数学一模保分卷01（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】联立两个集合里面的方程求方程组的解的个数，根据集合子集的个数公式即可解答． 【详解】由，得，方程， 故方程有两个不同的解，方程组有两组不同的解， ∴有两个元素， ∴的子集个数为， 故选：C． 2．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先计算等号右边模长，再由复数的乘法运算和虚部的概念求解可得. 【详解】，所以，则，即， 所以的虚部为. 故选：A. 3．若平面平面，且，则下列命题正确的是（　　） A．平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线 B．平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线 C．平面内的任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 【答案】B 【分析】准确理解面面垂直的性质，对选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：由面面垂直的性质可得，只有当平面内垂直于交线的直线才垂直于平面内的任意一条直线，故选项A错误； 选项B：设平面内已知直线为. 当时，由面面垂直的性质可得，，那么垂直于平面内的任意一条直线，所以平面内有无数条直线与垂直， 当不垂直于时，在平面内一定可以找到与交线垂直的直线，而平面内有无数条直线与平行，所以平面内有无数条直线与垂直， 综上，平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线，故选项B正确； 选项C：由面面垂直的性质可得，平面内只有垂直于交线才垂直于平面，而不是平面内的任一条直线必垂直于平面，故选项C错误； 选项D：过平面内任意一点作交线的垂线，只有当此垂线在平面内才垂直于平面，故选项D错误. 故选：B 4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，准线交轴于，若最小，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，根据正弦的定义、抛物线定义，结合已知最小，根据正弦函数的单调性可以知道最小，也就是当与抛物线相切时，最小，设的直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程的判别式进行求解即可. 【详解】据题意，不妨设点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为.由题意可得 .因为，所以，若最小，则最小，即最小，由题知当与抛物线相切时，最小.设直线的方程为，则.与联立，得消去得，由，得，所以，点坐标为，所以，此时四边形是正方形，轴，所以. 故选：D    【点睛】本题考查了抛物线物定义，考查了利用直线与抛物线位置关系求参数，考查了数学运算能力. 5．已知，，且，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由得，巧用常数的关系即可求解. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 6．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为. 故选：C. 7．已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 8．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题干条件得到，构造，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案. 【详解】的定义域为，根据对数函数的图象和性质可知， 当时，，当时，， 所以时得， ，当时，，单调递增， 又，所以， 令，则， 由解得，则 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【分析】对于选项A，根据二项分布得到，再根据方差的性质即可判断A选项正误；对于选项B，根据平均数的性质即可判断B选项正误；对于选项C，根据各项系数和求解的值，再根据二项式定理的通项进行求解即可；对于选项D，根据正态分布性质即可判断D选项正误. 【详解】对于A选项，，.故A选项正确； 对于B选项，因为，，，，…，的平均数为，故B选项错误； 对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：. 由的展开式中第项为，当时，得：，即项的系数为.故C选项正确. 对于D选项，服从正态分布，，所以，故D选项正确. 故选：ACD 10．已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的大小为 B．正方体外接球的体积为 C．平面截正方体所得截面为五边形 D．若与相交于点，则直线与平面所成角等于 【答案】BC 【分析】由，将异面直线与所成角转化为，根据正切值即可判断A；根据正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长判断B；延长直线分别与分别交于，连接即可作出截面，可判断C；利用，将所求线面角转化为可判断D. 【详解】对A，因为，所以或其补角即为异面直线与所成角， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以异面直线与所成角不等于，错误； 对B，记外接球的半径为，则，得， 所以外接球的体积，正确； 对C，延长直线分别与分别交于， 连接分别交于点，连接， 则五边形即为平面截正方体所得截面，正确； 对D，因为为正方形，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，所以即为直线与平面所成角， 因为，所以，错误. 故选：BC 11．（多选）定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若，则集合相对常数的“余弦方差”的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换化简得出，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】依题意 ， 因为，所以，所以， 故， 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出，进而求出. 【详解】当时，，则，解得，因此,当时,， 由函数是定义在R上的奇函数，得. 故答案为： 13．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】首先求出，的坐标，即可得到， ，再根据求出在上的投影向量； 【详解】因为，，，所以，， 所以， ， 所以， 所以在上的投影向量为， 故答案为： 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 【答案】 【分析】由题意分析得每局第一个答题是甲或乙，概率均为，设事件表示一局比拼中甲获胜，甲得分有两种情况：3分或2分，分类求出一局后甲获胜的概率，再由独立事件乘法公式求这场比赛甲获胜的概率. 【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2) 【分析】（1）当时，写出，再通过导数判断单调性进而求出极值即可； （2）将等价为，令，求出单调性和极值，根据题目所给近似值，求出满足题目要求的3个整数解，进而可判断的取值范围. 【详解】（1）当时，，，所以， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值.…………4分 （2）不等式在上恰有3个整数解，等价于在上恰有3个整数解， 令，， 则，…………6分 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，…………8分 所以， 又， ， …………10分 所以要使有3个整数解，需满足， 即，此时的整数解为：2，3，4. 所以的取值范围为.…………13分 16．（15分）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及椭圆参数关系得，再由通径的长度求参数，即可得； （2）根据已知，设，联立椭圆，结合向量坐标的线性关系、韦达定理求参数值，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意， 过右焦点作垂直轴的直线，交椭圆于， 代入，则，…………3分 所以，则， 所以椭圆方程；…………5分 （2）由（1）可得，设， 由题意，直线斜率存在，设直线且， 联立，整理得， 所以，则，，…………9分 而， 由，则，即，， 所以，可得，则（舍）或，    当时，经验证满足题设，所以直线方程.…………15分 17．（15分）已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由和计算分析即可求解； （2）先由题意结合（1）中通项公式求出，接着假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，结合等差中项公式分析计算求得得出矛盾，从而得解. 【详解】（1）依题意得，当时，． 由，可得， 两式相减得， 当时，，亦符合， 所以数列是以3为首项，以4为公差的等差数列，故．…………5分 （2）在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，理由如下： 由（1）可得，依题意得， 假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列， 则，即 整理得：①…………9分 又因为m，k，p成等差数列，则， 代入①式整理得： ， 即，化简得，即， 而m，k，p成等差数列，即， 又因为，，为不同的三项，，故假设不成立． 因此，在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列．…………15分 18．（17分）如左图，在平行四边形，已知，将三角形沿着折起得到右图中的二面角，使得.    (1)求证：平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)设，判断三棱锥外接球的球心O与B所连线段和平面是否有交点，并求此外接球的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)有交点， 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2） 建立空间直角坐标系，进行求解； （3）求出，三角形的外心为的中点，设外接球的球心为，由，求解，即可求解． 【详解】（1）在题左图中，    因为，所以， 所以， 在题右图中， 因为，所以， 所以， 因为平面， 所以平面.…………5分 （2）过A点在平面内作一条直线，    因为，所以直线两两垂直， 分别以直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 不妨取， 设平面的法向量为， 所以， 不妨取， 所以平面与平面夹角的余弦值为==;…………10分 （3）因为， 所以， 得， 而的中点坐标为， 因为，所以三角形的外心为的中点， 所以可以设外接球的球心为， 因为， 所以， 解得，所以O和B位于平面的异侧，故线段与平面有交点， 外接球半径为．…………17分 19．（17分）对于某个试验E共有个结果，它们发生的概率分别为，其中，i＝1，2…，k且.现将试验E在相同的条件下独立重复进行次，即每次试验各可能结果均互不影响，这样的试验称为n重独立试验.在上述n重独立试验中，用分别表示出现的次数，事件，同时发生的概率记为. (1)掷三枚质地均匀的正方体骰子，求2点发生1次，4点发生2次的概率； (2)求； (3)若，其中[x]表示不超过x的最大整数，证明：当，i＝1，2，…，k时，取得最大值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由独立重复试验的概率公式求即可； （2）独立重复试验的概率公式求出，结合组合的计算公式化简即可求解； （3）由（2）可得当时，，由判断其单调性，利用单调性可证结论；当时，假设存在另一组，使得最大，结合条件可得在和两组中至少有两对对应值不同且中必可找到一个大于、另一个小于对应的，结合条件推出矛盾，进而即证. 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，所得各点的概率均为， 所以掷三枚质地均匀的正方体骰子2点发生1次，4点发生2次的概率；…………3分 （2）由题意知 ；…………8分 （3）当时，， ， 当时，单增，当时，单减， 又，故不是整数， 所以当时，取得最大值. 当时，假设存在另一组，使得最大， 因为，所以，在和两组中至少有两对对应值不同且中必可找到一个大于、另一个小于对应的， 不妨设为，即，， 所以，， 此时 ， 于是，矛盾， 故当时，取得最大； 综上，命题得证. …………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D C C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）当时，，，所以， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值.…………4分 （2）不等式在上恰有3个整数解，等价于在上恰有3个整数解， 令，， 则，…………6分 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，…………8分 所以， 又， ， …………10分 所以要使有3个整数解，需满足， 即，此时的整数解为：2，3，4. 所以的取值范围为.…………13分 16．（15分） 【详解】（1）由题意， 过右焦点作垂直轴的直线，交椭圆于， 代入，则，…………3分 所以，则， 所以椭圆方程；…………5分 （2）由（1）可得，设， 由题意，直线斜率存在，设直线且， 联立，整理得， 所以，则，，…………9分 而， 由，则，即，， 所以，可得，则（舍）或，    当时，经验证满足题设，所以直线方程.…………15分 17．（15分） 【详解】（1）依题意得，当时，． 由，可得， 两式相减得， 当时，，亦符合， 所以数列是以3为首项，以4为公差的等差数列，故．…………5分 （2）在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，理由如下： 由（1）可得，依题意得， 假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列， 则，即 整理得：①…………9分 又因为m，k，p成等差数列，则， 代入①式整理得： ， 即，化简得，即， 而m，k，p成等差数列，即， 又因为，，为不同的三项，，故假设不成立． 因此，在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列．…………15分 18．（17分） 【详解】（1）在题左图中，    因为，所以， 所以， 在题右图中， 因为，所以， 所以， 因为平面， 所以平面.…………5分 （2）过A点在平面内作一条直线，    因为，所以直线两两垂直， 分别以直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 不妨取， 设平面的法向量为， 所以， 不妨取， 所以平面与平面夹角的余弦值为==;…………10分 （3）因为， 所以， 得， 而的中点坐标为， 因为，所以三角形的外心为的中点， 所以可以设外接球的球心为， 因为， 所以， 解得，所以O和B位于平面的异侧，故线段与平面有交点， 外接球半径为．…………17分 19．（17分） 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，所得各点的概率均为， 所以掷三枚质地均匀的正方体骰子2点发生1次，4点发生2次的概率；…………3分 （2）由题意知 ；…………8分 （3）当时，， ， 当时，单增，当时，单减， 又，故不是整数， 所以当时，取得最大值. 当时，假设存在另一组，使得最大， 因为，所以，在和两组中至少有两对对应值不同且中必可找到一个大于、另一个小于对应的， 不妨设为，即，， 所以，， 此时 ， 于是，矛盾， 故当时，取得最大； 综上，命题得证. …………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 3．若平面平面，且，则下列命题正确的是（　　） A．平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线 B．平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线 C．平面内的任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，准线交轴于，若最小，则（    ） A．4 B．8 C． D． 5．已知，，且，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 6．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 7．已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 8．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 10．已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的大小为 B．正方体外接球的体积为 C．平面截正方体所得截面为五边形 D．若与相交于点，则直线与平面所成角等于 11．定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若，则集合相对常数的“余弦方差”的取值可能为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 ． 13．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为 . 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 16．（15分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 17．（15分） 已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 如左图，在平行四边形，已知，将三角形沿着折起得到右图中的二面角，使得.    (1)求证：平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)设，判断三棱锥外接球的球心O与B所连线段和平面是否有交点，并求此外接球的半径. 19．（17分） 对于某个试验E共有个结果，它们发生的概率分别为，其中，i＝1，2…，k且.现将试验E在相同的条件下独立重复进行次，即每次试验各可能结果均互不影响，这样的试验称为n重独立试验.在上述n重独立试验中，用分别表示出现的次数，事件，同时发生的概率记为. (1)掷三枚质地均匀的正方体骰子，求2点发生1次，4点发生2次的概率； (2)求； (3)若，其中[x]表示不超过x的最大整数，证明：当，i＝1，2，…，k时，取得最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][CD] 11[A][BI[C[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 3．若平面平面，且，则下列命题正确的是（　　） A．平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线 B．平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线 C．平面内的任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，准线交轴于，若最小，则（    ） A．4 B．8 C． D． 5．已知，，且，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 6．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 7．已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 8．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．随机变量服从二项分布，，则 B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D．随机变量服从正态分布，且，则 10．已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的大小为 B．正方体外接球的体积为 C．平面截正方体所得截面为五边形 D．若与相交于点，则直线与平面所成角等于 11．定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若，则集合相对常数的“余弦方差”的取值可能为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 ． 13．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为 . 14．某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 16．（15分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 17．（15分） 已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 如左图，在平行四边形，已知，将三角形沿着折起得到右图中的二面角，使得.    (1)求证：平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)设，判断三棱锥外接球的球心O与B所连线段和平面是否有交点，并求此外接球的半径. 19．（17分） 对于某个试验E共有个结果，它们发生的概率分别为，其中，i＝1，2…，k且.现将试验E在相同的条件下独立重复进行次，即每次试验各可能结果均互不影响，这样的试验称为n重独立试验.在上述n重独立试验中，用分别表示出现的次数，事件，同时发生的概率记为. (1)掷三枚质地均匀的正方体骰子，求2点发生1次，4点发生2次的概率； (2)求； (3)若，其中[x]表示不超过x的最大整数，证明：当，i＝1，2，…，k时，取得最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $