专题6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1） （5大知识点+10大题型+强化训练）寒假班预修提升讲义-2025-2026学年高一数学沪教版

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1） 知识点一、两角差的余弦公式 如图，、，角、的终边及都绕原点旋转角，，点． ．根据两点间的距离公式，有 ． ． 由于，从而得到，即 ． 这个式子对任意给定的角及都成立，称为两角差的余弦公式． 知识点二、两角和与差的正弦公式 （1）公式内容：对于任意角，，有；简记为：； （2）公式推导：运用差角的余弦公式及诱导公式，可得 展开即可； 展开即可； 知识点三、两角和与差的正切公式 1.公式内容：，简记为：； 2.公式推导：当时，将公式，的两边分别相除， 有， 若，将上式的分子、分母分别除以， 得，这就是两角和的正切公式，简记作； 在中，将将用来替换，可得， 即，这就是两角差的正切公式，简记作； 知识点一 两角和与差的余弦公式 题型01：两角和与差余弦公式的简单求值应用 【例1】利用两角和与差的余弦公式，求和的值． 【跟踪训练】 1.已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 2.已知点是角的终边上一点，则 . 题型02：用两角和与差余弦公式进行化简求值 【例2】 1.已知，，，，求的值． 2．已知，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，，，. 求. 2.已知，．求的值． 3.已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03：逆用两角和与差余弦公式进行化简求值 【例3】化简：（1）；（2）． 【跟踪训练】 1.计算 ． 2.化简的结果为 . 题型04：逆用两角和与差余弦公式进行化简求角 【例4】若、为锐角，，，求角． 【跟踪训练】 1.已知为钝角，为锐角满足，求角。 2.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β为锐角，求β的值； 3.若、为锐角，，. 求角. 知识点二 两角和与差的正弦公式 题型05：两角和与差正弦公式的简单求值应用 【例5】利用两角差的正弦公式，求的值. 【跟踪训练】 1．计算（    ） A． B． C． D． A． B． C． D． 题型06：用两角和与差正弦公式进行化简求值 【名师点拨】将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”。 【例6】已知α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则sin(α＋β)的值为________，sin(α－β)的值为________. 【跟踪训练】 1.已知，且都是第二象限角，则 . 2.已知，，，，则的值为 ． 3.已知，且，则 . 4.已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝________. 5.已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 题型07：逆用两角和与差正弦公式进行化简求值 【例7】1.计算： 2.计算：=________ 3.计算：= . 【跟踪训练】 1、cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为________ 2、cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝_______ 3．已知，则值为_______ 知识点三 两角和与差的正切公式 题型08：两角和与差正切公式的简单求值应用 【例8】利用两角和的正切公式，求的值. 【跟踪训练】 1.已知，且，则的值等于______ 2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 题型09：用两角和与差正切公式进行化简求值 【例9】已知，. 求：（1）；（2）. 【例10】不用计算器，求的值. 【跟踪训练】 1.已知，，则（    ） A． B． C． D． 2.计算：的值为 题型10：逆用两角和与差正切公式进行化简求值 【例11】计算：（1） .（2） . 【跟踪训练】 1. ． 2. ． 3.的值为 . 题型11：逆用两角和与差余弦公式进行化简求角 【例12】已知，则________ 【跟踪训练】 1.已知，是方程的两根，若，则______ 2.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________ 3.如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________. 一、选择题 1.（24-25徐汇高一下期中）化简：（    ） A． B． C． D． 2.（24-25闵行高一下期中）（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25奉贤高一下期中）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 6．（24-25杨浦高一下期中）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8. （2025七宝中学高阶段练习）计算：_________. 9.若，则_________. 10．（2023上·上海松江·高三上海市松江一中校考期中）已知，，且，，则 ． 11．（2025高一下·上海普陀·期中）化简： 12.（24-25徐汇高一下期中）若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 13．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）若方程的两根为与，则 ． 14．（24-25宝山高一下期中）若，且 ，则 . 15．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 16． . 17.已知，，则___________. 18. 已知，则 . 2. 已知，，则 . 19．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 20．（24-25高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 21．（2023下·上海·高一上海市七宝中学校考期中）的值为 . 3、 解答题 22、已知，； （1）求：的值； （2）求：的值； 23. 已知，，又、都是钝角，求的值. 24．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1） 知识点一、两角差的余弦公式 如图，、，角、的终边及都绕原点旋转角，，点． ．根据两点间的距离公式，有 ． ． 由于，从而得到，即 ． 这个式子对任意给定的角及都成立，称为两角差的余弦公式． 知识点二、两角和与差的正弦公式 （1）公式内容：对于任意角，，有；简记为：； （2）公式推导：运用差角的余弦公式及诱导公式，可得 展开即可； 展开即可； 知识点三、两角和与差的正切公式 1.公式内容：，简记为：； 2.公式推导：当时，将公式，的两边分别相除， 有， 若，将上式的分子、分母分别除以， 得，这就是两角和的正切公式，简记作； 在中，将将用来替换，可得， 即，这就是两角差的正切公式，简记作； 知识点一 两角和与差的余弦公式 题型01：两角和与差余弦公式的简单求值应用 【例1】利用两角和与差的余弦公式，求和的值． 解： ． ． 【跟踪训练】 1.已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据同角关系以及余弦的和角公式即可求解. 【详解】由于，，故， ， 故选：C 2.已知点是角的终边上一点，则 . 【答案】 【详解】因为点是角的终边上一点，所以， 则. 故答案为：. 题型02：用两角和与差余弦公式进行化简求值 【例2】 已知，，，，求的值． 解： 由，，得．由，，得． 于是． 9．已知，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，，然后根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 或， 因为，所以， 所以的值为或. 故选：A. 【跟踪训练】 1.已知，，，. 求. 【解析】由，，得. 由，，得. 于是. 2.已知，．求的值． 【解析】，两式相加，得 3.已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，都是锐角，，， ，， . 故选：D. 题型03：逆用两角和与差余弦公式进行化简求值 【例3】化简：（1）；（2）． 解：（1）． （2）． 【跟踪训练】 1.计算 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 2.化简的结果为 . 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 题型04：逆用两角和与差余弦公式进行化简求角 【例4】若、为锐角，，，求角． 解：由为锐角，且，得．又，从而． 于是 ．因为为锐角，所以． 【跟踪训练】 1.已知为钝角，为锐角满足，求角。 【答案】 【解析】由于为钝角，为锐角，，所以， 所以． 又因为为钝角，为锐角，所以，所以．故答案为： 2.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β为锐角，求β的值； 【解析】因为，α，β为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－， 所以，α＋β∈(0，π)，则sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝， 又因为，β＝(α＋β)－α， 所以，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 又因为，β为锐角，所以，β＝； 3.若、为锐角，，. 求角. 【解析】由为锐角，且，得. 又由、为锐角，得，从而. 于是. 因为为锐角，所以. 知识点二 两角和与差的正弦公式 题型05：两角和与差正弦公式的简单求值应用 【例5】利用两角差的正弦公式，求的值. 【解析】. 【跟踪训练】 1．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可. 【详解】， 代入原式可得. 故选：A. 2.已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】利用三角函数的定义求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 由两角差的正弦公式可得. 故选：B. 题型06：用两角和与差正弦公式进行化简求值 【名师点拨】将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”。 【例6】已知α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则sin(α＋β)的值为________，sin(α－β)的值为________. 【答案】；；； 【解析】因为，α，β都是锐角，且sin α＝，sin β＝， 所以，cos α＝＝＝，cos β＝＝＝. 所以，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝； 【跟踪训练】 1.已知，且都是第二象限角，则 . 【答案】 【详解】由，都是第二象限角，得， 所以. 故答案为： 2.已知，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】，，，，，， ，. . 故答案为：. 3.已知，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 且，所以. 故答案为：. 4.已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝________. 【答案】；； 【解析】由0<α<<β<π，得<α＋β<，又sin α＝，sin(α＋β)＝，所以，cos α＝， cos(α＋β)＝－，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝×－(－)×＝； 5.已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，都是锐角，所以，则，又， 所以，， 则. 故选：B 题型07：逆用两角和与差正弦公式进行化简求值 【例7】1.计算： 【答案】； 【解析】由可知； 2.计算：=________ 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用正弦两角和差的逆应用即可求解. 【详解】由， 3.计算：= . 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式进行计算即可. 【详解】故答案为：. 【跟踪训练】 1、cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为________ 【解析】原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝； 2、cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝_______ 【答案】； 【解析】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝； 3．已知，则值为_______ 【分析】逆用差角的正弦公式求出，再用诱导公式变形并借助和角的正弦公式计算即得. 【详解】依题意，原等式变为：，即， 显然是第三象限角或第四象限角，，即或， 于是得，当时，， 当时，， 所以的值为或. 知识点三 两角和与差的正切公式 题型08：两角和与差正切公式的简单求值应用 【例8】利用两角和的正切公式，求的值. 【解析】法一：， . 法二：，. 【跟踪训练】 1.已知，且，则的值等于______ 【分析】利用两角和差正切公式直接求解即可. 【详解】. 2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得，所以，. 故选：B. 题型09：用两角和与差正切公式进行化简求值 【例9】已知，. 求：（1）；（2）. 【解析】（1）. （2），. 【例10】不用计算器，求的值. 解：由， 得. 【跟踪训练】 1.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用差角的正切求解即得. 【详解】由，， 所以. 故选：D 2.计算：的值为 【提示】先利用两角和的正切公式得到， 进而得到， 再把原式转换为：，即可得出答案. 【答案】； 【解析】因为， 所以， 所以 . 同理： 所以， . 题型10：逆用两角和与差正切公式进行化简求值 【例11】计算：（1） .（2） . 【答案】 【详解】（1）. （2）. 故答案为： ， 【跟踪训练】 1. ． 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2. ． 【答案】 【分析】根据诱导公式化简代数式，利用正切函数的差角公式，可得答案. 【详解】， 故原式． 故答案为： 3.的值为 . 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式化简，然后利用特殊角的正切值得解. 【详解】由题意得. 故答案为： 题型11：逆用两角和与差余弦公式进行化简求角 【例12】已知，则________ 【解析】因为，所以， 所以， 又由，所以； 【跟踪训练】 1.已知，是方程的两根，若，则______ 【解析】由题意得＋＝，＝4，所以＜0，＜0， 又，故，所以. 又.所以 2.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________ 【答案】； 【解析】B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，所以，tan B＝， 所以，tan (A＋B)＝＝＝1. 又因为，0<A＋B<π，所以A＋B＝.； 3.如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________. 【答案】； 【解析】由题图易知tan α＝，tan β＝，γ＝，所以，tan(α＋β)＝＝1，则，由题意知α＋β＝， 所以，α＋β＋γ＝. 一、选择题 1.（24-25徐汇高一下期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用正弦的两角差公式和诱导公式化简可得. 【详解】由和差公式和诱导公式可得： . 故选：B 2.（24-25闵行高一下期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【详解】. 故选：B 3.（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的正切 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 5．（24-25奉贤高一下期中）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 6．（24-25杨浦高一下期中）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为都是锐角， 所以，又，所以， ，又， 所以. 故选：A. 7．（24-25高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【解析】，，，， ，， ， . 故选：B. 二、填空题 8. （2025七宝中学高阶段练习）计算：_________. 【答案】 9.若，则_________. 【答案】 10．（2023上·上海松江·高三上海市松江一中校考期中）已知，，且，，则 ． 【答案】 【分析】由二倍角的正切公式求出，最后根据两角差的正切公式计算可得. 【解析】因为，，且，， 所以， ∴. 故答案为：1 11．（2025高一下·上海普陀·期中）化简： 【答案】 【详解】根据两角差的正弦公式，可知. 故答案为： 12.（24-25徐汇高一下期中）若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 【提示】注意：两角和公式是等式，会从“左边到右边”的化简； 【答案】； 【解析】原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝.； 13．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）若方程的两根为与，则 ． 【答案】 【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解. 【解析】由题意，， ， 故答案为： 14．（24-25宝山高一下期中）若，且 ，则 . 【答案】/ 【分析】将两个式子平方得出以及的表达式，即可求出答案. 【详解】由题意， ∵，， ∴， ， 即    ，， ∴ ， 故答案为：. 15．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【解析】， 故答案为：-1 16． . 【答案】 【解析】首先求出，，再代入求值即可； 【详解】解： 所以 故答案为： 【点睛】本题考查两角和差的正弦余弦公式的应用，属于中档题. 17.已知，，则___________. 【答案】 18. 已知，则 . 【答案】0 2. 已知，，则 . 【答案】 19．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【解析】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： 20．（24-25高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 【答案】 【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解. 【解析】由题意，， ， 故答案为： 21．（2023下·上海·高一上海市七宝中学校考期中）的值为 . 【答案】 【分析】由两角差的余弦公式化简求值. 【解析】. 故答案为:. 3、 解答题 22、已知，； （1）求：的值； （2）求：的值； 【解析】（1）方法1、由 方法2、由tan＝2，所以，＝2，所以，＝2，解得tan α＝； （2原式＝＝＝ ＝tan(β－α)＝＝＝； 23. 已知，，又、都是钝角，求的值. 【答案】 【解析】∵两式作差，得，即 ∴，又都是钝角，，∴ 24．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【解析】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $