据真数为正数，即可列式求解； （2）根据函数单调性的定义，结合对数函数的性质，即可证明； （3）将对数方程转化为关于的方程在区间上有解，首先根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可列式求解. 【小问1详解】 当时，. 根据对数函数的定义可知，即， 故的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则，即，即， 故原题等价于关于的方程在区间上有解. 设. 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 又由在区间上有解及零点存在性定理知， 即，又且，所以， 从而，解得或（舍）， 所以，若存在，使得，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $