精品解析：福建省龙岩市三校协作2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

“德化三中、大田五中、漳平二中”三校协作 2025—2026学年第一学期联考 高三数学试题 命题人：德化三中 陈坚定 大田五中 林子婳 漳平二中 朱夏漪 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）部分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的运算法则求解即可. 【详解】由题可知，所以； 故选：A 2. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可. 【详解】函数的导函数. 故选：C 3. 函数是偶函数，且定义域是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称得到，则；又因为二次函数为偶函数，故一次项系数为0，所以，所以,所以. 【详解】因为偶函数 的定义域是，所以，得到； 因为是偶函数，所以，所以， 所以. 故选：C 4. 若实数，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性，比较与的大小，再构造函数，，分析其单调性和最值，比较与的大小. 【详解】因为，， 由，所以，即. 设函数，，则，. 由；由. 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 所以，即. 综上，. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式变形化简整理即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选： 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，则 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以 则； 故选B 7. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，从而可得，再由正弦函数的周期可得的范围，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 即，则， 解得， 又，即，其中，解得， 所以时，，则. 故选：A 8. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的单调性和奇偶性，结合题意将条件转化为关于的等式关系，再利用“的代换”求出的最小值，最后代入所求式子中即可. 【详解】因为，所以，且的定义域关于原点对称， 所以是在上的奇函数. 又因为，均在上单调递增，所以在上单调递增. 因为，则， 所以，整理得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为. 又因为，所以的最大值为. 故选： 二、多择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 当时，的最小值为2 C. 命题“”的否定是“” D. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由幂函数与对数函数的单调性即可判断A，由基本不等式代入计算，即可判断B，由全称命题的否定，即可判断C，由一元二次不等式恒成立，即可判断D. 【详解】对于A，由在上单调递增，可得， 由在上单调递增，可得， 由是的必要不充分条件可得“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立，但取不到， 所以取不到最小值，故B错误； 对于C，全称命题“”的否定是特称命题“”， 故C正确； 对于D，当时，不等式为，满足条件， 当时，不等式解集为， 则需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是，故D错误； 故选：AC 10. 函数满足，对任意的都有，则以下说法正确的是（ ） A. B. 是的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为，对任意的都有，得到周期，从而求出，再利用，得到，所以，依次利用正弦型三角函数的对称中心，单调性分析选项B、C，求曲线在点处的切线方程，先求出切点坐标，再求导计算得到斜率，利用点斜式写出切线方程化简即可. 【详解】因为，对任意的都有，所以和是相邻的两个最大值点，所以,故; 因为，即,即因为，得，所以，故选项A正确； ，所以是的一个对称中心，选项B正确； 当时，，此时函数单调递增，选项C错误； 因为 ，所以切点坐标为， 函数 求导得到， 所以切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为 化简得，选项D正确； 故选：ABD 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论的零点个数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 因为是函数的极小值点，所以， 可得，解得，故A正确， 对于B，因为，所以，则，即， 由正弦函数性质得，由余弦函数性质得， 由已知得，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到，故B错误， 对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，得到，， 当时，，当时，， 若讨论的零点个数，则讨论的解的个数， 故讨论与的交点个数即可， 如图，作出符合题意的图象， 由图象可得，当时，与有3个相异的交点， 即有3个相异的零点，故C正确， 对于D，令，若求方程的实数根， 则先求的解的个数，即求的解的个数， 令，则求的零点个数， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 可得，， 由零点存在性定理得存在，作为的零点， 则是的两个解，后续求解与即可， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时有一个解， 当时，，此时有一个解， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时无解， 当时，，此时有一个解， 综上，方程有3个不同的实数根，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 方程在内解的个数是_________． 【答案】2 【解析】 【详解】同一坐标系内作出函数y=cosx和y=|x|的图象，如右图所示： 由图像，得两曲线在(−∞,+∞)内共有2个交点. 得方程|x|=cosx在(−∞,+∞)内解的个数是：2个. 故答案为2. 点睛：函数零点个数问题，一种方法可用导数研究函数的单调性和极值，再利用零点存在定理得函数的零点个数，另一种方法是转化函数图象交点个数，一般是转化为直线与函数图象的交点，其中直线是含参数的、变化的，函数是固定的，且图象画出的，这里可通过导数研究图象的变化趋势，得出图象的大致规律，动直线可以是平行直线，也可以是过一定点的直线，这样容易发现规律，得出结论． 13. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，则计算得到数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以 ； 则数列为 因为是除以5所得的余数，所以数列为：； 所以数列是周期为4的数列，所以； 故答案为：2 14. 已知奇函数的定义域为，且函数满足，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到函数对称轴为，结合函数为奇函数，得到函数的最小正周期为8，所以. 【详解】因为，所以函数对称轴为， 所以，又因为函数为奇函数，所以 所以，即函数周期为8 所以 ， 又因为函数对称轴为，所以 所以； 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、的对边分别为、、.已知. （1）求； （2）若，，点在边上，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式结合诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值，根据题意可得出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【小问1详解】 由两角和的正切公式可得， 即，故， 因为，故. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即，即， 因为，解得， 因为点在边上，且，故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 故. 16. 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，记的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用累加法即可得出答案； （2）利用错位相加法即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为， 则， ， ， ， 累加得， 所以； 【小问2详解】 解：， 则， 则 ， ， 两式相减得 ， 所以. 17. 在中，内角所对的边分别为. （1）求； （2）若的角平分线交于点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果； （2）由角平分线定理可得，结合余弦定理代入计算，即可求得，再由三角形的面积公式以及等面积法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理的边角互化可得， 且， 即， 化简可得，且， 解得，其中，所以. 【小问2详解】 因为是的角平分线，由角平分线定理可得， 且，则，即， 又， 由余弦定理可得， 即，解得，则， 又， 即， 化简可得，即. 18. 已知数列满足，设数列前项和为， （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前100项和； （3）求数列的前20项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造数列，知其前项和求通项，进而再求出； （2）根据题意，两项并一项，并项为常数列求和； （3）分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【小问1详解】 由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 数列的前项和 【小问3详解】 由（1）可知 ， 则前项和为. 19. 已知函数. （1）若 ，求 的单调区间； （2）若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）首先利用极值点与导数的关系，得到，，并通过变形得到，利用换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求的最值，即可求解函数的最大值. 【小问1详解】 若，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 【小问2详解】 ， 令，可得， 由题意可得，是关于方程的两个实根， 所以，， 由，有， 所以， 将代入上式，得， 同理可得， 所以， ，①， 令,①式化为， 设，即， ， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，在上单调递减， 又， ， 当时，的最小值为4，即的最小值为2， 因为在上单调递减，的最大值为， 所以最大值为. 【点睛】思路点睛：本题第二问的关键是 ，并利用换元构造函数，转化为利用导数求函数的最值问题，第二个关键是求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “德化三中、大田五中、漳平二中”三校协作 2025—2026学年第一学期联考 高三数学试题 命题人：德化三中 陈坚定 大田五中 林子婳 漳平二中 朱夏漪 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）部分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 3. 函数是偶函数，且定义域是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若实数，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A 27 B. 28 C. 29 D. 30 7. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 B. 当时，的最小值为2 C. 命题“”的否定是“” D. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 10. 函数满足，对任意的都有，则以下说法正确的是（ ） A. B. 是的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 曲线在点处的切线方程为 11. 已知是函数的极小值点，则（ ） A B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 方程有3个不同的实数根 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 方程在内解的个数是_________． 13. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则__________. 14. 已知奇函数的定义域为，且函数满足，当时，，则__________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、的对边分别为、、.已知. （1）求； （2）若，，点边上，且，求 16. 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，记的前项和为，求. 17. 在中，内角所对的边分别为. （1）求； （2）若的角平分线交于点，且，求. 18. 已知数列满足，设数列的前项和为， （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前100项和； （3）求数列前20项和. 19. 已知函数. （1）若 ，求 的单调区间； （2）若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $