精品解析：山西省阳泉市城区多校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度八年级数学12月月考卷 考试时间：120分钟；满分：120 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 若，则 C. 三角形的一个外角等于两个内角之和 D. 平行于同一直线的两直线平行 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定是（    ） A. B. C. D. 4. 《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（ ） A. 第一次分钱的人数 B. 第二次分钱的人数 C. 第二次每人分得的钱数 D. 两次分钱的总人数 5. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱河南 B. 爱河南 C. 我爱学 D. 河南数学 6. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（ ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A. B. C. D. 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 若，则分式的值为___________． 12. 计算：_________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________． 14. 如图，在中，，，，，是平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，位置上，与交于点，若，则______． 三、解答题（共75分） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知：，求代数式的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）的面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 20. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 21. 阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 22. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 23. 综合与探究 问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级数学12月月考卷 考试时间：120分钟；满分：120 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 若，则 C. 三角形的一个外角等于两个内角之和 D. 平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假． A选项缺少两直线平行的条件；B选项忽略a与b可能互为相反数；C选项错误表述为任意两个内角之和，实际应为不相邻的两个内角之和；D选项是平行公理的推论，正确． 【详解】解：A：同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，A是假命题； B：由可知，不一定，B是假命题； C：三角形外角等于与之不相邻的两个内角之和，不是任意两个内角之和，C是假命题； D：平行于同一直线的两直线平行，这是平行公理的基本推论，D是真命题； 故选：D． 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项A中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：A． 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 4. 《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（ ） A. 第一次分钱的人数 B. 第二次分钱的人数 C. 第二次每人分得钱数 D. 两次分钱的总人数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【详解】解：设第一次分钱的人数为 ，则第二次分钱的人数为． 第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ． 对比乐乐所列方程 ， 可得 ，即 ， 表示第二次分钱的人数． 故选：B． 5. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱河南 B. 爱河南 C. 我爱学 D. 河南数学 【答案】A 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵对应密码字：我， 爱，河，南， ∴密码信息“我爱河南”， 故选：A． 6. 下列图形中具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由这一性质即可求解． 【详解】解：由于三角形具有稳定性， 故选：C． 7. 如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 8. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 9. 已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（ ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式．根据表格信息，当时分式无意义，说明分母在时为零；当时分式值为零，说明分子在时为零．逐一验证选项，只有选项A同时满足这两个条件． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴分母含有，排除BD； ∵当时，分式值为零， ∴分子含有，排除C， ∴分式可能是A：， 故选：A． 10. 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、直角三角形以及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，再根据直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题（共15分） 11. 若，则分式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由已知条件化简得到 ，然后代入分式计算即可． 【详解】解：由 ，得 ， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 12. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查计算单项式乘单项式，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于 轴对称点的坐标特点，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，即 ，纵坐标不变，仍为 ，因此对称点的坐标为 ． 故答案为 ． 14. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则______． 【答案】##68度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．先根据矩形的性质得到， 再根据平行线的性质求得的度数，然后利用折叠的性质求得的度数，最后计算的大小即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠可得，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 【答案】（1）图见详解， （2） （3）图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标及轴对称的性质，熟练掌握图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据割补法可进行求解； （3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 由坐标系可知：； 【小问2详解】 解：由坐标系可知：； 故答案为5.5； 【小问3详解】 解：所作点P如图所示． 20. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∴． 21. 阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】（1）是， （2）①，② 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 22. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 解：是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $