第01讲 正弦、余弦、正切、余切、诱导公式18大题型精讲（寒假预习讲义）高一数学沪教版

第01讲 正弦，余弦，正切，余切，诱导公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：任意角的概念（铺垫知识） 1.角的定义与推广 定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形. 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角. 零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为（或弧度）. 2.象限角 建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合. 象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角）. 表示： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 3.终边相同的角 定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合. 关键：终边相同的角，三角函数值相等（核心前提）. 易错辨析： 误区1：认为“角”与“角”是同一个角. 纠正：二者终边相同，但旋转过程不同，是不同的角，仅三角函数值相等. 误区2：将轴线角归为某一象限. 纠正：终边在轴、轴上的角（如、）不属于任何象限. 4.弧度的概念 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作. 本质：弧度是角的另一种度量单位（角度制的补充），建立了“角”与“弧长”的数量联系. 关键关系：若圆心角所对弧长为，半径为，则（以弧度为单位）. 5.用弧度制表示角的集合 终边相同的角：与角（弧度制）终边相同的角的集合为. 象限角（弧度制）： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 轴线角（弧度制）： 终边在轴正半轴： 终边在轴负半轴： 终边在轴正半轴： 终边在轴负半轴： 6.角度化为弧度 换算公式：，即角度值=弧度值. 示例：；. 7.弧度化为角度 换算公式：，即弧度值=角度值. 示例：；. 8.弧长的有关计算 公式：若圆心角为（弧度制），半径为，则弧长. 推导：由弧度定义变形可得. 注意：必须以弧度为单位，若为角度制需先转化为弧度. 9.扇形面积的有关计算 公式1：（为弧长，为半径）. 公式2：（为圆心角的弧度值，为半径）. 关系：由，可将公式1转化为公式2. 10.扇形中的最值问题 常见类型： 1.已知扇形周长（），求面积的最大值（利用二次函数或基本不等式求解）. 2.已知扇形面积，求周长的最小值. 示例：周长，面积，消去得，当时，. 知识点2：三角函数的定义（核心知识点） 1.直角三角形定义（初中基础，适用于锐角） 设为直角三角形的一个锐角，对边为，邻边为，斜边为，则： 正弦： 余弦： 正切： 余切： 2.单位圆定义（高中拓展，适用于任意角） 单位圆：以坐标原点为圆心，半径为的圆（方程：）. 定义：设任意角的终边与单位圆交于点，则： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数：（，即） 余切函数：（，即） 3.定义域与值域 三角函数 定义域（的取值范围） 值域 重点记忆： 单位圆定义是核心，直角三角形定义是特例，任意角的三角函数值由终边与单位圆交点的坐标决定. 正切、余切的定义域限制：分母不能为，需牢记禁忌角（禁，禁）. 易错辨析： 误区：认为的定义域是. 纠正：终边在轴上的角均无正切值，即（），包括、、等. 知识点3：三角函数值的符号规律（高频考点） 1.象限符号口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦” 第一象限：，，，（全正）. 第二象限：，，，（仅正弦正）. 第三象限：，，，（正切、余切正）. 第四象限：，，，（仅余弦正）. 2.轴线角的三角函数值（特殊值，必记） 无意义 无意义 无意义 无意义 无意义 重点记忆： 符号规律的本质：由单位圆交点坐标的正负决定（，，）. 轴线角的特殊值是计算、化简的基础，需熟练背诵（尤其、、、）. 易错辨析： 误区：，. 纠正：终边在轴负半轴，交点坐标，故；终边在轴负半轴，交点坐标，故. 知识点4：同角三角函数的基本关系（核心公式） 1.平方关系 （，恒成立）. 2.商数关系 （）. 3.倒数关系 （）. 拓展：，（课本拓展内容，辅助记忆）. 4.常用变形公式（干货结论） 平方关系变形： （符号由所在象限决定） （符号由所在象限决定） 商数关系变形：，. 重点记忆： 平方关系是“万能公式”，常用于化简、求值、证明恒等式. 变形公式的符号判断是关键：开方时必须结合的象限确定正负（如在第二象限，，故）. 易错辨析： 误区1：变形为，忽略负号. 纠正：若在第三、四象限，，应取负号，即. 误区2：认为对所有角成立. 纠正：当（即）时，正切无意义，公式不成立. 知识点5：特殊角的三角函数值（必背干货） 角度 无意义 无意义 无意义 记忆技巧： 对称记忆：，，，其三角函数值与对应锐角的三角函数值绝对值相等，符号由象限决定. 口诀记忆：“30°、45°、60°，正弦分母2，分子1、√2、√3；余弦倒过来，正切分子分母换”. 易错辨析： 误区：，. 纠正：，；，，可通过“小角对小值”辅助判断 知识点6：诱导公式（化简求值必备） 诱导公式本质： 将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，核心原则：“奇变偶不变，符号看象限”. “奇变偶不变”：指诱导公式中角的形式为（），当为奇数时，三角函数名称改变（，）；当为偶数时，三角函数名称不变. “符号看象限”：将视为锐角，判断原角（）所在象限，根据三角函数的符号规律确定结果的正负. 常用诱导公式分类（按角的关系划分） 1.终边相同的角（，） 说明：，为偶数，名称不变；终边相同，符号与一致. 2.负角公式（） 说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第四象限，按符号规律定号（如在第四象限为负，故）. 3.补角公式（） 说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第二象限，按符号规律定号（如在第二象限为负，故）. 4.余角公式（） 说明：，为奇数，名称改变（，）；将视为锐角，在第一象限，所有三角函数值为正，故结果符号为正. 5.平角加角（） 说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第三象限，按符号规律定号（如在第三象限为负，故）. 6.270°相关角（、） （为奇数，名称改变）： （为奇数，名称改变）： 诱导公式使用步骤（四步走） 1.去周期：利用公式，将角化为范围内的角. 2.定象限：判断化简后角所在的象限. 3.用公式：根据角的形式选择对应诱导公式，“奇变偶不变”确定函数名称. 4.定符号：“符号看象限”确定结果的正负，最终转化为锐角三角函数值. 示例（辅助理解） 计算： 1.去周期：（无需去周期，已在）. 2.定象限：在第三象限. 3.用公式：，为偶数，名称不变（仍为）. 4.定符号：第三象限为负，故. 易错辨析： 误区1：（忽略“奇变”）. 纠正：，为奇数，名称改变（）；将视为锐角，在第二象限，为正，故. 误区2：（符号错误）. 纠正：在第二象限，为负，故. 误区3：使用诱导公式时，未先将角化为，导致公式误用. 纠正：如计算，先化为，再计算. 重点记忆： 诱导公式核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”必须熟练掌握，可覆盖所有诱导公式. 常用公式（、、）是高频考点，需单独强化记忆. 七、概念比较与辨析（易混点突破） 1.正弦与余弦的区别与联系 维度 正弦（） 余弦（） 联系 定义 单位圆交点纵坐标 单位圆交点横坐标 平方和为1（） 值域 诱导公式：， 符号规律 一、二象限正，三、四象限负 一、四象限正，二、三象限负 互补角关系：， 2.正切与余切的区别与联系 维度 正切（） 余切（） 联系 定义 （对边/邻边） （邻边/对边） 互为倒数（） 定义域 诱导公式：， 值域 符号规律一致（一、三象限正，二、四象限负） 3.三角函数值与角的关系 关键：“一个三角函数值对应无数个角”（终边相同的角）. 示例：，则或（）. 4.同角三角函数关系与诱导公式的区别 类型 同角三角函数关系 诱导公式 核心作用 同一角的不同三角函数间的转化 不同角的三角函数间的转化（化任意角为锐角） 适用场景 化简、求值、证明恒等式（同一角） 化简、求值（任意角转化为锐角） 关键特征 仅涉及“一个角” 涉及“两个角”（任意角与锐角） 八、常考结论与预习建议 1.常考结论（课本延伸，考试高频） 若为锐角，则（如，，）. 若（互余），则： ， ，（本质是余角诱导公式） 若（互补），则： ， ，（本质是补角诱导公式） 诱导公式拓展：，（在第四象限，按符号规律推导）. 2.预习建议 第一步：先掌握“任意角的概念”和“单位圆定义”，这是理解后续内容的基础. 第二步：牢记“特殊角三角函数值”“符号规律”和“核心诱导公式”，通过简单例题（如判断的符号、计算的值）强化记忆. 第三步：熟练运用“同角三角函数基本关系”和“诱导公式”，尝试化简、求值（如已知，在第二象限，求、；计算、）. 第四步：整理错题本，重点标注“符号错误”“定义域遗漏”“公式误用”“诱导公式口诀记错”四类问题. 【题型1 求特殊角的三角函数值】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在中，两直角边，，求的各个三角比的值． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如果方程的两个根分别是的两条边，的最小角为，那么的值为 . 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为 . 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是 .    【题型2 求终边相同的角】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角： (1)； (2)． 变式2．（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为 ． 【题型3 象限角的判断】 例1．（24-25高一下·上海青浦·期中）是第 象限的角． 例2．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 变式1．（24-25高一下·上海·月考）4弧度是第 象限角． 变式2．（24-25高一下·上海·月考）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第 象限角. 【题型4 根据图形求角的范围】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 变式2．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【题型5 由已知角的象限求未知角的象限】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 变式2．（23-24高一下·上海金山·月考）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【题型6 角度制与弧度制转化】 例1．（24-25高一下·上海嘉定·期中）化为弧度是 弧度. 例2．（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 . 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【题型7 求弧长公式】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是 ． 例2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 . 变式1．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形弧长为 . 变式2．（24-25高一下·上海静安·期末）扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于 . 【题型8 扇形面积公式】 例1．（25-26高二上·上海·期中）已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为 . 例2．（24-25高一下·上海·月考）已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为 ． 变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23高一下·上海宝山·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【题型9 由终边上的点求三角函数值】 例1．（25-26高一上·上海·月考）已知角θ的终边经过点，则等于 例2．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 变式1．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【题型10 由单位圆求三角函数的值】 例1．（23-24高一上·湖北孝感·月考）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 例2．（23-24高一上·福建福州·月考）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一下·辽宁·月考）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【题型11 解三角不等式】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则. 例2．（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)； (2)， 变式1．（23-24高一·全国·课后作业）求函数的定义域． 变式2．（2024·上海·期末）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是 【题型12 确定三角函数的符号】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第 象限． 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第 象限角． 变式1．（24-25高一下·上海·月考）若，则是第 象限的角. 变式2．（24-25高一下·上海·开学考试）若是第四象限角，则点在第 象限. 【题型13 sinα、cosα、tanα的知一求二问题】 例1．（24-25高一上·上海·期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 例2．（24-25高二上·上海·月考）已知，，则 ． 变式1．（25-26高三上·上海·月考）已知，且在第一象限，则 ． 变式2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知，且是第四象限角，求，的值. 【题型14 弦化切】 例1．（25-26高三上·上海·月考）若，那么= ． 例2．（25-26高二上·上海·月考）已知，则的值为 . 变式1．（24-25高一下·上海·期中）若，则 . 变式2．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 【题型15 sinα±cosα与sinαcosα的关系应用】 例1．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 变式1．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知三角形内角满足，则 . 变式2．（24-25高一上·上海·期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【题型16 由同角公式化简】 例1．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：= . 例2．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，且及均为第四象限的角，求证：． 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是第二象限的角，化简：． 【题型17 由诱导公式证明恒等式】 例1．．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 变式1．（23-24高一·全国·课后作业）求证：=. 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【题型18 诱导公式的化简求值】 例1．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 例2．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海嘉定·月考）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 变式2．（24-25高一下·上海·月考）解决下列问题： (1)已知，求值； (2)已知，，求的值． 一、核心基础：角的概念与度量 1.角的定义与推广 正角、负角、零角 象限角（四个象限的集合表示）、轴线角（不属于任何象限） 终边相同的角（集合表示：） 2.角的度量单位 角度制：、、等特殊角 弧度制：1弧度的定义（弧长=半径的圆心角）、换算公式（，） 弧度制表示的象限角、轴线角集合 二、核心定义：三角函数的本质 1.两种定义形式 直角三角形定义（锐角适用）：对边/斜边（）、邻边/斜边（）、对边/邻边（）、邻边/对边（） 单位圆定义（任意角适用）：、、、（为终边与单位圆交点坐标） 2.定义域与值域 定义域：、为；（）；（） 值域：、为；、为 三、核心性质：符号、关系与诱导公式 1.三角函数值的符号规律 口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦” 轴线角的特殊三角函数值（、、、等） 2.同角三角函数基本关系 平方关系： 商数关系： 倒数关系： 常用变形（开方、代换） 3.诱导公式（核心口诀：奇变偶不变，符号看象限） 终边相同的角：（函数名不变，符号不变） 负角：（函数名不变，符号按象限定） 互补/互余角：、（互补名不变，互余名改变，符号按象限定） 其他：、等拓展公式 四、核心工具：特殊角三角函数值 关键角度：、、、、、、、、 记忆方法：对称记忆（互补角绝对值相等）、口诀记忆 五、核心应用：题型与解题方法 1.基础题型 定义求值（直角三角形边长、单位圆交点坐标） 符号判断（根据象限或角度） 单位换算（角度制与弧度制互化） 特殊角直接计算 2.核心题型 化简：利用同角关系、诱导公式化简表达式 求值：已知一个三角函数值求其他三个（注意符号判断） 证明：利用基本关系、诱导公式证明恒等式 求角：根据三角函数值求指定范围内的角 3.综合题型 终边相同的角的三角函数计算 诱导公式与同角关系综合化简/求值 互余、互补角的三角函数应用 六、易错点与关键提醒 1.忽视三角函数定义域限制（正切、余切的禁忌角） 2.开方时忽略符号判断（由角的象限决定） 3.诱导公式“奇变偶不变”中“奇、偶”的判断（中的奇偶性） 4.角度制与弧度制混用（弧长、扇形面积公式需用弧度制） 一、单选题 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．（25-26高三上·上海闵行·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则 . 5．（24-25高一下·上海·期中）已知的终边在直线（）上，则 ． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知点是角终边上的点，则 . 7．（24-25高一下·上海长宁·期中）3弧度是第 象限角． 8．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 9．（24-25高一下·上海松江·月考）半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为 ． 10．（23-24高一下·上海普陀·期中）第二象限角用集合表示为 . 11．（24-25高一·上海·随堂练习）直角三角形ABC中（其中）．则以下式子中正确的是 ． ①； ②； ③； ④． 12．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若角的终边过点，则= ． 13．（25-26高三上·上海·期中）已知，且α是第二象限角，则 14．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 15．（2025·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ． 16．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·开学考试）已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 18．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 正弦，余弦，正切，余切，诱导公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：任意角的概念（铺垫知识） 1.角的定义与推广 定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形. 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角. 零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为（或弧度）. 2.象限角 建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合. 象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角）. 表示： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 3.终边相同的角 定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合. 关键：终边相同的角，三角函数值相等（核心前提）. 易错辨析： 误区1：认为“角”与“角”是同一个角. 纠正：二者终边相同，但旋转过程不同，是不同的角，仅三角函数值相等. 误区2：将轴线角归为某一象限. 纠正：终边在轴、轴上的角（如、）不属于任何象限. 4.弧度的概念 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作. 本质：弧度是角的另一种度量单位（角度制的补充），建立了“角”与“弧长”的数量联系. 关键关系：若圆心角所对弧长为，半径为，则（以弧度为单位）. 5.用弧度制表示角的集合 终边相同的角：与角（弧度制）终边相同的角的集合为. 象限角（弧度制）： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 轴线角（弧度制）： 终边在轴正半轴： 终边在轴负半轴： 终边在轴正半轴： 终边在轴负半轴： 6.角度化为弧度 换算公式：，即角度值=弧度值. 示例：；. 7.弧度化为角度 换算公式：，即弧度值=角度值. 示例：；. 8.弧长的有关计算 公式：若圆心角为（弧度制），半径为，则弧长. 推导：由弧度定义变形可得. 注意：必须以弧度为单位，若为角度制需先转化为弧度. 9.扇形面积的有关计算 公式1：（为弧长，为半径）. 公式2：（为圆心角的弧度值，为半径）. 关系：由，可将公式1转化为公式2. 10.扇形中的最值问题 常见类型： 1.已知扇形周长（），求面积的最大值（利用二次函数或基本不等式求解）. 2.已知扇形面积，求周长的最小值. 示例：周长，面积，消去得，当时，. 知识点2：三角函数的定义（核心知识点） 1.直角三角形定义（初中基础，适用于锐角） 设为直角三角形的一个锐角，对边为，邻边为，斜边为，则： 正弦： 余弦： 正切： 余切： 2.单位圆定义（高中拓展，适用于任意角） 单位圆：以坐标原点为圆心，半径为的圆（方程：）. 定义：设任意角的终边与单位圆交于点，则： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数：（，即） 余切函数：（，即） 3.定义域与值域 三角函数 定义域（的取值范围） 值域 重点记忆： 单位圆定义是核心，直角三角形定义是特例，任意角的三角函数值由终边与单位圆交点的坐标决定. 正切、余切的定义域限制：分母不能为，需牢记禁忌角（禁，禁）. 易错辨析： 误区：认为的定义域是. 纠正：终边在轴上的角均无正切值，即（），包括、、等. 知识点3：三角函数值的符号规律（高频考点） 1.象限符号口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦” 第一象限：，，，（全正）. 第二象限：，，，（仅正弦正）. 第三象限：，，，（正切、余切正）. 第四象限：，，，（仅余弦正）. 2.轴线角的三角函数值（特殊值，必记） 无意义 无意义 无意义 无意义 无意义 重点记忆： 符号规律的本质：由单位圆交点坐标的正负决定（，，）. 轴线角的特殊值是计算、化简的基础，需熟练背诵（尤其、、、）. 易错辨析： 误区：，. 纠正：终边在轴负半轴，交点坐标，故；终边在轴负半轴，交点坐标，故. 知识点4：同角三角函数的基本关系（核心公式） 1.平方关系 （，恒成立）. 2.商数关系 （）. 3.倒数关系 （）. 拓展：，（课本拓展内容，辅助记忆）. 4.常用变形公式（干货结论） 平方关系变形： （符号由所在象限决定） （符号由所在象限决定） 商数关系变形：，. 重点记忆： 平方关系是“万能公式”，常用于化简、求值、证明恒等式. 变形公式的符号判断是关键：开方时必须结合的象限确定正负（如在第二象限，，故）. 易错辨析： 误区1：变形为，忽略负号. 纠正：若在第三、四象限，，应取负号，即. 误区2：认为对所有角成立. 纠正：当（即）时，正切无意义，公式不成立. 知识点5：特殊角的三角函数值（必背干货） 角度 无意义 无意义 无意义 记忆技巧： 对称记忆：，，，其三角函数值与对应锐角的三角函数值绝对值相等，符号由象限决定. 口诀记忆：“30°、45°、60°，正弦分母2，分子1、√2、√3；余弦倒过来，正切分子分母换”. 易错辨析： 误区：，. 纠正：，；，，可通过“小角对小值”辅助判断 知识点6：诱导公式（化简求值必备） 诱导公式本质： 将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，核心原则：“奇变偶不变，符号看象限”. “奇变偶不变”：指诱导公式中角的形式为（），当为奇数时，三角函数名称改变（，）；当为偶数时，三角函数名称不变. “符号看象限”：将视为锐角，判断原角（）所在象限，根据三角函数的符号规律确定结果的正负. 常用诱导公式分类（按角的关系划分） 1.终边相同的角（，） 说明：，为偶数，名称不变；终边相同，符号与一致. 2.负角公式（） 说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第四象限，按符号规律定号（如在第四象限为负，故）. 3.补角公式（） 说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第二象限，按符号规律定号（如在第二象限为负，故）. 4.余角公式（） 说明：，为奇数，名称改变（，）；将视为锐角，在第一象限，所有三角函数值为正，故结果符号为正. 5.平角加角（） 说明：，为偶数，名称不变；将视为锐角，在第三象限，按符号规律定号（如在第三象限为负，故）. 6.270°相关角（、） （为奇数，名称改变）： （为奇数，名称改变）： 诱导公式使用步骤（四步走） 1.去周期：利用公式，将角化为范围内的角. 2.定象限：判断化简后角所在的象限. 3.用公式：根据角的形式选择对应诱导公式，“奇变偶不变”确定函数名称. 4.定符号：“符号看象限”确定结果的正负，最终转化为锐角三角函数值. 示例（辅助理解） 计算： 1.去周期：（无需去周期，已在）. 2.定象限：在第三象限. 3.用公式：，为偶数，名称不变（仍为）. 4.定符号：第三象限为负，故. 易错辨析： 误区1：（忽略“奇变”）. 纠正：，为奇数，名称改变（）；将视为锐角，在第二象限，为正，故. 误区2：（符号错误）. 纠正：在第二象限，为负，故. 误区3：使用诱导公式时，未先将角化为，导致公式误用. 纠正：如计算，先化为，再计算. 重点记忆： 诱导公式核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”必须熟练掌握，可覆盖所有诱导公式. 常用公式（、、）是高频考点，需单独强化记忆. 七、概念比较与辨析（易混点突破） 1.正弦与余弦的区别与联系 维度 正弦（） 余弦（） 联系 定义 单位圆交点纵坐标 单位圆交点横坐标 平方和为1（） 值域 诱导公式：， 符号规律 一、二象限正，三、四象限负 一、四象限正，二、三象限负 互补角关系：， 2.正切与余切的区别与联系 维度 正切（） 余切（） 联系 定义 （对边/邻边） （邻边/对边） 互为倒数（） 定义域 诱导公式：， 值域 符号规律一致（一、三象限正，二、四象限负） 3.三角函数值与角的关系 关键：“一个三角函数值对应无数个角”（终边相同的角）. 示例：，则或（）. 4.同角三角函数关系与诱导公式的区别 类型 同角三角函数关系 诱导公式 核心作用 同一角的不同三角函数间的转化 不同角的三角函数间的转化（化任意角为锐角） 适用场景 化简、求值、证明恒等式（同一角） 化简、求值（任意角转化为锐角） 关键特征 仅涉及“一个角” 涉及“两个角”（任意角与锐角） 八、常考结论与预习建议 1.常考结论（课本延伸，考试高频） 若为锐角，则（如，，）. 若（互余），则： ， ，（本质是余角诱导公式） 若（互补），则： ， ，（本质是补角诱导公式） 诱导公式拓展：，（在第四象限，按符号规律推导）. 2.预习建议 第一步：先掌握“任意角的概念”和“单位圆定义”，这是理解后续内容的基础. 第二步：牢记“特殊角三角函数值”“符号规律”和“核心诱导公式”，通过简单例题（如判断的符号、计算的值）强化记忆. 第三步：熟练运用“同角三角函数基本关系”和“诱导公式”，尝试化简、求值（如已知，在第二象限，求、；计算、）. 第四步：整理错题本，重点标注“符号错误”“定义域遗漏”“公式误用”“诱导公式口诀记错”四类问题. 【题型1 求特殊角的三角函数值】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在中，两直角边，，求的各个三角比的值． 【答案】，， 【分析】勾股定理求出三角形的斜边长，再根据直角三角形中三角比的概念代入数值计算. 【详解】在中，，，，得， 所以，，． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如果方程的两个根分别是的两条边，的最小角为，那么的值为 . 【答案】或 【分析】求得方程的两根，从而得到直角三角形的边长，再依据较长边为直角边或斜边，利用勾股定理求得另一条边长； 然后根据锐角三角函数的定义，求得的值即可. 【详解】解方程，得，故三角形第三边范围为， 则1为三角形最小边长， ①当是直角边时，因为最小的角为，所以； ②当是斜边时，根据勾股定理，的邻边， 所以； 所以的值为或． 故答案为：或． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为 . 【答案】 【分析】利用锐角三角函数的正弦值的定义可求解. 【详解】在中，斜边的长为m，， 所以，所以.    故答案为：. 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是 .    【答案】 【分析】直接由锐角三角函数即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：. 【题型2 求终边相同的角】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 【答案】(1) ,第一象限角 (2) ,第三象限角 (3) ,第四象限角, (4) ,第二象限角 【分析】根据终边相同的角的公式，写出即可. 【详解】（1） 是第一象限的角, 是第一象限的角; （2） 是第三象限的角, 是第三象限的角; （3） 是第四象限的角, 是第四象限的角; （4） 是第二象限的角, 是第二象限的角. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 【答案】或 【分析】先根据任意角的定义写出满足的条件，然后结合的范围求解. 【详解】角的终边顺时针旋转所得的角为， 由题意，，则， 注意到，则只有符合题意， 故或 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角： (1)； (2)． 【答案】(1)与角的终边重合，第四象限角； (2)与角的终边重合，第二象限角. 【分析】（1）（2）将给定角写成，即可求解得答案. 【详解】（1），且， 所以角与角的终边重合，它是第四象限角. （2），且， 所以角与角的终边重合，它是第二象限角. 变式2．（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为 ． 【答案】 【分析】将表示成即可得解. 【详解】因为， 所以在内与终边重合的角为. 故答案为：. 【题型3 象限角的判断】 例1．（24-25高一下·上海青浦·期中）是第 象限的角． 【答案】一 【分析】由确定终边相同的最小正角所在象限，即可得. 【详解】由，即与的终边相同，故为第一象限角. 故答案为：一 例2．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 【答案】三 【分析】根据任意角定义找到对应的最小正角，即可得. 【详解】由，而为第三象限角， 所以是第三象限角. 故答案为：三 变式1．（24-25高一下·上海·月考）4弧度是第 象限角． 【答案】三 【分析】利用角度与弧度的互化，转化成角度，进而得出答案． 【详解】，故4弧度角是第三象限角． 故答案为：三 变式2．（24-25高一下·上海·月考）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第 象限角. 【答案】二 【分析】弧度转化成角度，即可判断. 【详解】，是第二象限角. 故答案为：二 【题型4 根据图形求角的范围】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可. （2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可. 【详解】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 变式2．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 【题型5 由已知角的象限求未知角的象限】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 【答案】C 【分析】根据条件得到，再结合选项，即可求出结果. 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【分析】由的范围，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】因为是第一象限角， 所以 ， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为 ， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限. 【详解】由为第三象限角，得, 则, 当 ，此时在第二象限； 当 ，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角. 故选：C. 变式2．（23-24高一下·上海金山·月考）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【答案】一或三 【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解. 【详解】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 【题型6 角度制与弧度制转化】 例1．（24-25高一下·上海嘉定·期中）化为弧度是 弧度. 【答案】/ 【分析】根据条件，利用角度与弧度的转化，即可求解. 【详解】因为， 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 . 【答案】/ 【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可. 【详解】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转，即顺时针旋转弧度， 因此，分针转过的弧度数是. 故答案为：. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用即可得出答案. 【详解】（1）=. （2）=. （3）=. 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）将角度数乘以即可化为弧度，再化为的形式，判断所在象限； （2）由将弧度化为角度，表示出终边重合的角，令其在–720°~0°之间，即可得到与它们终边重合的所有角. 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 【题型7 求弧长公式】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是 ． 【答案】 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 . 【答案】cm 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】， 故答案为： 变式1．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形弧长为 . 【答案】 【分析】利用弧长公式即可求解. 【详解】根据弧长公式，， 故答案为： 变式2．（24-25高一下·上海静安·期末）扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于 . 【答案】12 【分析】弧长公式 是弧度制下的基本公式，直接使用给定的半径和弧度值代入计算即可. 【详解】因为扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度， 由扇形的弧长公式可得： 该扇形的弧长 故答案为：12 【题型8 扇形面积公式】 例1．（25-26高二上·上海·期中）已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为 . 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为，，设该扇形的弧长为， 则，解得. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·月考）已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为 ． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】设扇形圆心角的弧度为， 扇形面积，. 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 变式2．（22-23高一下·上海宝山·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)扇形周长的最小值为，此时 【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解； （2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为，， 所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 【题型9 由终边上的点求三角函数值】 例1．（25-26高一上·上海·月考）已知角θ的终边经过点，则等于 【答案】 【分析】在单位圆上，根据三角函数的定义即可求解. 【详解】，故在单位圆上，根据三角函数值的定义， 的横坐标的值即为，故； 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，解得. 故选：A 变式1．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 【答案】/ 【分析】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为： 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解. 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 【题型10 由单位圆求三角函数的值】 例1．（23-24高一上·湖北孝感·月考）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 例2．（23-24高一上·福建福州·月考）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可. 【详解】因为角终边交单位圆于点， 所以解得，所以， 所以，，，故选项C正确，选项B、D错误; 因为，所以，故选项A错误. 故选：C. 变式1．（24-25高一下·辽宁·月考）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当质点Q与P第二次相遇时，质点Q比P多旋转，解方程确定质点Q所在终边，求坐标. 【详解】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有， 解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为. 故选：C 变式2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 【题型11 解三角不等式】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则. 【答案】证明见解析 【分析】通过三角函数线可得：，，，则只需比较，，的大小，转换为面积，即可得到大小关系，得证. 【详解】证明：如图，由三角函数线得：，，，    ∵， ∴， ∴，即. 例2．（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合. 【详解】（1）如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于两点，则，， 故α的范围是．    （2）如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于两点，则， 故α的范围是． 变式1．（23-24高一·全国·课后作业）求函数的定义域． 【答案】 【分析】由题意可得， 即，然后利用单位圆结合三角函数的定义求解即可 【详解】要使原函数有意义，有，即． 如图，在单位圆中由可知角x的终边落在由OA，OB及劣弧AB围成的区域内（不含边界）． 由可知角x的终边落在由OC，OD及优弧CD围成的区域内（含边界）， 所以， 所以原函数的定义域为．    变式2．（2024·上海·期末）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是 【答案】 【分析】 利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值. 【详解】在单位圆中分析，由题意， 的终边要落在图中阴影部分区域 （其中）， 必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内， ∴， ∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了）， 故存在正整数,使得，即，， 同时， ∴的最小值为, 故答案为：. 【点睛】 本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键. 【题型12 确定三角函数的符号】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第 象限角． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 变式1．（24-25高一下·上海·月考）若，则是第 象限的角. 【答案】一或第三 【分析】由已知的 和 必须同号.根据正余弦的符号分类讨论可得. 【详解】当 时， 和 必须同号. 第一象限： 且 ，满足条件. 第三象限： 且 ，乘积仍为正，满足条件. 第二、四象限中， 和 异号，乘积为负，不满足条件. 综上， 是第一或第三象限的角. 故答案为：一或第三 变式2．（24-25高一下·上海·开学考试）若是第四象限角，则点在第 象限. 【答案】三 【分析】根据正、余弦函数的符号法则，得，,即可得到答案. 【详解】是第四象限角，则， 故点在第三象限， 故答案为:三 【题型13 sinα、cosα、tanα的知一求二问题】 例1．（24-25高一上·上海·期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，可得，进而可判断出，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又方程的两个实数根是，， 所以，得到，. （2）由题知，又， 所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 例2．（24-25高二上·上海·月考）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据给定条件解方程求得，再利用同角三角函数基本公式计算即得. 【详解】因为，所以或， 因为，所以且， 所以. 故答案为：. 变式1．（25-26高三上·上海·月考）已知，且在第一象限，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的基本关系求解即可． 【详解】因为，所以，又，可得，因为在第一象限，，所以． 故答案为：． 变式2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知，且是第四象限角，求，的值. 【答案】；. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】解：因为，且是第四象限角， 所以. 因为，解得或， 因为是第四象限角，所以 所以. 【题型14 弦化切】 例1．（25-26高三上·上海·月考）若，那么= ． 【答案】 【分析】先利用平方关系化简，再进行弦化切. 【详解】根据题意，， . 故答案为： 例2．（25-26高二上·上海·月考）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系，把原式转化为含的表达式，再代入已知的值计算求解． 【详解】， ， ， 故答案为：． 变式1．（24-25高一下·上海·期中）若，则 . 【答案】2 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 变式2．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 【题型15 sinα±cosα与sinαcosα的关系应用】 例1．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 变式1．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知三角形内角满足，则 . 【答案】 【分析】首先将两边平方求出，再根据计算可得. 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 所以. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·上海·期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】. 【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解. 【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根， ， 将 两边平方可得： ， 即 整理得： ， 解得或， 当时原方程化为无解，舍去， 经检验符合题意， . 【题型16 由同角公式化简】 例1．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：= . 【答案】 【分析】根据条件，利用三角函数在各个象限的符号得，再利用平方关系，即可求解. 【详解】因为是第二象限角，所以， 所以 ， 故答案为：. 例2．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【详解】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，且及均为第四象限的角，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用同角公式的平方关系，结合三角函数值的符号推理即得. 【详解】由，两边平方相加得， 即，解得，而为第四象限的角，即， 所以. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是第二象限的角，化简：． 【答案】 【分析】根据条件，利用平方关系和三角函数在各个象限的符号，进行化简，即可求出结果. 【详解】因为 ， 又是第二象限的角，所以，故， 所以. 【题型17 由诱导公式证明恒等式】 例1．．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 变式1．（23-24高一·全国·课后作业）求证：=. 【答案】证明见解析 【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证． 【详解】左边===， 右边===， 所以等式成立. 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 【题型18 诱导公式的化简求值】 例1．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由题设，，则， . 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海嘉定·月考）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简可求值； （2）利用1的代换可得原式，再化为的表达式可求值. 【详解】（1） . （2）. 变式2．（24-25高一下·上海·月考）解决下列问题： (1)已知，求值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式，，后利用可得答案； （2）将平方后，可得，结合，可判断符号，平方后可得答案. 【详解】（1）由诱导公式，， 若，则,即这不可能， 所以，所以. （2）因， 则， 即一正一负，又，则， 即. 又， 则. 一、核心基础：角的概念与度量 1.角的定义与推广 正角、负角、零角 象限角（四个象限的集合表示）、轴线角（不属于任何象限） 终边相同的角（集合表示：） 2.角的度量单位 角度制：、、等特殊角 弧度制：1弧度的定义（弧长=半径的圆心角）、换算公式（，） 弧度制表示的象限角、轴线角集合 二、核心定义：三角函数的本质 1.两种定义形式 直角三角形定义（锐角适用）：对边/斜边（）、邻边/斜边（）、对边/邻边（）、邻边/对边（） 单位圆定义（任意角适用）：、、、（为终边与单位圆交点坐标） 2.定义域与值域 定义域：、为；（）；（） 值域：、为；、为 三、核心性质：符号、关系与诱导公式 1.三角函数值的符号规律 口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦” 轴线角的特殊三角函数值（、、、等） 2.同角三角函数基本关系 平方关系： 商数关系： 倒数关系： 常用变形（开方、代换） 3.诱导公式（核心口诀：奇变偶不变，符号看象限） 终边相同的角：（函数名不变，符号不变） 负角：（函数名不变，符号按象限定） 互补/互余角：、（互补名不变，互余名改变，符号按象限定） 其他：、等拓展公式 四、核心工具：特殊角三角函数值 关键角度：、、、、、、、、 记忆方法：对称记忆（互补角绝对值相等）、口诀记忆 五、核心应用：题型与解题方法 1.基础题型 定义求值（直角三角形边长、单位圆交点坐标） 符号判断（根据象限或角度） 单位换算（角度制与弧度制互化） 特殊角直接计算 2.核心题型 化简：利用同角关系、诱导公式化简表达式 求值：已知一个三角函数值求其他三个（注意符号判断） 证明：利用基本关系、诱导公式证明恒等式 求角：根据三角函数值求指定范围内的角 3.综合题型 终边相同的角的三角函数计算 诱导公式与同角关系综合化简/求值 互余、互补角的三角函数应用 六、易错点与关键提醒 1.忽视三角函数定义域限制（正切、余切的禁忌角） 2.开方时忽略符号判断（由角的象限决定） 3.诱导公式“奇变偶不变”中“奇、偶”的判断（中的奇偶性） 4.角度制与弧度制混用（弧长、扇形面积公式需用弧度制） 一、单选题 1．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再由三角函数值逐个判断可得. 【详解】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 2．（24-25高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的取值结合充分非必要条件判断可得. 【详解】当时，一定等于零；反之当时，， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 3．（25-26高三上·上海闵行·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即 ， 解得或. 因为，则，故. 故选：C 二、填空题 4．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由同角的三角函数计算可得. 【详解】. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）已知的终边在直线（）上，则 ． 【答案】 【分析】在角的终边上任取一点，根据余弦函数定义求解. 【详解】在角的终边上任取一点， 则. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知点是角终边上的点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数定义式直接可得解. 【详解】由已知角终边过点， 则， 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海长宁·期中）3弧度是第 象限角． 【答案】二 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度，3弧度， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 8．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制. 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海松江·月考）半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据扇形面积公式进行求解，得到答案. 【详解】扇形圆心角为，半径， 由扇形面积公式得. 故答案为： 10．（23-24高一下·上海普陀·期中）第二象限角用集合表示为 . 【答案】 【分析】利用终边相同角的集合来表示即可. 【详解】由第二角限角的集合为， 故答案为： 11．（24-25高一·上海·随堂练习）直角三角形ABC中（其中）．则以下式子中正确的是 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】①②③④ 【分析】根据三角函数诱导公式直接进行判断. 【详解】，， . 故答案为：①②③④ 12．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若角的终边过点，则= ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果. 【详解】已知角的终边过点， 由三角函数的定义得：， 由诱导公式得：. 故答案为： 13．（25-26高三上·上海·期中）已知，且α是第二象限角，则 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系，由正弦求出余弦，进而求出正切值. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高三上·上海松江·期末）设，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的值为2. 故答案为：2. 15．（2025·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据条件求解出的值，再根据，代入数值可求结果. 【详解】设，由题意可知，所以， 所以， 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 【答案】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，即 则， 所以，解得，即该扇形周长为. 故答案为：. 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·开学考试）已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由已知，根据诱导公式和商数关系得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，结合为第三象限的角，即可得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 18．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由商数关系得，再应用诱导公式求函数值； （2）应用齐次式得到关于的表达式，即可求值. 【详解】（1）由，则，得， 所以； （2）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $