精品解析：河南省新未来2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题

河南省新未来2025~2026学年高三年级12月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个集合，再根据交集和补集的定义运算. 【详解】由，得，得，故， ，则，所以. 故选：B. 2. 已知为实数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的分类，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为为实数， 所以，解得，则， 故选：B 3. 已知点在抛物线上，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入抛物线，求出，再根据抛物线的几何性质可得其准线方程. 【详解】将点代入抛物线，可得，解得， 所以准线方程为. 故选：C. 4. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以 故选：A 5. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的的距离，要使圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则，求解即可. 【详解】由题意圆心为，则到直线的距离， 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 则，则的取值范围是. 故选：C. 6. 图1是名为“大铙”的西周云纹青铜乐器，其高76.8厘米，重100.35千克.某同学为估算“大铙”的体积，设计了一个与之等高等口径的组合体（如图2）.该组合体由一个圆台和一个圆柱构成，已知圆台与圆柱的高之比为，圆台的上、下底面和圆柱的底面半径之比为.则圆台和圆柱的体积之比约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，代入体积公式，可得圆柱的体积，由题意，圆台的下底面半径为，上底面半径为，高为，代入公式，可得圆台的体积，即可得答案. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的体积为， 由题意，圆台的下底面半径为，上底面半径为，高为， 所以圆台的体积为， 所以圆台和圆柱的体积之比约为. 故选D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式求出，再由同角三角函数的平方关系和商数关系求出，最后由二倍角的正切关系即可求出的值. 【详解】已知，， 则， 故， ， 故选：A. 8. 设，函数在区间上有唯一零点，则的最小值为（ ） A. B. e C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令整理可得，设函数，求出的单调性可知要使有唯一零点，则，由此可得，再令，求出在上的最小值，即可得出答案. 【详解】令，，两边取对数得，整理得. 设函数，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，有唯一零点，且，则，所以， 即， 设，, 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 易知在上的最小值为， 所以，当且仅当时取等. 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 的最大值为7 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量求模公式，计算求解，可判断A的正误；根据向量平行坐标的关系，结合同角三角函数的关系，计算求解，可判断B的正误；根据向量垂直坐标的关系，结合同角三角函数的关系，计算求解，可判断C的正误；根据绝对值不等式的性质，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以，故A正确； 选项B：当时，得，解得，故B错误； 选项C：当时，得， 又，联立解得，故C错误； 选项D：由题意， 所以，故的最大值为7，故D正确. 故选：AD 10. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. “”是“数列为等差数列”的充分不必要条件 C. 若为单调递增数列，则 D. 若，则数列的前（为奇数）项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，的关系，结合等差数列的定义、充要条件的定义、数列单调性的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为，所以，又因为，所以，所以选项A正确； 因为①， 当时，②， ①②得：， 因为，所以， 所以数列奇数项与偶数项分别成等差数列. 若，又，因为， 所以数列的奇数项以为首项，为公差的等差数列， 即， 列的偶数项以为首项，为公差的等差数列， 即， 所以有，所以数列是等差数列； 若数列是等差数列，则有，所以有， 因此“”是“数列为等差数列”的充要条件，所以B错误； 若数列为单调递增数列，对于任意，都有， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 解得，所以C正确； 若，当为奇数时，，故； 当为偶数时，故， 则当为奇数时，， 所以 ， 即当为奇数时，的前项和为，所以D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为8 【答案】BC 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合对数的运算性质、基本不等式、对勾函数的性质逐一判断即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 设， 因为，所以， 因为，且， 则，即，A错误； ，是方程的两个相异实根， 化简得，故，， 所以，， 所以，当且仅当时取等号， 则，设函数，设，显然该函数单调递增， 函数，由对勾函数的性质可知，在区间上单调递增， 所以，B正确； 因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号，且， 则，，所以， 因为，则，， 所以， 所以当时，取得最小值0， 所以的最小值为1； 因为，所以， 因为，所以， 令，则， 易知，当时，取得最大值， 同时，此时，取最小值1， 所以， 综上的最小值为，且小于8，故C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是相互独立事件，且，，则______. 【答案】0.68 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式结合概率基本性质计算求解. 【详解】因为，是相互独立事件，所以， 则. 故答案为：. 13. 设双曲线的右焦点为，点，在的右支上，点满足.已知，，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，，由题意设，结合双曲线的定义求出，，由为直角三角形列式求出，再由为直角三角形列式化简即可求出的离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，所以，则， 由双曲线的定义可得，， 又因为为直角三角形，则， 即，解得，则，， 且为直角三角形，，所以， 即，所以，即. 则的离心率为. 故答案为：. 14. 记的内角的对边分别为，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得，代入条件中化简可得，然后由正弦定理可得，此时条件转化为，最后利用基本不等式的性质和辅助角公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，即； 由正弦定理，得，所以， 即，即； 因为，所以①，当且仅当时取等号； 又，所以，所以②， 当，即时，等号成立； 由①②知，即，此时； 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； 【小问2详解】 当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 16. 如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建系求得直线方向向量和平面法向量，由向量位置关系即可证明； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 故，，. 设平面的法向量，则， 即，令，得， 则. 因为，故， 为平面的一个法向量，平面， 所以平面； 【小问2详解】 为的中点，故，则，，. 设平面的法向量，平面的法向量，则， ，即，令，得， 则. ，即，令，则， 则. 设平面与平面的夹角为， 所以. 所以， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 17. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设点，，.当为等腰三角形时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】周（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由（1）得，再由累加法即可求出数列的通项公式； （3）设是的三个顶点.分别讨论，和是顶角， 由等腰三角形中的垂直关系求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知得，且. 所以是首项为1，公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）得， 所以，，……，，， 由累加法得. 所以，所以，且符合上式，故数列的通项公式为； 【小问3详解】 设是的三个顶点. ①若是顶角，设点为边的中点，则. 当为等腰三角形时，，则，即，显然不成立，故舍去； ②若是顶角，设点为边的中点，则. 由题意得，则.当为等腰三角形时，，则，显然不成立，故舍去； ③若是顶角，设点为边的中点，则. 当为等腰三角形时，，则. 整理得，即，故，解得. 综上，当为等腰三角形时，的值为1. 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴顶点的动点，且面积的最大值为.直线，分别交于点，，的周长为8. （1）求的方程； （2）证明：以，为焦点且经过点的双曲线也经过点； （3）设，当时，求的最大值. 【答案】（1）或 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，由的面积.得到，再结合的周长，即可求解； （2）由椭圆的定义得到.进而得到.结合双曲线定义即可求解； （3）设点，记，得到的方程为，联立椭圆方程求得，同理求得，进而可求解. 【小问1详解】 设，则的面积. 当时，取最大值，所以. 的周长，故. 因此，或，， 所以的方程为或； 【小问2详解】 由椭圆的定义知. 所以. 由双曲线的定义知，以，为焦点且经过点的双曲线也经过点； 【小问3详解】 由（1），当时，的方程为，，，设点， 记，则直线的方程为. 由得，故. 同理，记，可得. 所以 . 故当，即时，取到最大值. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义、结合直线的点斜式方程、导数的运算法则进行求解即可； （2）（ⅰ）根据极值点的定义，结合函数零点存在原理、对勾函数的单调性进行求解即可； （ⅱ）利用导数判断函数的单调性，结合任意性的定义、函数的最大值进行求解即可. 【小问1详解】 ，，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 （ⅰ），显然单调递减， ∵，， ∴存在，使得，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴为的极大值点，， ∵函数在区间上单调递增，∴， ∴； （ⅱ），易知单调递增， 令，即，即， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且， 由于函数为增函数，∴， 对于任意正实数，，都有 ， ∵，∴，， ∴， ∴对于任意正实数，，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省新未来2025~2026学年高三年级12月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知点在抛物线上，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 图1是名为“大铙”的西周云纹青铜乐器，其高76.8厘米，重100.35千克.某同学为估算“大铙”的体积，设计了一个与之等高等口径的组合体（如图2）.该组合体由一个圆台和一个圆柱构成，已知圆台与圆柱的高之比为，圆台的上、下底面和圆柱的底面半径之比为.则圆台和圆柱的体积之比约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数在区间上有唯一零点，则的最小值为（ ） A. B. e C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 的最大值为7 10. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. “”是“数列为等差数列”的充分不必要条件 C. 若为单调递增数列，则 D. 若，则数列的前（为奇数）项和为 11. 已知函数，若，且，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是相互独立事件，且，，则______. 13. 设双曲线的右焦点为，点，在的右支上，点满足.已知，，则的离心率为______. 14. 记的内角的对边分别为，若，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 16. 如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 17. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设点，，.当为等腰三角形时，求的值. 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴顶点的动点，且面积的最大值为.直线，分别交于点，，的周长为8. （1）求的方程； （2）证明：以，为焦点且经过点的双曲线也经过点； （3）设，当时，求的最大值. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $