数学一模保分卷02（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分 D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) M E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．0 D． 4．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（   ） A． B． C．2或 D．2 5．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C．1 D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数满足，.当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（    ） A．第80百分位数为93 B．平均数为90 C．极差为15 D．方差为28 10．已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．的面积是 D．的周长是 11．已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（   ） A．，，三点共线 B． C．平面 D．平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与曲线相切，则 . 13.若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为 ． 14．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好是一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是由函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象的一部分，则此椭圆的离心率为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 16．(本小题满分15分）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 17．（本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 18．(本小题满分17分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 19．(本小题满分17分）设抛物线，过点的直线与交于两点，且.若抛物线的焦点为，记的面积分别为.      (1)求的最小值. (2)设点，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点. (3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C C C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AC BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13．27 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 15．(本小题满分13分）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【解】（1）设等差数列的公差为，则， ，，成等比数列， 则，即， …………………………2分 将代入上式，解得或（舍去）． …………………………4分 ； …………………………5分 （2）第一步：由题得出的通项公式 由（1）得，又， 所以， …………………………7分 第二步：对化简 所以， …………………………10分 第三步：计算，得到结论 则 ． …………………………13分 16．(本小题满分15分）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以， …………1分 又为等边三角形，D为AC的中点， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以 …………………………3分 在直角梯形中， 所以，又，BD，平面， …………………………5分 所以平面，又平面， 所以平面平面 …………………………6分 （2）第一步：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标 由（1）知两两垂直，如图所示， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， …………………………8分 第二步：方程组法求平面与平面的法向量 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， …………………………10分 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， …………………………12分 第三步：利用夹角公式与同角三角函数的基本关系求结果 设平面与平面夹角， 则， …………………………14分 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为 …………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点 （）（）， 令，则， …………………………………………1分 第二步：求时函数的最值 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以， …………………………………………3分 第三步：求时函数的最值 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以………………………………………6分 第四步：总结 综上所述，当时，，； 当时，所以，. ………………………………………7分 （2）第一步：放缩，将问题转化为证明 因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分 第二步：构造函数，求导 设，（），，……………………………………9分 第三步：构造函数，确定的零点 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即， …………………………………………11分 第四步：判断函数的单调性，求出的最值 因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增；……………………13分 所以 第五步：得出结论 所以，因此. …………………………………………15分 18．(本小题满分17分） 【解】（1）第一步：求出技术改造前的优品率 技术改造前，易知，，则其优品率……………………2分 第二步：求出技术改造后的优品率 技术改造后，，，则其优品率为. ………………………4分 第三步：求出优品率之差 所以优品率之差为. …………………………………………5分 （2）①第一步：设随机变量和，写出和服从的分布 记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，，. …………………………………………6分 第二步：求 ， …………………………………………7分 第三步：求 . …………………………………………8分 第四步：作差法比较与的大小，得出结论 因为，所以可靠性提高. …………………………………9分 ②第一步：分别写出随机变量和服从的分布 根据上一问的假设，易知，. …………………………………………10分 第二步：分析为奇数时的情况 当为奇数时，设，原系统的可靠性为， 新系统的可靠性为，由题意可知， . ，这说明可靠性降低. …………13分 第三步：分析为偶数时的情况 当为偶数时，设，原系统的可靠性为， 新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性提高…………16分 第四步：总结 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时， 增加一个元件后系统的可靠性会提高. …………………………………………17分 19．(本小题满分17分） 【解】（1）第一步：设出点的坐标和直线 的方程 设，直线， 第二步：联立方程消元 由消去y整理得， ………………………1分 第三步：由一元二次方程根与系数的关系求出p ， 由，得，解得，即， ……………3分 第四步：利用三角形面积公式及基本不等式求出最值 ， 当且仅当时等号成立，所以最小值为. …………………………6分 （2）第一步：设出点E的坐标,写出直线的方程 设，则直线的斜率，方程为， …………………6分 第二步：联立方程消元整理，并给出一元二次方程根与系数的关系式 由（1）知抛物线，由消去y得， 整理得，显然， …………8分 于是，又，联立消去，得， ………9分 设直线，与抛物线联立，整理得:， ， …………………………10分 第三步：得出结论 因此， 直线恒过定点. …………………………12分 （2）第一步：作图    作底面半径为4、高为4的圆柱，并将内部切割去掉之后，上下翻转得到几何体， 现做一平面，使其平行于和的底面，且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面…………14分 第二步：由图计算得出两截面面积相等 在图1的几何体中，设，即，且， …………15分 则图2的几何体中，有，由抛物线方程得， 则图2中截面圆环面积，而图1中截面圆面积， ………………16分 第三步：由祖眶原理可得几何体的体积 2的体积等于圆柱体由祖暅原理可得，和的体积相等，均为圆柱体积的一半， 即. …………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．0 D． 4．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（   ） A． B． C．2或 D．2 5．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C．1 D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数满足，.当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（    ） A．第80百分位数为93 B．平均数为90 C．极差为15 D．方差为28 10．已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．的面积是 D．的周长是 11．已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（   ） A．，，三点共线 B． C．平面 D．平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与曲线相切，则 . 13.若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为 ． 14．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好是一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是由函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象的一部分，则此椭圆的离心率为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 16．(本小题满分15分）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 17．（本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 18．(本小题满分17分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 19．(本小题满分17分）设抛物线，过点的直线与交于两点，且.若抛物线的焦点为，记的面积分别为.      (1)求的最小值. (2)设点，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点. (3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以，解得.故选：D 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，故选：C． 3．已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】由题意知向量，，则， 故向量在上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为.故选C 4．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（   ） A． B． C．2或 D．2 【答案】C 【解析】由题设可得渐近线的方程为， 因为两条渐近线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故或，故或，故选：C. 5．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心坐标，半径， 则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为.故选：C． 6．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意知，的图象关于点中心对称， 所以，解得, 又，所以，所以，则.故选：A. 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，易知在上单调递增，∵， ∴，∴，故选：B. 8．定义在上的奇函数满足，.当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】由，得，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 所以的周期， 所以. 因为为上的奇函数，所以， 因为当时，，所以， 由，当时， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（    ） A．第80百分位数为93 B．平均数为90 C．极差为15 D．方差为28 【答案】BCD 【解析】从小到大排列为：84，85，86，88，93，95，99， 因，故第80百分位数为第6个数，即95，故A错误； 平均数为，故B正确； 由，故极差为15，故C正确； 方差为，故D正确. 故选：BCD 10．已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．的面积是 D．的周长是 【答案】AC 【解析】由正弦定理，知， 又，则， 将代入，得， ， 又，当且仅当时，等号成立． 因为为三角形的内角，所以， 可得，故A正确，B错误． 又由正弦定理知， 则三角形的面积，周长为，故C正确，D错误． 故选：AC 11．已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（   ） A．，，三点共线 B． C．平面 D．平面 【答案】BC 【解析】如图所示： 易知平面底面， 设在底面上的投影为， 若，，三点共线，则在平面上，此时在直线上， 但根据题设不能确定是否在直线上，故A错误； 因为直四棱柱的各顶点都在球的球面上， 故，，，四点共圆， 若，，三点共线， 同上可知在直线上， 故为圆的直径， 所以，, 又底面，底面， 故， 平面，， 所以平面， 又平面，故， 同理可证平面，故B，C正确； 由于不确定平面是否平行于平面， 故不确定是否平行于平面，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与曲线相切，则 . 【答案】1 【解析】因为，则， 设切点坐标为，则，解得. 13.若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为 ． 【答案】27 【解析】令，则展开式中各项系数之和为，由题意得，解得. 的通项为，令，解得. 代入通项得该项系数为. 14．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好是一个周期的正弦型曲线.若该段正弦型曲线是由函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍所得图象的一部分，则此椭圆的离心率为 .    【答案】/ 【解析】函数的图象纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的3倍所得图象对应的函数为. 因为椭圆曲线在展开图中恰好为函数一个周期的图象，所以. 因为函数的最小正周期， 设圆柱底面半径为，由，得， 所以圆柱的底面直径，则. 设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为. 易知，即， 所以， 所以椭圆的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【解】（1）设等差数列的公差为，则， ，，成等比数列， 则，即， …………………………2分 将代入上式，解得或（舍去）． …………………………4分 ； …………………………5分 （2）第一步：由题得出的通项公式 由（1）得，又， 所以， …………………………7分 第二步：对化简 所以， …………………………10分 第三步：计算，得到结论 则 ． …………………………13分 16．(本小题满分15分）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以， …………1分 又为等边三角形，D为AC的中点， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以 …………………………3分 在直角梯形中， 所以，又，BD，平面， …………………………5分 所以平面，又平面， 所以平面平面 …………………………6分 （2）第一步：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标 由（1）知两两垂直，如图所示， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， …………………………8分 第二步：方程组法求平面与平面的法向量 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， …………………………10分 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， …………………………12分 第三步：利用夹角公式与同角三角函数的基本关系求结果 设平面与平面夹角， 则， …………………………14分 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为 …………………………15分 17．（本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点 （）（）， 令，则， …………………………………………1分 第二步：求时函数的最值 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以， …………………………………………3分 第三步：求时函数的最值 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以………………………………………6分 第四步：总结 综上所述，当时，，； 当时，所以，. ………………………………………7分 （2）第一步：放缩，将问题转化为证明 因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分 第二步：构造函数，求导 设，（），，……………………………………9分 第三步：构造函数，确定的零点 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即， …………………………………………11分 第四步：判断函数的单调性，求出的最值 因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增；……………………13分 所以 第五步：得出结论 所以，因此. …………………………………………15分 18．(本小题满分17分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布. 附：若，取，. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.  系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 【解】（1）第一步：求出技术改造前的优品率 技术改造前，易知，，则其优品率……………………2分 第二步：求出技术改造后的优品率 技术改造后，，，则其优品率为. ………………………4分 第三步：求出优品率之差 所以优品率之差为. …………………………………………5分 （2）①第一步：设随机变量和，写出和服从的分布 记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，，. …………………………………………6分 第二步：求 ， …………………………………………7分 第三步：求 . …………………………………………8分 第四步：作差法比较与的大小，得出结论 因为，所以可靠性提高. …………………………………9分 ②第一步：分别写出随机变量和服从的分布 根据上一问的假设，易知，. …………………………………………10分 第二步：分析为奇数时的情况 当为奇数时，设，原系统的可靠性为， 新系统的可靠性为，由题意可知， . ，这说明可靠性降低. …………13分 第三步：分析为偶数时的情况 当为偶数时，设，原系统的可靠性为， 新系统的可靠性为，由题意可知， . 所以，，这说明可靠性提高…………16分 第四步：总结 综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时， 增加一个元件后系统的可靠性会提高. …………………………………………17分 19．(本小题满分17分）设抛物线，过点的直线与交于两点，且.若抛物线的焦点为，记的面积分别为.      (1)求的最小值. (2)设点，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点. (3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积. 【解】（1）第一步：设出点的坐标和直线 的方程 设，直线， 第二步：联立方程消元 由消去y整理得， ………………………1分 第三步：由一元二次方程根与系数的关系求出p ， 由，得，解得，即， ……………3分 第四步：利用三角形面积公式及基本不等式求出最值 ， 当且仅当时等号成立，所以最小值为. …………………………6分 （2）第一步：设出点E的坐标,写出直线的方程 设，则直线的斜率，方程为， …………………6分 第二步：联立方程消元整理，并给出一元二次方程根与系数的关系式 由（1）知抛物线，由消去y得， 整理得，显然， …………8分 于是，又，联立消去，得， ………9分 设直线，与抛物线联立，整理得:， ， …………………………10分 第三步：得出结论 因此， 直线恒过定点. …………………………12分 （2）第一步：作图    作底面半径为4、高为4的圆柱，并将内部切割去掉之后，上下翻转得到几何体， 现做一平面，使其平行于和的底面，且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面…………14分 第二步：由图计算得出两截面面积相等 在图1的几何体中，设，即，且， …………15分 则图2的几何体中，有，由抛物线方程得， 则图2中截面圆环面积，而图1中截面圆面积， ………………16分 第三步：由祖眶原理可得几何体的体积 2的体积等于圆柱体由祖暅原理可得，和的体积相等，均为圆柱体积的一半， 即. …………………………17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $